资源简介

专题复习---- 常用逻辑用语
知识清单
【清单 01】充分条件、必要条件与充要条件的概念
（1）若 p→ q，则p 是q 的充分条件， q 是p 的必要条件；
（2）若 p→ q 且q p，则p 是q 的充分不必要条件；
（3）若 p q 且q→ p，则p 是q 的必要不充分条件；
（4） 若p q，则p 是q 的充要条件；
（5）若 p q 且q p，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 【清单 02】从集合的角度理解充分与必要条件
若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即p ：A = {x | p(x)} ，q ：
B = {x | q(x)} ，则
（1）若 A 二 B ，则p 是q 的充分条件；
（2）若 B 二 A ，则p 是q 的必要条件；
（3）若 AB ，则p 是q 的充分不必要条件；
（4）若 BA ，则p 是q 的必要不充分条件；
（5）若 A = B ，则p 是q 的充要条件；
（6）若 AB 且BA ，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 【清单 03】充分性必要性高考高频考点结构
（1）p 是q 的充分不必要条件 p → q 且q p（注意标志性词：“是”，此时p 与q 正常顺序）
（2）p 的充分不必要条件是q q → p 且p q（注意标志性词：“的”，此时p 与q 倒装顺序）
【清单 04】全称量词命题和存在量词命题的否定
1 全称量词命题及其否定（高频考点）
①全称量词命题：对M 中的任意一个x ，有 p(x) 成立；数学语言： x ∈ M , p(x) .
②全称量词命题的否定：3x ∈ M , p(x) .
2 存在量词命题及其否定（高频考点）
①存在量词命题：存在M 中的元素x ，有 p(x) 成立；数学语言： 3x ∈ M , p(x) .
②存在量词命题的否定： x ∈ M, p(x) .
【清单 05】常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语 等于（= ） 大于（ > ） 小于（< ） 是
否定词语 不等于( ≠ ) 不大于( ≤ ) 不小于( ≥ ) 不是
正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个
否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有
常见题型
【考点题型一】充分性，必要性的判断
【解题方法】小范围推大范围，大范围不能推小范围
【例 1-1】（24-25 高一上·陕西宝鸡·期中）已知a, b 为实数，则“ > ”是“a3 > b3 ”的 ( )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要 条件
【例 1-2】（多选）（24-25 高一上·福建泉州·期中）已知A = {x ∈ R x 2 ax + a2 3 = 0}，
B = {x | x ≤ 0}，则“ AB =⑦ ”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A ．{a | a < 2} B ．{a | 2 < a < }
C ． D ．
【变式 1-1】（24-25 高一上·北京·期中）“ 1 < x < 2”是“ > 2 ”的（ ）条件
A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要 【变式 1-2】（24-25 高一上·福建漳州·期中）下列不等式中，可以作为“x 3 < 0”的一个 必要不充分条件是( )
A ．1 < x < 4 B ．x < 4
C ．x <1 D ．0 < x < 2
【考点题型二】根据充分性，必要性求参数
【解题方法】数轴法，小范围推大范围，大范围不能推小范围
【例 2】（24-25 高一上·江苏南京·阶段练习）已知p: 2 ≤ x ≤ 2, q:1 m ≤ x ≤ m 1，若p 是 q 的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围为 .
【变式 2-1】（24-25 高一上·广东广州·期中）已知p: x < 2 或x > 0，q: x > a，且q 是p 的 充分不必要条件，则 a 的取值范围是( )
A ．a ≤ 2 B ．a ≤ 0 C ．a > 0 D ．a ≥ 0
【变式 2-2】（24-25 高一上·四川·期中）集合A = {x∣ a < x < 4}, B = {x 5 < x < 1}，若 “ x ∈ A”是“x ∈ B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )
A ．[5, +∞) B ．( ∞,5]
C ．(4,5) D ．(4,5]
【变式 2-3】（24-25 高一上·上海·期中）已知m ∈ R,α : 0 ≤ x ≤ 1, β : m 2 ≤ x ≤ m +1 .若α 是
β 的充分条件，则m 的取值范围是 .
