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5.2 导数的运算
知识点一、基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝ax（a>0且a≠1）
f(x)＝ex（a>0且a≠1）
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
注意：（1）中学阶段研究的函数都是连续可导函数，若无特殊说明，一般不涉及函数不可导的问题。（2）基本初等函数的导数公式不要求推导，直接使用即可。
知识点二、导数的四则运算法则
1.函数的和差的导数运算法则：.
拓展：.
2.函数积的导数运算法则：.
拓展：①若c为常数，则.
②若a,b为常数，则.
3.函数商的导数运算法则：.
拓展：若c为常数，.
知识点三、简单复合函数的导数
1.复合函数的定义：一般地，对于两个函数和,如果通过中间量，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作.
2.复合函数的求导法则：一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数和的导数间的关系为.
知识点四、导函数与原函数的性质关系（拓展）
1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数。
证明：设是可导的奇函数，则，
两边求导的，化简可得：，
所以是偶函数.同理可证，偶函数的导数是奇函数.
2.周期函数的导数仍是周期函数。
证明：设是可导的周期函数，则，
两边对x求导得，化简可得：，
所以是是以T为周期的周期函数.
题型一：求基本初等函数的导数
例1.求下列函数的导数：
（1）； （2）； （3）.
解：（1）；
（2）；
（3）.
跟踪训练：
1.求下列函数的导数：
（1）； （2）； （3）.
解：（1）； （2）；
（3）∵.∴.
题型二：导数的四则运算
例1.求下列函数的导数：
（1）y＝x2sinx；
（2）y＝lnx；
（3）y.
解：（1）y′＝（x2sinx）′＝2xsinx+x2cosx；
（2）y′＝（lnx）′；
（3）y′＝（）′.
跟踪训练：
1.求下列函数的导数．
（1）y＝x2sinx； （2）； （3）y＝2x3﹣3x2+5x﹣4．
解：（1）y＝x2sinx，则y′＝（x2sinx）′＝2xsinx+x2cosx；
（2），则y′＝（lnx）′+（）′；
（3）y＝2x3﹣3x2+5x﹣4，则y′＝6x2﹣6x+5．
2.求下列函数的导函数．
（1）； （2）.
解：（1）
；
（2）.
题型四：复合函数的导数
例1.（1）y＝ln（x2+1）． （2）. （3）f（x）＝ln（3﹣2x）+cos2x．
解：（1）y′＝[ln（x2+1）]′．
（2）.
（3）．
跟踪训练：
1.求下列函数的导数：
（1）y=sin(2x+1)；
（2）；
（3）y＝xln（x+1）；
（2）y＝sin22x+2x+1．
解：（1）；
（2）；
（3）根据题意，y＝xln（x+1），
其导数；
（4）根据题意，y＝sin2（2x）+2x+1，
其导数y′＝4sin（2x） cos（2x）+2xln2＝2sin（4x）+2xln2．
题型五：导数的运算常见与切线有关的题型
例1.已知函数f（x）＝xlnx．
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数的图象在点x＝e处的切线方程．
解：（1）∵f（x）＝xlnx，∴f′（x）＝lnx+1（x＞0）；
（2）由（1）知，切线的斜率k＝f（e）＝lne+1＝2，点（e，e），
代入点斜式方程得：y﹣e＝2（x﹣e），即2x﹣y﹣e＝0，
∴该函数的图象在x＝e处的切线方程为：2x﹣y﹣e＝0．
例2.已知函数f（x）＝2xlnx+2f(1)x．
（1）求f(1)的值；
（2）求f（x）在点（e2，f（e2））处的切线方程．
解：（1）因为f（x）＝2xlnx+2f（1）x，所以f′（x）＝2lnx+2+2f（1），
代入x＝1得：f（1）＝2ln1+2+2f（1）＝2+2f（1），所以f（1）＝﹣2．
（2）由（1）可得f（x）＝2xlnx﹣4x，则f（x）＝2lnx﹣2
所以f（e2）＝2e2lne2﹣4e2＝0，f′（e2）＝2lne2﹣2＝2，
所以切线方程为y﹣0＝2（x﹣e2），即2x﹣y﹣2e2＝0．
跟踪训练：
1.已知函数f（x）＝2xlnx．
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：（1）∵f（x）＝2xlnx，∴f′（x）＝2（lnx+1）＝2lnx+2，
（2）由（1）f（1）＝0，f（x）＝2lnx+2，∴k＝f（1）＝2，
