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16.3.1平方差公式 教学设计
一、核心素养目标
1.数学抽象：通过对特殊多项式乘法的观察、分析，抽象出平方差公式的结构特征，理解公式中“a”“b”的广泛含义，将具体运算转化为数学模型。
2.逻辑推理：经历“特殊→猜想→验证→证明→应用”的推理过程，培养合情推理与演绎推理能力，能严谨推导平方差公式，并运用公式解决问题。
3.数学运算：熟练掌握平方差公式的运用方法，能准确判断适用场景，快速进行整式乘法运算，提升运算效率与准确性，形成良好运算习惯。
4.数学建模：将实际问题中的数量关系转化为平方差公式的运算模型，通过公式应用解决实际问题，体会数学与生活的联系，增强模型思想。
5.直观想象：结合几何图形面积的割补与计算，直观理解平方差公式的几何意义，建立代数运算与几何图形的关联，提升数形结合能力。
6.数学文化：了解平方差公式的历史背景与应用价值，感受数学知识的系统性与实用性，激发对数学学习的兴趣与探索热情。
二、教学重难点
（一）教学重点
1.平方差公式的推导过程：通过多项式乘法法则推导公式，明确公式的生成逻辑。
2.平方差公式的结构特征：精准掌握“(a+b)(a b)=a b ”中“相同项”“相反项”的识别方法，理解“a”“b”可表示数、单项式、多项式等代数式。
3.平方差公式的熟练应用：能根据题目特征快速判断是否适用公式，正确代入并进行运算，解决整式乘法问题。
（二）教学难点
1.准确识别平方差公式的适用场景：在复杂多项式乘法中，快速区分“相同项”与“相反项”，避免对非平方差形式的运算误用公式。
2.灵活处理公式中“a”“b”的多样形式：当“a”“b”为多项式或含负号、系数不为1的单项式时，能正确确定“a”“b”，并准确运用公式计算。
3.平方差公式几何意义的理解与应用：将代数运算与几何图形结合，通过面积法验证公式，建立数形结合的思维模式。
4.公式应用中的符号问题：运算过程中准确处理各项符号，避免因符号错误导致运算结果出错。
三、教学环节
（一）情境导入：激发兴趣，引出问题
1.生活情境提问：同学们，学校准备对操场进行改造，原来操场是边长为100米的正方形，现在计划把它的一边增加5米，另一边减少5米，改造后的操场面积与原来相比，是增加了还是减少了？减少或增加了多少平方米？请大家尝试用数学方法计算。
2.师生互动：教师引导学生列出算式，学生可能出现两种方法：①原来面积100×100=10000平方米，改造后面积(100+5)(100 5)=105×95=9975平方米，面积减少25平方米；②直接计算(100+5)(100 5)，但运算较繁琐。教师追问：“有没有更简便的方法计算这类式子？今天我们就来探索一种特殊的多项式乘法公式。”
3.旧知回顾：回顾多项式乘法法则，提问：“如何计算(a+b)(m+n)？”引导学生回答“用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”，为后续推导公式奠定基础。
（二）探究新知：猜想验证，推导公式
1.特殊运算，感知规律
出示一组多项式乘法计算题，让学生独立完成后，同桌交流结果，观察算式与结果的特征：
（1）(x+1)(x 1)（2）(m+2)(m 2)（3）(2x+1)(2x 1)（4）(x+3y)(x 3y)
师生互动：教师请4名学生上台板演，其余学生在练习本上完成。完成后，引导学生集体订正，并提问：“观察这4个算式，它们有什么共同特征？计算结果又有什么规律？”
学生讨论后总结：算式都是两个数的和与这两个数的差相乘；结果都是这两个数的平方差，即“和乘差等于平方差”。教师进一步引导：“这个规律是否具有普遍性？我们需要进行验证。”
2.代数推导，证明公式
提问：“对于任意的a和b，(a+b)(a b)的结果是什么？请大家用多项式乘法法则展开计算。”