【考点题型三】命题的否定
【解题方法】根据含有全称（特称）量词的命题的否定原则写。
【例 3-1】（24-25 高一上·广东珠海·阶段练习）命题“3x >1 ，x2 + x 1 > 0”的否定为 ( )
A ．3x >1 ，x2 + x 1≤ 0 B ．3x ≤1 ，x2 + x 1> 0
C ． x ≤1 ，x2 + x 1> 0 D ． x >1 ，x2 + x 1≤ 0
【例 3-2】（24-25 高一上·云南文山·阶段练习）设命题p ： n∈ N ，n2 > 2n + 3，则p 的
否定为( )
A ． n ∈ N ，n2 < 2n + 3 B ． n ∈ N ，n2 ≤ 2n + 3
C ．3n ∈ N ，n2 ≤ 2n + 3 D ．3n ∈ N ，n2 < 2n + 3
【变式 3-1】（24-25 高一上·北京·期中）记命题p: 3x > 0, x ≥ 3 ，则 p 为( )
A ． x > 0, x < 3 B ． x ≤ 0, x < 3
C ．3x ≤ 0, x ≥ 3 D ．3x > 0, x < 3
【变式 3-2】（24-25 高一上·江苏徐州·阶段练习）命题“x > 0, 2x2 + x +1 > 0”的否定 是 .
【考点题型四】根据全称量词命题与存在量词命题的真假求参数
【解题方法】根据命题的否定，求出真命题解题，常涉及变量分离法，Δ 判别法，基本不等 式等方法
【例 4-1】（23-24 高一上·福建宁德·期中）已知命题“x∈ R ，ax2 + 4x 1 < 0”是假命题， 则实数a 的取值范围是( )
A ．( ∞, 4) B ．( ∞,4) C ．[ 4,+∞ ) D ．[4, +∞ )
【例 4-2】（23-24 高一上·福建·期中）设函数f (x) = mx2 x 1(m > 0) ，命题“存在
1 ≤ x ≤ 2, f (x ) > 2 ”是假命题，则实数m 的取值范围是( )
B ． C ．0 < m ≤ 4 D ．0 < m <
【变式 4-1】（2021·河南信阳·一模）设命题p： x+ > a．若 →p 是真命 题，则实数 a 的取值范围是( )
A ． B ．[2，+∞) C ． D ．(-∞,2]
【变式 4-2】（23-24 高二上·四川眉山）已知命题：“ 3x ∈ R ，使 x2 + ax + 2 = 0 ”为真命题， 则实数a 的取值范围是
【考点题型五】不等式在非R 区间上恒（能）成立问题 【解题方法】分离变量，基本不等式，对钩函数等方法
【例 5-1】（24-25 高一上·江苏苏州·阶段练习）已知命题p: x ∈ {x | 2 ≤ x ≤ 3}，使
x2 + 2x + a ≥ 0 ，则命题p 的否定为 ；若命题p 为真命题，则实数 a 的取值范围 为 ．
【例 5-2】（2024 ·湖北武汉 ·模拟预测）若命题“ 3a ∈ [1, 3] ,ax2 + (a 2)x 2 > 0 ”是假命 题，则x 不能等于( )
2
A ． 1 B ．0 C ．1 D．
3
【变式 5-1】（多选）（23-24 高一上·四川凉山·期末）使得命题
“ x ∈[ 2,1], ax2 + 2ax <1 3a”为真命题的必要不充分条件是( )
(
1
1
1
1
)A ．a ≤ B ．a < C ．a ≤ D ．a <
6 6 3 3
【变式 5-2】（24-25 高一上·重庆·开学考试）存在x ∈ [ 1,1] ，使得 x2 + mx 3m ≥ 0，则m 的最大值为 ．
提升训练
一、单选题
1．（24-25 高一上·福建三明·期中）设x ∈R ，则“2 x ≥ 0 ”是“ 1 ≤ x 1 ≤ 1”的( )
A ．充要条件 B ．既不充分也不必要条件
C ．充分不必要条件 D ．必要不充分条件
2．（24-25 高一上·福建厦门·期中）已知命题p: 3 < x ≤ 2 ，若命题q 是命题p 的充分不必 要条件，则命题q 可以为( )
A ． 3 ≤ x ≤1 B ．x <1 C ． 3 < x <1 D ．x < 3
3．（24-25 高一上·广西·期中）命题“3x ∈ R ，x3 + x 2 > 0 ”的否定是( )
A ．3x ∈ R ，x3 + x 2 ≤ 0 B ．3x ∈ R ，x3 + x 2 ≤ 0
