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17.1用提公因式法分解因式 教学设计
一、核心素养目标
1.数学抽象：通过对整式乘法的逆向思考，抽象出分解因式的概念，识别多项式中的公因式，将具体多项式转化为“公因式×另一个因式”的形式，提升抽象概括能力。
2.逻辑推理：经历“整式乘法→逆向猜想→验证规律→归纳方法”的推理过程，理解提公因式法的本质是乘法分配律的逆向运用，培养逆向思维与演绎推理能力。
3.数学运算：熟练掌握提公因式法分解因式的步骤，能准确找出多项式各项的公因式（含系数、字母、符号），规范完成分解过程，提升运算精准度与效率。
4.数学建模：通过分解因式解决实际问题中的整式化简问题，将复杂多项式转化为简单因式的乘积形式，体会数学运算的简化价值，建立数学运算模型。
5.数学思想：体会“逆向思考”“化繁为简”的数学思想，理解分解因式与整式乘法的互逆关系，培养辩证思维能力，为后续分式运算、一元二次方程求解奠定基础。
二、教学重难点
（一）教学重点
1.分解因式的概念：明确分解因式是“把一个多项式化为几个整式的积的形式”，理解其与整式乘法的互逆关系。
2.公因式的确定：掌握公因式的定义，能准确找出多项式各项的公因式，包括系数的最大公约数、相同字母的最低次幂及共同的多项式因式。
3.提公因式法的步骤：熟练运用“找公因式→提公因式→写结果”的步骤分解因式，确保分解彻底，结果正确。
（二）教学难点
1.公因式的精准识别：当多项式各项系数为分数或小数时，难以确定系数的最大公约数；当各项含负号时，易忽略公因式中的负号；当含多项式公因式时，难以运用整体思想识别。
2.提公因式后的剩余项计算：提公因式后，容易漏算“1”或“-1”，如分解2x -4x时，错误得出2x(x-2)是正确的，但分解x -2x+x 时易漏写1，错为x(x-2+x )而非x(x +x-2)。
3.分解因式与整式乘法的辨析：难以准确区分“化和为积”的分解因式与“化积为和”的整式乘法，导致运算方向混淆。
4.分解彻底性的把握：当剩余因式仍可继续分解时，容易停止运算，如将4x -4分解为4(x -1)后未进一步分解为4(x+1)(x-1)。
三、教学环节
（一）情境导入：逆向思考，引出概念
1.旧知回顾：出示整式乘法计算题，让学生快速完成：（1）3x(x+2)（2）-2ab(3a-b)（3）(a+b)(x+y)。学生完成后，教师引导观察：“这些运算都是将整式的积化为多项式，那反过来，如果已知多项式，能否转化为几个整式的积的形式？”
2.生活情境：学校要举办运动会，需要制作一批小彩旗，彩旗形状为三角形，底为(3a+6b)厘米，高为2a厘米，求每面彩旗的面积。学生列出面积公式(1/2)(3a+6b)×2a，教师追问：“如何快速计算这个式子？如果先将(3a+6b)转化为3(a+2b)，计算会更简便，这种转化就是我们今天要学的分解因式。”
3.师生互动：教师板书“3x(x+2)=3x +6x”，并反过来写“3x +6x=3x(x+2)”，提问：“这两个式子有什么关系？第二个式子的变形有什么特点？”引导学生总结：第二个式子是将多项式化为两个整式的积，从而引出“分解因式”的概念。
（二）探究新知：概念建构，方法提炼
1.分解因式的概念
教师给出分解因式的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式，也叫做把这个多项式因式分解。
师生互动：出示一组式子，让学生判断是否为分解因式：
（1）x -4=(x+2)(x-2)（2）x +4x+4=(x+2) （3）2x+4=2(x+2)（4）x+1=x(1+1/x)（5）(x+1)(x-1)=x -1