∴这个函数的图象在点x＝1处的切线方程：y＝2x﹣2．
2.已知函数f（x）＝x3﹣ax2+b（a，b∈R）的图象过点（2，4），且f'（1）＝1．
（1）求a，b的值；
（2）求曲线y＝f（x）过点（0，﹣1）的切线方程．
解：（1）由f（x）＝x3﹣ax2+b，得f′（x）＝3x2﹣2ax，
则，解得a＝1，b＝0；
（2）由（1）得，f（x）＝x3﹣x2，则f′（x）＝3x2﹣2x，
设切点坐标为（），
则函数在切点处的切线方程为y，
把点（0，﹣1）代入，可得，
整理得：，解得x0＝1．
∴曲线y＝f（x）过点（0，﹣1）的切线方程为y＝x﹣1．
3.已知函数f（x）＝x3+a，点A（0，0）在曲线y＝f（x）上．
（1）求曲线y＝f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程；
（2）求曲线y＝f（x）过点E（2，0）的切线方程．
解：（1）因为f（x）＝x3+a，点A（0，0）在曲线y＝f（x）上，
所以f（0）＝0+a＝0，所以a＝0，所以f（x）＝x3，所以f′（x）＝3x2，
f′（﹣1）＝3，f（﹣1）＝﹣1，
所以曲线y＝f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为y+1＝3（x+1），即为3x﹣y+2＝0；
（2）令所求切线在曲线y＝f（x）上的切点为（m，m3），则f′（m）＝3m2，
所以切线方程为y﹣m3＝3m2（x﹣m） 3m2x﹣y﹣2m3＝0，
又E（2，0）在切线上，故6m2﹣2m3＝0 m＝0或m＝3，
所以切线方程为y＝0或27x﹣y﹣54＝0．
1.下列四组函数中导数相等的是（ ）
A.与 B.与
C.与 D.与
解：答案选D.
2.已知函数，则（　　）
A． B．1 C． D．2
解：因为函数，所以f′（x），所以f′（1），
所以f′（1）．
故选：C．
3.曲线y＝ex+sin2x在点（0，1）处的切线方程为（　　）
A．3x+2y﹣2＝0 B．2x﹣2y+1＝0 C．3x﹣y+1＝0 D．3x﹣2y+2＝0
解：因为y′＝ex+2cos2x，
所以y＝ex+sin2x在点（0，1）处的切线斜率为，
所以切线方程为y﹣1＝3×（x﹣0），即3x﹣y+1＝0．
故选：C．
4.曲线y＝sinx+cosx在处切线的倾斜角为（　　）
A．0 B． C． D．
解：因为y′＝cosx﹣sinx，所以曲线在处的切线的斜率为k＝﹣1，
结合直线倾斜角范围及斜率与倾斜角关系知：切线倾斜角为．
故选：D．
5.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值为（ ）
A．-2 B． C． D．
解：∵，令x=2得，，
故选D.
6.已知函数f（x）＝﹣x3+x+1，g（x）＝e﹣2x．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，1）的切线方程；
（2）若曲线y＝f（x）在点（1，1）处的切线与曲线y＝g（x）在x＝t（t∈R）处的切线平行，求t的值．
解：（1）根据题意可得f′（x）＝﹣3x2+1，
所以f′（1）＝﹣2，
所以所求切线方程为y﹣1＝﹣2（x﹣1），即为2x+y﹣3＝0；
（2）由（1）可得曲线y＝f（x）在点（1，1）的切线方程为2x+y﹣3＝0，
由g′（x）＝﹣2e﹣2x，可得曲线y＝g（x）在x＝t（t∈R）处的切线斜率为g′（t）＝﹣2e﹣2t，由题意可得﹣2e﹣2t＝﹣2，从而t＝0．
1.已知某物体的运动方程式，则当时的瞬时速度是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：∵，∴，故选：C.
2.已知函数f（x）＝xsinx+cosx，则的值为（ ）
A． B．1 C．-1 D．0
解：，则，故选：D.
3.函数的导数为（ ）
A． B．
C． D．
解：.
4.已知函数f（x）的导数为，且满足，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．-12
解：∵，
∴ ，∴，
所以，∴.
5.设xlnx，若，则的值为（ ）
A． B． C．e D．
解：，∴，即，解得：.故答案选：C.
6.曲线在点(1,-1)处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
解：，在点（1，-1）处的切线的斜率，所以由点斜式可得直线方程为，即.
故选：A.
7.已知函数在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y=0垂直，则a的值为（ ）
A． B．1 C． D．-1
解：，由题意可知：，解得：x=.故选：C.