C ． x ∈R ，x3 + x 2 ≤ 0 D ． x ∈R ，x3 + x 2 ≤ 0
4．（24-25 高一上·四川成都·期中）命题“x∈ Z, x 2 ∈ N ”的否定为( )
A ． x ∈ Z, x 2 ∈ N B ． x ∈ Z, x 2 ∈ N
C ．3x ∈ Z, x 2 ∈ N D ．3x ∈ Z, x 2 ∈ N
5．（24-25 高一上·广东广州·期中）已知集合A = {x∈ N+ | x 是 4 与 10 的公倍数} ，
B = {x | x = 40t，t ∈ N+ }，则“x ∈ A”是“x ∈ B ”的( )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
6．（24-25 高一上·重庆·期中）设x∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，如
[1.2] = 1, [2] = 2, [-1.2] = -2 ，则“x > y ”是“[x] > [y ] ”的( )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
7．（24-25 高一上·天津·阶段练习）已知集合A = {x∣0 ≤ x ≤ a}, B = {x∣m2 + 3 ≤ x ≤ m2 + 4}， 若命题“3m∈ R, A∩ B ≠ ⑦ ”为假命题，则实数 a 的取值范围为( )
A ． {a∣a < 3} B ．{a∣a ≤ 3} C ． {a∣0 < a < 3} D ． {a∣0 ≤ a < 3}
8．（24-25 高一上·江苏盐城·阶段练习）命题“3x∈ R ，x2 - x + m < 0”是真命题，则实数m 的取值范围是( )
A ． B ． C ． D ．
二、多选题
9．（24-25 高一上·四川遂宁·阶段练习）已知“x <1”是“x < a ”的充分不必要条件，则a 的 值可能为( )
A ．0 B ．1 C ．2 D ．4
10．（24-25 高一上·甘肃白银·阶段练习）下列命题中，是全称量词命题的是( )
A ．至少有一个 x，使 x2 + 2x +1 = 0成立 B ．对任意的 x，都有 x2 + 2x +1 = 0成立
C ．对任意的 x，都有 x2 + 2x +1 = 0不成立 D ．存在 x，使 x2 + 2x +1 = 0成立
三、填空题
11．（24-25 高一上·江西南昌·期中）命题“3x ∈ [1, 3], x2 - 2x - a > 0 ”为假命题，则实数a 的 取值范围为 ．
12．（24-25 高三上·宁夏吴忠·阶段练习）关于x 的方程x2 + ax + b = 0 ，有下列四个命题： 甲：x = 1 是该方程的根；
乙：x = 3 是该方程的根；
丙：该方程两根之和为 2；
丁：该方程两根异号.
如果只有一个假命题，则该命题是 .
四、解答题
13．（24-25 高一上·浙江杭州·期中）已知命题p: 3x ∈ R, x2 6x + a2 = 0 ，当命题p 为真命 题时，实数a 的取值集合为A.
(1)求集合A；
(2)设集合B = {a 3m 2 ≤ a ≤ m 1}，若 x ∈ A 是x ∈ B 的必要不充分条件，求实数m 的取值 范围.
14．（24-25 高一上·北京·阶段练习）设集合A = {x x2 4x + 3 = 0} ，B = {x ax 1 ≥ 0}．
(1)若“x ∈ B ”是“x ∈ A”的必要条件，求实数 a 的取值范围；
(2)若x∈ A ，x B ，求实数 a 的取值范围．
15．（24-25 高一上·福建福州·阶段练习）已知命题p：“ 3x ∈ R, x2 ax + 4 = 0 ”为假命题， 设实数 a 的所有取值构成的集合为A ．
(1)求集合A；
(2)设集合B = {x | m +1 < x < 2m +1} ，若t ∈ B 是t ∈ A的充分不必要条件，求实数 m 的取值 范围．
16．（24-25 高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合A = {x |1 ≤ x ≤ 7} ， B = {x | 3m +1 ≤ x ≤ m 1} ，且 B ≠⑦.