学生讨论后，教师引导总结判断标准：①左边是多项式，右边是整式的积；②变形是“化和为积”，与整式乘法互逆。强调（4）中1/x不是整式，（5）是整式乘法，均不是分解因式。
2.公因式的识别
教师提问：“观察3x +6x=3x(x+2)，3x在多项式3x +6x中起到什么作用？”引出“公因式”的定义：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
活动探究：分组找出下列多项式的公因式，小组代表发言，教师总结方法：
（1）2x +4x（2）6a b-9ab （3）-4x y +6x y-2xy（4）3(x-y)+6(x-y)
师生共同提炼公因式的确定方法：
①系数：取各项系数的最大公约数（若各项系数为负，通常取负的最大公约数，使括号内首项为正）；
②字母：取各项都含有的相同字母；
③指数：取相同字母的最低次幂；
④多项式因式：若各项含相同的多项式因式，将其看作一个整体作为公因式。
针对（3）强调：各项含负号时，公因式取负，如-4x y +6x y-2xy的公因式为-2xy，提公因式后括号内各项变号；针对（4）强调整体思想，公因式为3(x-y)。
3.提公因式法分解因式的步骤
教师以“分解因式：8a b -12ab c”为例，讲解提公因式法的步骤：
第一步：找公因式。系数8和12的最大公约数为4；相同字母为a、b；a的最低次幂为1，b的最低次幂为2，故公因式为4ab 。
第二步：提公因式。用多项式的每一项除以公因式，得到剩余的因式：(8a b ÷4ab )-(12ab c÷4ab )=2a -3bc。
第三步：写结果。将公因式与剩余因式相乘，即8a b -12ab c=4ab (2a -3bc)。
师生互动：学生模仿步骤分解因式“6x y-9x y +3xy”，教师巡视指导，重点关注学生是否漏算常数项除以公因式的结果。学生板演后，教师点评：3xy÷3xy=1，故结果为3xy(2x -3xy+1)，强调提公因式后剩余项不能漏写1。
易错示范：分解因式“-x +2x”，引导学生思考：公因式为-x，提公因式后得-x(x-2)，或公因式为x，得x(-x+2)，但通常将括号内首项化为正，故优先选择-x(x-2)。
4.分解彻底性的判断
教师出示例子：分解因式“4x -4”，学生可能得出2(2x -2)或4(x -1)，教师追问：“这两种结果是否正确？还能继续分解吗？”引导学生发现x -1可分解为(x+1)(x-1)，故最终结果为4(x+1)(x-1)。
师生总结：分解因式需做到“分解彻底”，即剩余的因式不能再继续分解为止。判断标准：看剩余因式是否为最简整式，若为二项式，检查是否为平方差；若为三项式，检查是否为完全平方式（后续学习）。
（三）例题讲解：分层示范，突破难点
例1：基础型——直接提公因式
分解因式：（1）15a -5a（2）-24x +12x -28x（3）3x(x-y)+6y(y-x)
师生互动：（1）引导学生确定公因式为5a，结果为5a(3a-1)；（2）公因式为-4x，提公因式后括号内各项变号，结果为-4x(6x -3x+7)；（3）注意到(y-x)=-(x-y)，将式子转化为3x(x-y)-6y(x-y)，公因式为3(x-y)，结果为3(x-y)(x-2y)。
例2：提升型——含多项式公因式与分解彻底
分解因式：（1）(a+b) -2(a+b)（2）4x (x-y)-8x(y-x) （3）2a -8a
师生互动：（1）将(a+b)看作整体，公因式为(a+b)，结果为(a+b)(a+b-2)；（2）先统一符号，(y-x) =(x-y) ，公因式为4x(x-y)，结果为4x(x-y)[x-2(x-y)]=4x(x-y)(-x+2y)=-4x(x-y)(x-2y)；（3）先提公因式2a，得2a(a -4)，再分解a -4为(a+2)(a-2)，最终结果为2a(a+2)(a-2)。
例3：实际应用型——分解因式简化运算