8.求下列函数的导函数．
（1）f（x）＝﹣2x3+4x2；
（2）；
（3）f（x）＝x+cosx，x∈（0，1）；
（4）f（x）＝﹣x2+3x﹣lnx；
（5）y＝sinx；
（6）．
解：（1）f（x）＝﹣2x3+4x2，所以f′（x）＝﹣6x2+8x．
（2），所以f′（x）＝x2﹣2x+a．
（3）f（x）＝x+cosx，x∈（0，1），所以f′（x）＝﹣sinx+1，x∈（0，1）．
（4）f（x）＝﹣x2+3x﹣lnx，所以．
（5）y＝sinx，所以y′＝cosx．
（6），所以．
9.已知函数f（x）＝ln（2x+a）+x2，且f′（0）
（1）求f（x）的解析式；
（2）求曲线f（x）在x＝﹣1处的切线方程．
解：（1）函数f（x）＝ln（2x+a）+x2，的导数为
f′（x）2x，f′（0），可得，
解得a＝3，
即有f（x）＝ln（2x+3）+x2；
（2）f（x）的导数为f′（x）2x，
曲线f（x）在x＝﹣1处的切线斜率为2﹣2＝0，切点为（﹣1，1），
即有曲线f（x）在x＝﹣1处的切线方程为y＝1．
10.设．
（1）求函数y＝f（x）的定义域；
（2）当a＝1时，求函数y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
解：（1）根据题意可得f（x）的定义域为（0，+∞）；
（2）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x﹣1，所以，
所以f（1）＝﹣2，f'（1）＝0，
所以f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2＝0．
11.（1）求导：y＝3cosx+2x3﹣4x+3lnx；
（2）求函数y＝xlnx在x＝1处的导数．
解：（1）；
（2）y′＝lnx+1，∴函数y＝xlnx在x＝1处的导数为1．
12.求下列函数在给定点处的导数：
（1）y＝e﹣2x+1在处的导数；
（2）y＝ln（5x+2）在x＝1处的导数．
解：（1）∵y＝e﹣2x+1，∴y′＝﹣2e﹣2x+1，∴在处的导数为﹣2e0＝﹣2．
（2）∵y＝ln（5x+2），∴y′，∴在x＝1处的导数为．
13.已知曲线f（x）＝x3．
（1）求曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程；
（2）求过点（﹣1，﹣1）且与曲线f（x）相切的直线方程．
解：（1）因为f（x）＝x3，所以f′（x）＝3x2，所以f′（1）＝3，
所以曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1＝3（x﹣1），即3x﹣y﹣2＝0；
（2）设切点坐标为，
则切线方程为，又其过点（﹣1，﹣1），
所以，
即，所以x0＝﹣1或，
故过点（﹣1，﹣1）且与曲线f（x）相切的直线有两条，
其方程分别是y+1＝3（x+1）和，即3x﹣y+2＝0和3x﹣4y﹣1＝0．
14.已知函数f（x）＝x3﹣3x2+bx+c在x＝0时取得极大值1．
（1）求曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）求过点（0，2）与曲线y＝f（x）相切的直线方程．
解：（1）由f（x）＝x3﹣3x2+3bx+c，得f′（x）＝S3x2﹣6x+3b，
依题意得，，解得，
可得f（x）＝x3﹣3x2+1，f′（x）＝3x2﹣6x，
验证b＝0，c＝1时，f（x）在x＝0处取得极大值1，符合题意．
∴f（3）＝1，f′（3）＝9，即切点坐标为（3，1），切线斜率k＝9，
∴曲线y＝f（x）在（3，f（3））处的切线方程为y﹣1＝9（x﹣3），即9x﹣y﹣26＝0；
（2）由（1）得：f（x）＝x3﹣3x2+1，f′（x）＝3x2﹣6x，
设切点坐标为，切线斜率，
则切线方程为，
把点（0，2）代入，
得，
整理得，解得x0＝1或．
所以切线方程为y+1＝﹣3（x﹣1）或，即3x+y﹣2＝0或15x﹣4y+8＝0．5.2 导数的运算
知识点一、基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝ax（a>0且a≠1）
f(x)＝ex（a>0且a≠1）
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
注意：（1）中学阶段研究的函数都是连续可导函数，若无特殊说明，一般不涉及函数不可导的问题。（2）基本初等函数的导数公式不要求推导，直接使用即可。
知识点二、导数的四则运算法则
1.函数的和差的导数运算法则：.
拓展：.
2.函数积的导数运算法则：.
拓展：①若c为常数，则.
②若a,b为常数，则.
3.函数商的导数运算法则：.
拓展：若c为常数，.
知识点三、简单复合函数的导数
1.复合函数的定义：一般地，对于两个函数和,如果通过中间量，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作.
