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16.3.2完全平方公式 教学设计
一、核心素养目标
1.数学抽象：通过对特殊多项式乘法的观察与分析，抽象出完全平方公式的结构特征，理解公式中“a”“b”的广泛含义，将具体运算转化为数学模型，提升抽象概括能力。
2.逻辑推理：经历“特殊→猜想→验证→证明→应用”的完整推理过程，运用多项式乘法法则严谨推导公式，培养合情推理与演绎推理的综合能力。
3.数学运算：熟练掌握完全平方公式的正向运用与逆向变形，能准确判断公式适用场景，快速完成整式运算，规避运算中的符号与系数错误，提升运算精准度。
4.直观想象：结合几何图形面积的拼接与计算，直观感知完全平方公式的几何意义，建立代数运算与几何图形的关联，深化数形结合思想的应用。
5.数学建模：能将实际问题中的数量关系转化为完全平方公式的运算模型，通过公式应用解决实际问题，体会数学知识的实用价值。
6.数学应用：通过公式在简化运算、代数式求值等场景的应用，感受数学知识的系统性，激发主动运用数学工具解决问题的意识。
二、教学重难点
（一）教学重点
1.完全平方公式的推导：借助多项式乘法法则，完成(a+b) 与(a b) 的代数推导，明确公式的生成逻辑。
2.公式的结构特征：精准掌握“(a±b) =a ±2ab+b ”的结构，理解“首平方、尾平方，积的两倍放中央，符号随前项”的规律，明确“a”“b”可表示数、单项式、多项式。
3.公式的熟练应用：能根据题目特征快速选择公式，正确代入进行正向运算，掌握公式的逆向变形用于因式分解或代数式求值。
（二）教学难点
1.公式应用中的符号问题：准确判断(a b) 展开式中“ 2ab”的符号，避免出现(a b) =a b 的典型错误。
2.“a”“b”为多项式或含系数单项式时的运算：当“a”“b”是复杂代数式（如2x+3y、 m+2n）时，能正确确定“首项”与“尾项”，完成平方及积的两倍计算。
3.公式的逆向运用：灵活运用a ±2ab+b =(a±b) 进行代数式变形，解决求值、配方等问题。
4.完全平方公式与平方差公式的辨析：在混合运算中，准确区分两类公式的适用场景，避免混淆与误用。
三、教学环节
（一）情境导入：问题驱动，唤醒旧知
1.生活情境设问：学校要新建一个正方形花坛，计划将边长扩大3米，扩建后的花坛面积如何表示？若原边长为a米，扩建后边长为(a+3)米，面积是(a+3) ，大家能快速计算这个式子的结果吗？如果边长减少3米，面积(a 3) 又该如何计算？
2.师生互动：教师引导学生用多项式乘法法则展开(a+3) =(a+3)(a+3)，学生独立计算后上台板演，教师点评并追问：“这种两个相同二项式相乘的运算很特殊，有没有更简便的方法？今天我们就来探索这类运算的规律——完全平方公式。”
3.旧知铺垫：回顾多项式乘法法则“(m+n)(p+q)=mp+mq+np+nq”，强调“相同项相乘、不同项交叉乘”的核心，为推导公式奠定基础。
（二）探究新知：猜想验证，构建公式
1.特殊运算，感知规律
出示一组特殊的多项式乘法算式，学生独立完成后，小组讨论算式与结果的共性：
（1）(x+2) （2）(x 2) （3）(2x+1) （4）(2x 1)
师生互动：教师请4名学生板演，集体订正后引导提问：“观察这些算式，它们都是什么形式的乘法？结果有什么共同特征？以(x+2) =x +4x+4为例，结果中的x 、4、4x分别与原式中的x和2有什么关系？”
学生总结：算式都是“一个二项式的平方”，结果是三项式，包含二项式中两项的平方，以及两项乘积的两倍。教师引导猜想：“对于任意a、b，(a+b) 和(a b) 的结果是否都符合这个规律？”
2.代数推导，证明公式
请学生结合多项式乘法法则，独立推导(a+b) 与(a b) 的展开式，教师巡视指导符号处理。