师生互动：学生独立展开，教师巡视指导，重点关注符号处理。学生完成后，教师板书推导过程：
(a+b)(a b)=a·a a·b+b·a b·b（多项式乘法法则）
=a ab+ab b （单项式乘法法则）
=a b （合并同类项， ab与+ab抵消）
教师总结：“通过代数推导，我们证明了对于任意a、b，(a+b)(a b)=a b 都成立，这个公式就是平方差公式。”
3.结构分析，深化理解
引导学生小组讨论平方差公式的结构特征，教师提问：“公式左边和右边分别有什么特点？如何快速识别一个多项式乘法是否能用平方差公式？”
师生共同总结：
左边（因式特征）：两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全相同（称为“相同项”），另一项互为相反数（称为“相反项”），即“(相同项+相反项)(相同项 相反项)”。
右边（积的特征）：相同项的平方减去相反项的平方，即“相同项 相反项 ”。
易错提醒：强调“平方差”是“相同项的平方减相反项的平方”，不是“和的平方减差的平方”，避免出现(a+b)(a b)=(a+b) (a b) 的错误。
4.几何解释，直观感知
出示边长为a的大正方形，在其中剪去一个边长为b的小正方形（b师生互动：学生可能提出两种方法：①大正方形面积减去小正方形面积，即a b ；②将剩余部分拼成一个长方形，长方形的长为(a+b)，宽为(a b)，面积为(a+b)(a b)。教师引导：“同一个图形的面积，用两种不同方法表示结果相等，因此(a+b)(a b)=a b ，这就是平方差公式的几何意义。”通过数形结合，让学生更直观地理解公式的合理性。
5.概念拓展，明确范围
提问：“公式中的a和b只能表示数吗？还能表示什么？”引导学生结合实例思考，如(2x+3)(2x 3)中，a=2x，b=3；(x+y)(x y)中，a=x，b=y；( m+n)( m n)中，a= m，b=n。
师生总结：公式中的a、b可以表示单独的数、单项式、多项式等代数式，关键是找准“相同项”和“相反项”。
（三）例题讲解：规范示范，掌握方法
例1：直接运用公式计算
计算：（1）(3x+2)(3x 2)（2）( x+2y)( x 2y)
师生互动：教师引导学生分析每道题的“相同项”和“相反项”，规范解题步骤。
解：（1）在(3x+2)(3x 2)中，相同项是3x，相反项是2和 2，根据平方差公式：
(3x+2)(3x 2)=(3x) 2 =9x 4
（2）在( x+2y)( x 2y)中，相同项是 x，相反项是2y和 2y，根据平方差公式：
( x+2y)( x 2y)=( x) (2y) =x 4y
强调：①计算时要先确定a和b，再分别平方；②当a或b是单项式时，平方时要注意系数和字母的次数，如(3x) =9x ，不是3x ；③当a是负数时，平方后结果为正数，如( x) =x 。
例2：灵活运用公式计算
计算：（1）(a b)( a b)（2）(2a+3b)(3b 2a)（3）102×98
师生互动：教师引导学生通过调整因式顺序，转化为平方差公式的标准形式。
解：（1）(a b)( a b)=( b+a)( b a)（交换第一项的位置）
=( b) a =b a
（2）(2a+3b)(3b 2a)=(3b+2a)(3b 2a)（交换两项的位置）
=(3b) (2a) =9b 4a
（3）102×98=(100+2)(100 2)（将数转化为和与差的形式）
=100 2 =10000 4=9996
总结技巧：当因式顺序不符合“和乘差”时，可通过交换项的位置调整；对于接近整十、整百的数相乘，可将其拆分为“整十/百数+一个数”与“整十/百数 一个数”的形式，利用公式简化运算。
例3：公式与其他运算结合
计算：(x+2)(x 2)(x +4)