2.复合函数的求导法则：一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数和的导数间的关系为.
知识点四、导函数与原函数的性质关系（拓展）
1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数。
证明：设是可导的奇函数，则，
两边求导的，化简可得：，
所以是偶函数.同理可证，偶函数的导数是奇函数.
2.周期函数的导数仍是周期函数。
证明：设是可导的周期函数，则，
两边对x求导得，化简可得：，
所以是是以T为周期的周期函数.
题型一：求基本初等函数的导数
例1.求下列函数的导数：
（1）； （2）； （3）.
跟踪训练：
1.求下列函数的导数：
（1）； （2）； （3）.
题型二：导数的四则运算
例1.求下列函数的导数：
（1）y＝x2sinx；
（2）y＝lnx；
（3）y.
跟踪训练：
1.求下列函数的导数．
（1）y＝x2sinx； （2）； （3）y＝2x3﹣3x2+5x﹣4．
2.求下列函数的导函数．
（1）； （2）.
题型四：复合函数的导数
例1.（1）y＝ln（x2+1）． （2）. （3）f（x）＝ln（3﹣2x）+cos2x．
跟踪训练：
1.求下列函数的导数：
（1）y=sin(2x+1)；
（2）；
（3）y＝xln（x+1）；
（4）y＝sin22x+2x+1．
题型五：导数的运算常见与切线有关的题型
例1.已知函数f（x）＝xlnx．
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数的图象在点x＝e处的切线方程．
例2.已知函数f（x）＝2xlnx+2f(1)x．
（1）求f(1)的值；
（2）求f（x）在点（e2，f（e2））处的切线方程．
跟踪训练：
1.已知函数f（x）＝2xlnx．
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
2.已知函数f（x）＝x3﹣ax2+b（a，b∈R）的图象过点（2，4），且f'（1）＝1．
（1）求a，b的值；
（2）求曲线y＝f（x）过点（0，﹣1）的切线方程．
3.已知函数f（x）＝x3+a，点A（0，0）在曲线y＝f（x）上．
（1）求曲线y＝f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程；
（2）求曲线y＝f（x）过点E（2，0）的切线方程．
1.下列四组函数中导数相等的是（ ）
A.与 B.与
C.与 D.与
2.已知函数，则（　　）
A． B．1 C． D．2
3.曲线y＝ex+sin2x在点（0，1）处的切线方程为（　　）
A．3x+2y﹣2＝0 B．2x﹣2y+1＝0 C．3x﹣y+1＝0 D．3x﹣2y+2＝0
4.曲线y＝sinx+cosx在处切线的倾斜角为（　　）
A．0 B． C． D．
5.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值为（ ）
A．-2 B． C． D．
6.已知函数f（x）＝﹣x3+x+1，g（x）＝e﹣2x．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，1）的切线方程；
（2）若曲线y＝f（x）在点（1，1）处的切线与曲线y＝g（x）在x＝t（t∈R）处的切线平行，求t的值．
1.已知某物体的运动方程式，则当时的瞬时速度是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2.已知函数f（x）＝xsinx+cosx，则的值为（ ）
A． B．1 C．-1 D．0
3.函数的导数为（ ）
A． B．
C． D．
4.已知函数f（x）的导数为，且满足，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．-12
5.设xlnx，若，则的值为（ ）
A． B． C．e D．
6.曲线在点(1,-1)处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7.已知函数在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y=0垂直，则a的值为（ ）
A． B．1 C． D．-1
8.求下列函数的导函数．
（1）f（x）＝﹣2x3+4x2； （2）；
（3）f（x）＝x+cosx，x∈（0，1）； （4）f（x）＝﹣x2+3x﹣lnx；
（5）y＝sinx； （6）．
9.已知函数f（x）＝ln（2x+a）+x2，且f′（0）
（1）求f（x）的解析式；
（2）求曲线f（x）在x＝﹣1处的切线方程．
10.设．
（1）求函数y＝f（x）的定义域；
（2）当a＝1时，求函数y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
11.（1）求导：y＝3cosx+2x3﹣4x+3lnx；
（2）求函数y＝xlnx在x＝1处的导数．
12.求下列函数在给定点处的导数：
（1）y＝e﹣2x+1在处的导数；
（2）y＝ln（5x+2）在x＝1处的导数．
13.已知曲线f（x）＝x3．
（1）求曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程；
（2）求过点（﹣1，﹣1）且与曲线f（x）相切的直线方程．
14.已知函数f（x）＝x3﹣3x2+bx+c在x＝0时取得极大值1．
（1）求曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）求过点（0，2）与曲线y＝f（x）相切的直线方程．

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