已知x+y=5，xy=3，求代数式2x y+4x y +2xy 的值。
师生互动：教师引导学生先对代数式分解因式，再代入求值。学生分组讨论后，教师板书过程：
原式=2xy(x +2xy+y )=2xy(x+y) ，代入x+y=5，xy=3，得2×3×5 =2×3×25=150。强调分解因式可将复杂代数式转化为含已知条件的形式，简化计算。
（四）课堂互动练习：即时反馈，巩固提升
组织学生以“小组竞赛”形式完成练习，每组完成后交换批改，教师针对共性问题集中讲解。
1.判断下列变形是否为分解因式：（1）x +3x=x(x+3)（2）x -4+3x=(x+2)(x-2)+3x（3）2x y=2x·xy
2.找出下列多项式的公因式：（1）12x y-18xy （2）-5x +10x-15（3）a(x-3)+b(x-3)
3.分解因式：（1）7x -21x（2）-3m +12m -15m（3）2(x-y) -(x-y)（4）3a b-6a b +3ab
4.先分解因式，再求值：3a b+6ab ，其中a=2，b=3。
师生互动：重点点评第3题（4），学生易分解为3ab(a -2ab+b )后停止，需提醒继续分解为3ab(a-b) ；第4题强调先分解因式再代入，避免直接代入计算繁琐。
（五）重点知识归纳概括
1.核心概念
（1）分解因式：将多项式化为几个整式的积的形式，与整式乘法互逆（整式乘法：积→和；分解因式：和→积）。
（2）公因式：多项式各项共有的相同因式，包含系数（最大公约数，可含负号）、相同字母（最低次幂）、多项式因式（整体思想）。
（3）提公因式法：将多项式各项的公因式提出，化为公因式与剩余因式乘积的分解方法，是最基本的分解因式方法。
2.提公因式法步骤
（1）找公因式：“三看”——看系数（最大公约数，符号优先使括号内首项为正）、看字母（相同字母）、看指数（最低次幂）；若含多项式因式，看作整体。
（2）提公因式：用多项式每一项除以公因式，得到剩余因式，注意常数项和单独字母的处理，不能漏写“1”或“-1”。
（3）写结果：公因式×剩余因式，检查剩余因式是否分解彻底，若可继续分解需分解至最简。
3.易错点与规避方法
（1）概念混淆：将整式乘法当作分解因式。规避：牢记“和→积”是分解因式，“积→和”是整式乘法。
（2）公因式找错：漏系数、漏字母或指数错误。规避：按“系数→字母→指数”分步找，多项时用整体思想。
（3）漏写“1”：提公因式后剩余项为1时省略。规避：用每一项除以公因式，结果写全，如3x+3=3(x+1)而非3(x)。
（4）符号错误：各项含负号时处理不当。规避：公因式取负号，括号内各项变号，确保括号内首项为正。
（5）分解不彻底：剩余因式可继续分解。规避：分解后检查剩余因式，二项式看是否为平方差，三项式看是否为完全平方式。
（六）教学小结
1.知识层面：本节课我们理解了分解因式的概念，明确其与整式乘法的互逆关系；掌握了公因式的确定方法，学会用提公因式法分解因式，核心步骤是“找、提、写”，并确保分解彻底。
2.方法层面：经历了“逆向思考”的探究过程，体会了乘法分配律的逆向运用，学会用“化繁为简”的思想将复杂多项式转化为简单因式的乘积，提升了运算与推理能力。
3.应用层面：分解因式在代数式化简、求值等问题中具有重要作用，为后续分式运算、方程求解等知识奠定基础，需熟练掌握提公因式法这一基本技能。
（七）课后练习（含答案解析）
1.下列从左到右的变形，属于分解因式的是（）
A.(x+2)(x-2)=x -4B.x +4x+4=(x+2) C.x -4+3x=(x+2)(x-2)+3xD.x -1=x(x-1/x)
2.多项式-6x y +12x y -8x y 的公因式是（）
A.-2x y B.-2x yC.2x y D.-2xy
3.分解因式3x -6x的结果正确的是（）