师生互动：教师提问：“这道题有三个因式相乘，能否直接用平方差公式？需要分几步计算？”引导学生先算前两个因式，再将结果与第三个因式相乘。
解：(x+2)(x 2)(x +4)=(x 4)(x +4)（前两个因式用平方差公式）
=(x ) 4 =x 16（再次用平方差公式）
强调：连续运用平方差公式时，要注意逐步计算，确保每一步都符合公式特征，避免跳步导致错误。
（四）课堂练习：巩固提升，查漏补缺
请同学们独立完成以下练习，教师巡视指导，针对共性问题集中讲解。
1.判断下列算式是否能用平方差公式计算，若能，写出“相同项”和“相反项”；若不能，说明理由。
（1）(x+3)(x 3)（2）(2a+b)(a 2b)（3）( m n)( m+n)（4）(x +y)(x y )
2.计算下列各式：
（1）(5a+3b)(5a 3b)（2）( 2x y)(2x y)（3）(a 1)(a+1)(a +1)（4）99×101
3.先化简，再求值：(2x+3)(2x 3) 4x(x 1)+(x 2) ，其中x= 1。
师生互动：练习完成后，教师组织学生小组内核对答案，讨论错题原因。对于第3题这类综合题，重点强调运算顺序：先算乘法（含公式运用、单项式乘多项式、完全平方公式），再算加减，最后代入求值。
（五）重点知识归纳概括
1.平方差公式核心内容
（1）公式表达式：(a+b)(a b)=a b （文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差）。
（2）结构特征：左边是“和×差”形式的两个二项式相乘，右边是“平方差”形式的二次二项式，关键是找准“相同项a”和“相反项b”。
（3）适用范围：a、b可表示数、单项式、多项式等代数式；仅适用于“两个二项式相乘，且有一项相同、另一项互为相反数”的情况。
2.公式运用步骤
（1）识别：判断算式是否符合平方差公式的结构特征，确定“相同项”和“相反项”；
（2）确定：明确公式中的a和b（可通过调整因式顺序转化为标准形式）；
（3）计算：代入公式计算，即a b ，注意系数、次数和符号的处理；
（4）验证：检查计算过程是否规范，结果是否正确（可通过多项式乘法法则验算）。
3.易错点提醒
（1）误用公式：对非“和×差”形式的多项式乘法（如(x+y)(x+y)）误用平方差公式；
（2）平方错误：计算a 或b 时，忽略系数的平方（如(2x) 误算为2x ）或字母的次数（如(x ) 误算为x ）；
（3）符号错误：混淆“相同项”和“相反项”，导致结果符号错误（如( x+y)( x y)误算为y x ）；
（4）漏算步骤：连续运用公式时，跳步计算导致错误（如(x+1)(x 1)(x +1)误算为(x 1)(x +1)=x 1）。
（六）教学小结
1.知识层面：本节课我们通过特殊运算猜想规律，用代数推导和几何验证证明了平方差公式，掌握了公式的结构特征、适用范围和运用方法，能运用公式解决整式乘法问题和简单的实际问题。
2.方法层面：经历了“观察—猜想—验证—证明—应用”的数学探究过程，体会了数形结合、从特殊到一般的数学思想，学会了通过分析算式特征选择简便运算方法，提升了运算能力和推理能力。
3.情感层面：感受了数学知识的逻辑性和实用性，了解了平方差公式在简化运算中的价值，激发了对数学学习的主动性和探索欲，培养了严谨认真的学习态度。
（七）课后练习（含答案解析）
1.下列算式中，能用平方差公式计算的是（）
A.(2a+b)(2b a)B.(x+1)( x 1)C.(3x y)( 3x+y)D.(m n)(m+n)
2.计算( 3x+2)(3x+2)的结果是（）
A.9x 4B. 9x 4C. 9x +4D.9x +4
3.计算(2x 1)(2x +1)的结果是（）
A.4x 1B.2x 1C.4x 1D.2x 1
4.若(x+3)(x 3)=x m，则m的值是（）
A.3B. 3C.9D. 9