师生互动：教师板书推导过程，强调每一步的依据：
（1）(a+b) =(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b（多项式乘法法则）
=a +ab+ab+b （单项式乘法法则）
=a +2ab+b （合并同类项）
（2）(a b) =(a b)(a b)=a·a+a·( b)+( b)·a+( b)·( b)
=a ab ab+b
=a 2ab+b
教师总结：“这两个公式就是完全平方公式，可统一表示为(a±b) =a ±2ab+b ，大家一定要注意(a b) 的展开式是三项式，不是a b 。”
3.结构拆解，强化记忆
组织学生小组讨论，用通俗的语言拆解公式结构，教师引导总结记忆口诀：“首平方，尾平方，首尾积的两倍放中央，符号跟着括号里的加号、减号走。”
师生互动：以(3x 2y) 为例，提问：“这里的‘首项’是3x，‘尾项’是2y，展开式应该是什么？”学生回答后，教师板书：(3x) 2·3x·2y+(2y) =9x 12xy+4y ，强化“首、尾”的识别与运算步骤。
4.几何验证，深化理解
出示边长为(a+b)的大正方形，将其分割为边长为a的正方形、边长为b的正方形，以及两个长为a、宽为b的长方形。请学生用两种方法表示大正方形的面积。
师生互动：学生回答：①大正方形面积=(a+b) ；②总面积=a +ab+ab+b =a +2ab+b 。教师引导：“两种方法表示的是同一个面积，因此(a+b) =a +2ab+b 。”
再出示边长为a的大正方形，在其中剪去一个长为a、宽为b的长方形，补到另一侧形成长为(a b)、宽为a的长方形，再剪去一个长为(a b)、宽为b的长方形，最终得到边长为(a b)的正方形，通过面积差验证(a b) =a 2ab+b ，让学生直观感受公式的几何意义。
5.拓展延伸，明确范围
提问：“公式中的a和b只能是单项式吗？如果是多项式，比如(x+y+1) ，能用法则计算吗？”引导学生将(x+y)看作一个整体，即[(x+y)+1] ，再运用完全平方公式展开，体会“整体思想”在公式应用中的作用，明确a、b可表示任意代数式。
（三）例题讲解：分层示范，突破难点
例1：直接运用公式计算（基础型）
计算：（1）(5m+3n) （2）(7x 2) （3）( 2a b)
师生互动：教师引导学生先确定“首项a”和“尾项b”，再按口诀分步计算，重点强调符号处理。
解：（1）(5m+3n) =(5m) +2·5m·3n+(3n) =25m +30mn+9n
（2）(7x 2) =(7x) 2·7x·2+2 =49x 28x+4
（3）( 2a b) =[ (2a+b)] =(2a+b) =4a +4ab+b （或直接看作a= 2a，b=b，展开为( 2a) +2·( 2a)·( b)+( b) =4a +4ab+b ）
强调：当括号内两项均为负时，可先提取负号转化为正号再计算，简化符号判断。
例2：公式与其他运算结合（提升型）
计算：（1）(x+3) (x 3) （2）(a+b+c)
师生互动：教师引导学生分析题目结构，第（1）题可先分别用完全平方公式展开，再合并同类项；第（2）题用整体思想，将(a+b)看作一个整体运用公式。
解：（1）(x+3) (x 3) =(x +6x+9) (x 6x+9)=x +6x+9 x +6x 9=12x
（2）(a+b+c) =[(a+b)+c] =(a+b) +2(a+b)c+c =a +2ab+b +2ac+2bc+c
总结：公式与其他运算结合时，要遵循“先乘方，再加减”的运算顺序，运用整体思想可将复杂代数式转化为公式标准形式。
例3：公式的逆向运用（拓展型）
已知x+y=5，xy=3，求x +y 的值。