(1)若命题p: x∈ A ，x ∈ B 是真命题，求实数m 的取值范围；
(2)若命题q: x∈ B ，x ∈ A 是假命题，求实数m 的取值范围.
17．（24-25 高一上·北京·期中）已知集合A = {xx = m2 n2 , m, n ∈ Z}
(1)分别判断 1 、0 、1是否属于集合A ；
(2)写出所有满足集合A 的不超过15 的正偶数；
(3)已知集合B = {xx = 2k +1, k ∈ Z}，证明：“ x ∈ B ”是“x ∈ A”的充分不必要条件.
专题复习----常用逻辑用语答案
【例 1-1】【答案】A 【例 1-2】【答案】AC 【变式 1-1】【答案】B
【变式 1-2】【答案】B【例 2】【答案】m > 3【变式 2-1】【答案】D
【变式 2-2】【答案】B【变式 2-3】【答案】[0, 2]【例 3-1】【答案】D
【例 3-2】【答案】C【变式 3-1】【答案】A【变式 3-2】【答案】3x > 0, 2x2 + x +1≤
【例 4-1】【答案】C【例 4-2】【答案】B【变式 4-1】【答案】B【变式 4-2】【答案】a ≥ 2 或a ≤ 2 【例 5-1】【答案】存在x ∈ {x | 2 ≤ x ≤ 3} ，使 x2 + 2x + a < 0 {a | a ≥ 8}【例 5-2】【答案】C【变式 5-1】【答案】ACD【变式 5-2】【答案】
提升训练
一、单选题 1D 2C 3C 4D 5B 6B 7D 8B
二、多选题 9CD 10BC
三、填空题 11．[3, +∞ ) 12．甲
四、解答题
13．（24-25 高一上·浙江杭州·期中）已知命题p: 3x ∈ R, x2 6x + a2 = 0 ，当命题p 为真命 题时，实数a 的取值集合为A.
(1)求集合A；
(2)设集合B = {a 3m 2 ≤ a ≤ m 1}，若 x ∈ A 是x ∈ B 的必要不充分条件，求实数m 的取值
范围.
【答案】(1) A = {a 3 ≤ a ≤ 3 }
【详解】（1）因为p 为真命题，所以方程x2 6x + a2 = 0 有解，即 Δ = 36 4a2 ≥ 0 ，
所以 3 ≤ a ≤ 3 ，即A = {a 3 ≤ a ≤ 3 }；
（2）因为 x ∈ A 是x ∈ B 的必要不充分条件，所以B 二 A, 且B≠ A ， i）当 B = 时，3m 2 > m 1 ，解得
〔3m 2 ≤ m 1
ii）当 B ≠ 时，{3m 2 ≥ 3 ，且3m 2 ≥ 3, m 1 ≤ 3 等号不会同时取得，解得
综上，m 的取值范围为.
14．（24-25 高一上·北京·阶段练习）设集合A = {x x2 4x + 3 = 0} ，B = {x ax 1 ≥ 0}．
(1)若“x ∈ B ”是“x ∈ A”的必要条件，求实数 a 的取值范围；
(2)若任何x∈ A ，x B ，求实数 a 的取值范围． 【答案】(1)[1, +∞ )
(2)
【详解】（1）依题意，集合A = {x x2 4x + 3 = 0}= {1,3}.
若“x ∈ B ”是“x ∈ A ”的必要条件，则A B ，
当a = 0 时，B = {x ax 1 ≥ 0} = ⑦ ,不符合题意. 当a > 0 时
所以 解得a ≥1.
当a < 0 时
所以 此不等式组无解.
综上所述，a 的取值范围是[1, +∞ ).
