资源简介

《空间中的平面与空间向量》教学设计
一、教学目标
1.理解平面的法向量的定义，明确其与平面垂直的特性，掌握求解平面的一个法向量的方法，并且能够熟练运用法向量解决简单的空间几何问题，如证明线面与面面的平行和垂直。
2.通过类比“直线的方向向量”引入“平面的法向量”，经历从具体到抽象的概念形成过程，在求解法向量的过程中，体会向量法解决空间几何问题的优越性，培养转化与化归的数学思想，通过一题多解、多题一解，训练发散思维和归纳总结的能力。
3.感受向量工具在沟通代数与几何中的强大作用，增强学习数学的兴趣和信心，体会数学结构的对称性与和谐美（方向向量决定直线走向，法向量决定平面朝向）。
二、教学重难点
教学重点：平面法向量的定义及其求法
教学难点：根据不同的已知条件，灵活选择并求解平面的法向量
三、教学过程
引语：前面我们学习了空间中直线的方向向量，知道了怎么用空间向量来表示直线。那么在空间中，如何用空间向量来表示平面呢？我们今天来一起探讨——空间中的平面与空间向量。（板书空间中的平面与空间向量）
（一）问题导入，温故知新
问题：能表示平面ABCD吗？添加什么样的条件就可以表示平面ABCD？
和能表示平面ABCD
设计意图：借助直线的方向向量引导学生进行思考，同时引起学生对于平面向量基本定理的回顾，旨在激发学生的探索欲，帮助学生理解法向量表示平面的优势。
生活情景：陀螺（轴与圆盘的关系）
问题：你想到用什么样的向量刻画平面的方向了吗？
设计意图：通过这个现实情境引导学生借助平面外的向量对平面进行表达，为后续引入平面法向量的概念做铺垫。
（二）探索新知，获得成长
定义：如果是空间中的一个平面，是空间中的一个非零向量，且表示的有向线段所在的直线与平面垂直，则称为平面的一个法向量，此时也称与垂直，记作⊥。
设计意图：明确给出法向量的定义，为学生提供清晰的概念框架，是后续学习的基础。
性质：
性质1：如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线的任意一个方向向量都是该平面的法向量。
符号语言：如果，，则。
性质2：如果是平面的一个法向量，则也是平面的一个法向量，并且平面的任意两个法向量平行。
符号语言：如果，则。
设计意图：通过分析平面法向量的概念，引导学生深入探究法向量的特定，加深学生对平面法向量定义的理解。
思考：只有法向量能不能确定平面的位置？如何借助平面的法向量表示一个平面？（表示一个平面就是表示平面内的任意一个点）
性质3：如果是平面的一个法向量，A为平面上的一个已知的点，则对平面的任意一点B，向量一定与法向量垂直，即，从而可知平面的位置可由法向量和A唯一确定。
符号语言：如果，,，则,即。从而可知平面的位置可由法向量和A唯一确定。
设计意图：培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，更为后续应用法向量解决问题提供理论依据。
例1：（法向量的求法探究）已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，求平面ABCD的一个法向量。
引导分析：平面法向量的定义
设计意图：帮助学生加深平面法向量的特点是所在的直线与平面垂直的印象。
解：∵AA1⊥平面ABCD
∴平面ABCD的一个法向量为
追问：结果能否更简化？
平面ABCD的一个法向量为(0，0，1)
设计意图：加深学生对于法向量性质的理解，如果，则。
追问：正方体每一个面的法向量？
平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)
平面ADD1A1的一个法向量为(1，0，0)
题型变式，深化联结
变式1：求平面A1B1CD的一个法向量。
平面A1B1CD的一个法向量为(0，1，1)
平面B1D1DB的一个法向量为(1，1，0)
平面A1D1CB的一个法向量为(1，0，1)
反思：对比以上结果，你有什么发现？
1.平面//坐标平面，法向量的坐标一个非零；平面⊥坐标平面，法向量的坐标一个零；
平面//坐标轴，法向量的坐标相应位置为0；平面⊥坐标轴，法向量的坐标相应位置不为0.
2.(1)直线与平面平行、垂直的判定
如果是直线l的一个方向向量，是平面的一个法向量，则
(2)平面与平面平行、垂直的判定
如果，分别是平面，的一个法向量，则
变式2：若E为AB的中点，求平面A1ED的一个法向量.
解析：设平面A1ED的一个法向量为
由题可知，,则
令，则，
∴平面A1ED的一个法向量为
设计意图：通过具体例题及变式，让学生实践法向量的求法，掌握观察法和方程组法。选择正方体常规模型，便于学生理解和操作，同时培养他们的空间想象能力和计算能力。
方法总结：观察法+方程组法（设法向量，利用它与平面内两个不共线向量的垂直关系列出方程组，通过赋值（常设某个分量以简化计算）求解。
变式4：若E为AB的中点，F为AD的中点，G为A1D1的中点，求证：平面A1ED⊥平面FGC1.
设计意图：通过这个变式促使学生深入思考法向量表示平面的意义和价值，理解向量在几何问题中的工具作用，有助于学生形成对向量方法的深刻认识，培养学生的综合分析能力和创新思维能力，提高学生运用向量解决几何问题的能力。同时启示学生，认识一个复杂事物（平面），有时无需穷尽其所有细节，而是找到其最本质的特征方向（法向量）。这种“由表及里，抓住关键”的思想，正是法向量留给我们的、超越数学本身的方法论财富。
（四）课堂小结，梳理升华
通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？获得了哪些成长？
知识梳理
思想方法
设计意图：让学生自主思考，总结归纳知识点和学习方法，引导学生积极主动地思考，将零散的知识点进行归纳总结，掌握内在的联系，构建系统的知识模块，完善的知识框架，从知识内容和数学方法与思想两个方面来形成思维导图。让学生感知在三维空间的海洋中，法向量以其绝对的垂直，奠定了空间秩序的基准。理解法向量，不仅是掌握了一个数学概念，更是获得了一把解读空间结构与万物关系的钥匙。
布置作业，巩固提升
基础题：课本42页练习A3，B3.
能力题：如图在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为45°，四边形ABCD是梯形，AD⊥AB，BC//AD，AD=2，PA=BC=1，
①在线段PD上是否存在点N，使得CN//平面PAB，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
②点T是线段CD上的动点，PT上是否存在M，使得PT⊥平面ABM，若存在，求出M的坐标，若不存在，请说明理由.
设计意图：及时巩固新知，促进学生养成严谨规范的表达习惯，提升迁移能力，发展逻辑推理，数学抽象。
四、板书设计
空间中的平面与空间向量
1.定义 2.性质 3.位置关系 例： 变式：

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