5.计算：(1)(a+2b)(a 2b)；(2)( 4x y)( 4x+y)；(3)(x y)(x+y)(x +y )
6.用简便方法计算：(1)503×497；(2)10.1×9.9
7.先化简，再求值：(x+2)(x 2) x(x 1)，其中x= 3。
8.一个长方形的长为(2x+3)，宽为(2x 3)，另一个正方形的边长为(x+3)，求长方形与正方形的面积差（用含x的代数式表示），并计算当x=2时，面积差的值。
答案解析
1.答案：D解析：选项A中两项均不相同，选项B可化为 (x+1) ，选项C可化为 (3x y) ，均不符合平方差公式特征；选项D是(m n)(m+n)，符合“和×差”形式，能用平方差公式。
2.答案：C解析：( 3x+2)(3x+2)=(2 3x)(2+3x)=2 (3x) =4 9x = 9x +4，故选C。
3.答案：A解析：(2x 1)(2x +1)=(2x ) 1 =4x 1，注意(2x ) =2 ×(x ) =4x ，故选A。
4.答案：C解析：左边(x+3)(x 3)=x 9，与右边x m对比，可得m=9，故选C。
5.解析：
（1）(a+2b)(a 2b)=a (2b) =a 4b ；
（2）( 4x y)( 4x+y)=( 4x) y =16x y ；
（3）(x y)(x+y)(x +y )=(x y )(x +y )=(x ) (y ) =x y 。
6.解析：利用公式(a+b)(a b)=a b 简化计算：
（1）503×497=(500+3)(500 3)=500 3 =250000 9=249991；
（2）10.1×9.9=(10+0.1)(10 0.1)=10 0.1 =100 0.01=99.99。
7.解析：先化简代数式，再代入求值：
原式=x 4 (x x)=x 4 x +x=x 4；
当x= 3时，原式= 3 4= 7。
8.解析：先分别表示出长方形和正方形的面积，再计算差值：
长方形面积=(2x+3)(2x 3)=4x 9；
正方形面积=(x+3) =x +6x+9；
面积差=(4x 9) (x +6x+9)=4x 9 x 6x 9=3x 6x 18；
当x=2时，3×2 6×2 18=12 12 18= 18（负号表示长方形面积比正方形小18）。
（八）教学反思
1.亮点之处：本节课通过生活情境导入，激发了学生的学习兴趣，让学生感受到数学与生活的联系；推导公式时，结合代数运算和几何图形，从“数”和“形”两个角度验证公式，帮助学生深化理解；例题设计由浅入深，涵盖直接运用、灵活运用、综合运用等类型，符合学生的认知规律；注重师生互动，通过小组讨论、上台板演等形式，充分调动学生的参与度，培养了学生的合作能力和表达能力。
2.不足之地：在处理“a、b表示多项式”的拓展内容时，讲解不够细致，部分学生对(2x+y z)(2x y+z)这类复杂算式中“相同项”和“相反项”的识别存在困难；课堂练习的反馈方式不够高效，对个别学生的错题指导不够及时；对公式应用的技巧总结不够全面，部分学生在面对需要拆项的算式（如(x 1)(x+2)）时，不知如何转化为平方差公式形式。
3.改进方向：后续教学中，针对复杂多项式的情况，可增加“添括号”的辅助教学，如将(2x+y z)(2x y+z)化为[2x+(y z)][2x (y z)]，帮助学生确定a和b；优化练习反馈机制，采用“小组互评+教师抽查”的方式，及时发现并解决学生的个性化问题；补充拆项、添项运用公式的例题，如(x 1)(x+2)=(x+0.5 1.5)(x+0.5+1.5)，拓宽学生的解题思路，提升公式运用的灵活性。同时，加强课后作业的分层设计，满足不同层次学生的学习需求。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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