师生互动：教师引导学生逆向思考完全平方公式，提问：“x +y 与(x+y) 有什么关系？”学生回答后，教师板书变形过程：
解：∵(x+y) =x +2xy+y ∴x +y =(x+y) 2xy
代入x+y=5，xy=3，得x +y =5 2×3=25 6=19
强调：公式的逆向变形是解决代数式求值的重要技巧，需熟练掌握“x +y =(x+y) 2xy”“(x y) =(x+y) 4xy”等常见变形。
（四）课堂互动练习：即时反馈，巩固提升
组织学生分组完成以下练习，每组推选代表上台板演，教师针对性点评。
1.计算下列各式：（1）(2a+5b) （2）(3x 4y) （3）( m+1)
2.化简：(a 2b) (a+2b)(a 2b)
3.已知a b=4，ab=5，求a +b 的值。
师生互动：重点点评第1题中( m+1) 的符号处理，第2题中完全平方公式与平方差公式的辨析，第3题中公式逆向变形的应用，及时纠正“漏乘2ab”“符号错误”等共性问题。
（五）重点知识归纳概括
1.完全平方公式核心内容
（1）基本公式：①(a+b) =a +2ab+b ；②(a b) =a 2ab+b （文字表述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍）。
（2）结构特征：左边是“一个二项式的平方”，右边是“三项式”，由“首项平方、尾项平方、首尾积的两倍”组成，中间项的符号与左边二项式的符号一致。
（3）适用范围：a、b可表示数、单项式、多项式等任意代数式，关键是找准“首项”和“尾项”，运用整体思想转化为标准形式。
2.公式运用步骤
（1）识别：判断运算是否为“二项式的平方”，确定“首项a”和“尾项b”；
（2）展开：按“首平方→尾平方→积的两倍放中央”的顺序展开，注意中间项符号；
（3）化简：合并同类项（若有其他运算），得到最终结果；
（4）逆向：根据需求运用公式变形，如a ±2ab=(a±b) b ，x +y =(x±y) 2xy。
3.易错点与规避方法
（1）典型错误1：漏乘中间项，如(a+b) =a +b 。规避方法：牢记口诀“积的两倍放中央”，展开后检查是否有三项式结果。
（2）典型错误2：符号错误，如(a b) =a 2ab b 。规避方法：明确尾项平方恒为正，中间项符号与左边二项式符号一致。
（3）典型错误3：系数平方遗漏，如(2x+y) =2x +4xy+y 。规避方法：首项、尾项为单项式时，系数与字母分别平方，即(2x) =4x 。
（4）典型错误4：公式混淆，如将(a+b) 误用平方差公式计算。规避方法：先判断运算类型，“相同二项式相乘”用完全平方公式，“和乘差”用平方差公式。
（六）教学小结
1.知识梳理：本节课我们通过特殊运算猜想规律，用代数推导和几何验证双重方法证明了完全平方公式，掌握了“(a±b) =a ±2ab+b ”的结构特征与应用方法，能完成公式的正向运算与逆向变形。
2.方法总结：经历了“观察—猜想—验证—应用”的数学探究流程，体会了数形结合、整体思想在数学中的应用，学会了通过辨析算式特征选择简便运算公式，提升了运算与推理能力。
3.易错提醒：牢记完全平方公式的三项式结果，重点关注中间项的符号与系数，避免与平方差公式混淆，在复杂运算中运用整体思想简化问题。
（七）课后练习（含答案解析）
1.下列计算正确的是（）
A.(x+2) =x +4B.(x 2) =x 4x 4C.(2x+1) =4x +4x+1D.(2x 1) =2x 2x+1
2.计算( 3a+2b) 的结果是（）
A.9a 12ab+4b B.9a +12ab+4b C. 9a +12ab 4b D.9a 6ab+4b
3.若(x+m) =x 6x+n，则m、n的值分别为（）
A.m=3，n=9B.m= 3，n=9C.m=3，n= 9D.m= 3，n= 9