（2）依题意，任何x ∈ A ，x B ，
当a = 0 时，B = {x ax 1 ≥ 0} = ⑦ ,符合题意. 当a > 0 时
则{ 1 ，解得0 < a < 1 .
> 3 3
当a < 0 时
则 解得a < 0 .
综上所述，a 的取值范围是
15．（24-25 高一上·福建福州·阶段练习）已知命题p：“ 3x ∈ R, x2 - ax + 4 = 0 ”为假命题， 设实数 a 的所有取值构成的集合为A ．
(1)求集合A；
(2)设集合B = {x | m +1 < x < 2m +1} ，若t ∈ B 是t ∈ A的充分不必要条件，求实数 m 的取值
范围．
【答案】(1) A = {a | -4 < a < 4}
【详解】（1）依题意，命题p：“ 3x ∈ R, x2 - ax + 4 = 0 ”为假命题，
所以Δ = a2 -16 = (a + 4)(a - 4) < 0 ，解得-4< a < 4 ， 所以A = {a | -4 < a < 4}.
（2）由于t ∈ B 是t ∈ A的充分不必要条件，所以B A ， 当m +1 ≥ 2m +1，即 m ≤ 0 时，B = ,满足 B A .
当m +1 < 2m +1，即 m > 0 时，要使B A ，
〔m +1≥ -4
则需{ 且两个等号不能同时成立，
l2m +1≤ 4
解得 ，所以m 的取值范围是
16．（24-25 高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合A = {x |1 ≤ x ≤ 7} ， B = {x | -3m +1 ≤ x ≤ m -1} ，且 B ≠
(1)若命题p: x∈ A ，x ∈ B 是真命题，求实数m 的取值范围；
(2)若命题q: x∈ B ，x A 是假命题，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)[8, +∞ ) (2)[2, +∞ )
【详解】（1）由命题p 为真命题可得A≤ B ，且 B ≠
〔 3m +1≤ m 1
则{ 3m +1≤ 1 ，解得m ≥ 8.
lm 1≥ 7
即实数m 的取值范围为[8, +∞ ).
（2）'.' q : x ∈ B ，x ∈ A 是假命题
:q: 3x∈ B ，x ∈ A 是真命题，即A B ≠
〔 3m +1≤ m 1
:{ 3m +1≤ 7 ，解得 m≥2 ，
即实数m 的取值范围为[2, +∞ ).
17．（24-25 高一上·北京·期中）已知集合A = {xx = m2 n2 , m, n ∈ Z}
(1)分别判断 1 、0 、1是否属于集合A ；
(2)写出所有满足集合A 的不超过15 的正偶数；
(3)已知集合B = {xx = 2k +1, k ∈ Z}，证明：“ x ∈ B ”是“x ∈ A”的充分不必要条件. 【答案】(1) 1 、0 、1都属于集合A ，理由见解析
(2) 4 、8 、12
【详解】（1）解：因为 1 = 02 12 ，0 = 12 ( 1)2 ，1 = 12 02 ，所以， 1 、0 、1都属于 集合A .
（2）解：集合A = {x x = m2 n2 , m, n ∈ Z} ，m2 n2 = (m n)(m + n)，
①若m 、n 同奇或同偶时，m + n 、m n 均为偶数，(m n)(m + n) 为4 的倍数；
②当m 、n 一奇一偶时，m + n 、m n 均为奇数，(m n)(m + n) 为奇数，
综上，所有满足集合A 的偶数为4k (k ∈ Z)．
因此，满足集合A 的不超过15 的正偶数有4 、8 、12.
（3）证明：集合B = {x x = 2k +1, k ∈Z}，则恒有2k +1 = (k +1)2 k2 ， 所以，2k +1∈ A，即一切奇数都属于A ，
又8∈ A，而8∈ B ，
所以，“ x ∈ B ”是“x ∈ A”的充分不必要条件.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据集合的性质，应用因式分解、恒等转化、代 数式的奇偶性讨论，判断元素与集合的关系，证明条件间的充分、必要关系，确定满足条 件的数集.

展开更多......

收起↑