A.3x(x-2)B.3(x -2x)C.x(3x-6)D.3x(x -2)
4.分解因式-2a +4a的结果是（）
A.-2a(a+2)B.2a(-a+2)C.-2a(a-2)D.-2(a -2a)
5.分解因式：
（1）14m n-21mn （2）-8x y +12x y-4xy（3）5(x-y) +10(y-x) （4）a b-2ab +b
6.先分解因式，再求值：
（1）4x y-8xy ，其中x=1，y=-1；（2）(a-b) -6(a-b)+9，其中a=10，b=7（提示：将(a-b)看作整体）
7.已知x +x-1=0，求代数式x +2x +2025的值（提示：x =x·x ，用已知条件替换x ）。
8.一个长方形的长为(2a+3b)，宽为(2a-3b)，另一个正方形的边长为(a+b)，求长方形与正方形的面积差，并将结果分解因式。
答案解析
1.答案：B解析：A是整式乘法，C右边不是整式积，D中1/x不是整式，仅B符合分解因式定义。
2.答案：A解析：系数-6、12、-8的最大公约数为-2，相同字母x、y的最低次幂分别为2、2，故公因式为-2x y 。
3.答案：A解析：公因式为3x，提公因式后得3x(x-2)，B、C未分解彻底，D指数错误。
4.答案：C解析：公因式为-2a，提公因式后得-2a(a-2)，B虽正确但括号内首项为负，优先选C。
5.解析：
（1）14m n-21mn =7mn(2m-3n)；
（2）-8x y +12x y-4xy=-4xy(2x y-3x+1)；
（3）5(x-y) +10(y-x) =5(x-y) +10(x-y) =5(x-y) (x-y+2)；
（4）a b-2ab +b =b(a -2ab+b )=b(a-b) （分解彻底）。
6.解析：
（1）原式=4xy(x-2y)，代入x=1，y=-1，得4×1×(-1)(1+2)=-4×3=-12；
（2）原式=(a-b-3) ，代入a=10，b=7，得(10-7-3) =0 =0。
7.解析：由x +x-1=0得x =1-x，代入原式：
x +2x +2025=x·x +2x +2025=x(1-x)+2x +2025=x-x +2x +2025=x+x +2025=(x +x)+2025=1+2025=2026。
8.解析：长方形面积=(2a+3b)(2a-3b)=4a -9b ，正方形面积=(a+b) =a +2ab+b ；
面积差=4a -9b -(a +2ab+b )=3a -2ab-10b =(3a+5b)(a-2b)（十字相乘法，后续将学）。
（八）教学反思
1.亮点之处：本节课以整式乘法逆向思考引入，自然衔接旧知与新知，符合学生认知规律；通过实例辨析分解因式概念，强化“和→积”的本质特征；公因式确定采用“小组探究+总结方法”的形式，提升学生参与度；例题设计兼顾基础、提升与应用，分层突破难点，尤其注重分解彻底性与符号问题的强调。
2.不足之地：对“多项式公因式”的讲解不够深入，部分学生对(x-y)与(y-x)的符号转化掌握不熟练；课堂练习中，针对“分解彻底”的专项练习不足，学生易在剩余因式可继续分解时停止；对学困生的个别指导不够，导致部分学生在公因式含负号时仍出现符号错误。
3.改进方向：后续教学中，增加“多项式公因式符号转化”的专项练习，如(x-y)与(y-x)的变形训练；设计“分解因式闯关题”，分步骤检验分解是否彻底；建立“一对一”帮扶机制，让优等生帮助学困生解决符号与漏写1等问题；课后作业增加分层设计，基础题巩固步骤，提升题侧重综合应用，确保不同层次学生均能达标。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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