4.计算(a b) (a+b) 的结果是（）
A.2abB. 2abC.4abD. 4ab
5.计算下列各式：
（1）(3x+4y) （2）(5m 2n) （3）( x+2y) （4）(a 1) a(a 2)
6.用简便方法计算：
（1）102 （2）99.5
7.已知x +y =25，x+y=7，求xy的值。
8.一个正方形的边长为(2a+3)厘米，现将其边长减少(2a 1)厘米（a>0.5），求减少后的正方形面积（用含a的代数式表示），并计算当a=2时的面积。
答案解析
1.答案：C解析：A项漏乘中间项，应为x +4x+4；B项尾项平方符号错误，应为x 4x+4；D项首项系数平方遗漏，应为4x 4x+1；C项计算正确。
2.答案：A解析：( 3a+2b) =( 3a) +2·( 3a)·2b+(2b) =9a 12ab+4b ，注意中间项符号为负，故选A。
3.答案：B解析：左边展开为x +2mx+m ，与右边x 6x+n对比，得2m= 6，m =n，解得m= 3，n=9，故选B。
4.答案：D解析：展开后为(a 2ab+b ) (a +2ab+b )=a 2ab+b a 2ab b = 4ab，故选D。
5.解析：
（1）(3x+4y) =(3x) +2·3x·4y+(4y) =9x +24xy+16y ；
（2）(5m 2n) =(5m) 2·5m·2n+(2n) =25m 20mn+4n ；
（3）( x+2y) =(2y x) =(2y) 2·2y·x+x =4y 4xy+x ；
（4）(a 1) a(a 2)=(a 2a+1) (a 2a)=a 2a+1 a +2a=1。
6.解析：利用完全平方公式将数转化为“整十/整百数±小数”的形式简化计算：
（1）102 =(100+2) =100 +2·100·2+2 =10000+400+4=10404；
（2）99.5 =(100 0.5) =100 2·100·0.5+0.5 =10000 100+0.25=9900.25。
7.解析：逆向运用完全平方公式，由(x+y) =x +2xy+y 得xy=[(x+y) (x +y )]÷2；代入x+y=7，x +y =25，得xy=(49 25)÷2=12。
8.解析：先计算减少后的边长，再用完全平方公式求面积：
减少后的边长=(2a+3) (2a 1)=2a+3 2a+1=4厘米；
面积=4 =16平方厘米（此处边长计算后为常数，与a无关）；
当a=2时，面积仍为16平方厘米。
（八）教学反思
1.亮点之处：本节课通过生活情境自然导入，激发学生探究兴趣；推导公式时结合代数运算与几何验证，从“数”“形”两方面强化理解，符合学生认知规律；例题设计分层清晰，从基础计算到逆向变形逐步提升，兼顾不同层次学生需求；课堂互动充分，通过小组讨论、上台板演等形式调动学生参与度，及时反馈并纠正易错点。
2.不足之地：在讲解“a、b为多项式”的拓展应用时，如(a+b+c) ，仅通过例题简单示范，未设计足够练习让学生巩固，部分学生对整体思想的运用不够熟练；对公式与平方差公式的对比辨析不够深入，部分学生在混合运算中仍易混淆；课堂练习的个性化指导不足，对运算速度较慢的学生关注不够。
3.改进方向：后续教学中，增加“整体思想应用”的专项练习，如[(x y)+z][(x y) z]这类混合公式题目，强化公式辨析；设计分层练习，基础题侧重公式直接运用，提升题侧重逆向变形与综合运算，满足不同学生需求；建立“错题银行”，收集学生常见错误，通过集中评讲与针对性练习突破难点，同时加强对学困生的个别辅导，提升课堂教学效率。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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