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17.2用公式法分解因式 教学设计
一、核心素养目标
1.数学抽象：通过对平方差公式、完全平方公式逆向运用的探究，抽象出公式法分解因式的结构特征，理解公式中“a”“b”的广泛含义，将具体多项式转化为“因式乘积”的数学模型，提升抽象概括能力。
2.逻辑推理：经历“公式正向回顾→逆向猜想→验证应用→归纳方法”的推理过程，理解公式法分解因式与整式乘法的互逆关系，培养逆向思维、合情推理与演绎推理能力。
3.数学运算：熟练掌握平方差公式、完全平方公式在分解因式中的应用，能准确判断多项式是否符合公式结构，规范完成分解过程，规避符号、系数等运算错误，提升运算精准度。
4.直观想象：结合平方差公式、完全平方公式的几何意义，建立多项式结构与几何图形的关联，通过图形直观理解公式的合理性，深化数形结合思想。
5.数学建模：运用公式法分解因式解决代数式化简、求值等实际问题，将复杂多项式转化为简单因式乘积形式，体会数学运算的简化价值，建立高效运算模型。
6.数学思想：体会“逆向思考”“化繁为简”“分类讨论”的数学思想，形成“先判断结构，再选择公式”的分解思路，为后续分式运算、方程求解奠定基础。
二、教学重难点
（一）教学重点
1.公式法分解因式的核心公式：掌握平方差公式a b =(a+b)(a b)、完全平方公式a ±2ab+b =(a±b) 的逆向运用，明确公式的结构特征。
2.公式的适用条件：能准确判断多项式是否符合平方差公式（两项、异号、均为平方形式）或完全平方公式（三项、首尾为平方、中间为两倍积）的结构特征。
3.公式的熟练应用：能根据多项式结构选择对应公式，正确确定“a”“b”，完成分解因式，并确保分解彻底。
（二）教学难点
1.公式适用条件的精准判断：在复杂多项式中，如含系数、负号或多项式项的式子，难以快速识别是否符合平方差或完全平方公式结构，易出现公式误用。
2.“a”“b”为复杂代数式时的运算：当“a”“b”是含系数的单项式（如2x）、多项式（如x+y）或含负号的代数式（如 3m）时，难以准确确定“a”“b”，导致平方或两倍积计算错误。
3.分解因式的彻底性：分解后剩余因式仍可继续分解时，易停止运算，如将4x 1分解为(2x +1)(2x 1)后，未进一步分解2x 1。
4.多种方法的综合运用：当多项式需先提公因式再用公式法时，难以把握“先提公因式，再用公式”的顺序，如分解3x 12，易直接用平方差公式而非先提公因式3。
5.符号问题的处理：完全平方公式中中间项符号与因式符号的关联，平方差公式中负号的转化，易出现符号错误，如将 x +y 误分解为 (x+y)(x y)而非(y+x)(y x)。
三、教学环节
（一）情境导入：逆向设问，唤醒旧知
1.旧知回顾：出示整式乘法计算题，学生快速完成并口述依据：（1）(x+3)(x 3)（2）(2a b) （3）(m+2n)(m 2n)。学生回答后，教师板书结果：（1）x 9（2）4a 4ab+b （3）m 4n 。
2.逆向设问：教师将板书内容反转，变为：（1）x 9=？（2）4a 4ab+b =？（3）m 4n =？提问：“已知这些多项式，如何转化为几个整式的积的形式？这种变形就是我们今天要学的——用公式法分解因式。”
3.生活情境：学校要对一块边长为x米的正方形草坪进行改造，计划从一侧减少3米，另一侧增加3米，改造后草坪面积为x 9平方米，如何快速表示改造后草坪的长和宽？引导学生得出x 9=(x+3)(x 3)，长为(x+3)米，宽为(x 3)米，体会分解因式的实际意义。
4.师生互动：教师总结：“我们之前学过的平方差公式、完全平方公式，正向运用是整式乘法，逆向运用就是分解因式，这节课我们就来探索如何用这两个公式分解因式。”
（二）探究新知：分类探究，构建方法
1.平方差公式法分解因式
（1）公式推导与结构分析
教师引导：“由整式乘法可知(a+b)(a b)=a b ，逆向运用这个等式，就得到平方差公式的分解形式：a b =(a+b)(a b)。”
师生互动：组织学生小组讨论：“什么样的多项式能用平方差公式分解因式？”结合实例x 9、m 4n 、25a 16b ，学生总结后，教师提炼适用条件：①多项式为二项式；②两项符号相反（一正一负）；③两项均能表示为某个整式的平方形式（即“平方差”结构）。
结构拆解：以x 9为例，x 是x的平方，9是3的平方，两项异号，符合“a b ”结构，其中a=x，b=3，故分解为(x+3)(x 3)。强调“a”“b”可以是数、单项式、多项式。
（2）几何验证
出示边长为a的大正方形，在其中剪去一个边长为b的小正方形（b（3）例题示范与练习
例1：分解因式：（1）4x 25（2） 16m +9n （3）(x+y) (x y)
师生互动：（1）引导学生判断4x 25符合平方差结构，4x =(2x) ，25=5 ，a=2x，b=5，结果为(2x+5)(2x 5)；（2）先提取负号，转化为 (16m 9n )= [(4m) (3n) ]= (4m+3n)(4m 3n)，强调两项异号的处理；（3）将(x+y)看作a，(x y)看作b，结果为[(x+y)+(x y)][(x+y) (x y)]=(2x)(2y)=4xy，强调整体思想。
即时练习：学生独立分解因式：（1）9a 1（2） x +16（3）(a+2) 9，教师巡视指导，重点纠正符号错误。
2.完全平方公式法分解因式
（1）公式推导与结构分析
教师引导：“由整式乘法可知(a±b) =a ±2ab+b ，逆向运用就得到完全平方公式的分解形式：a ±2ab+b =(a±b) 。”
师生互动：组织学生小组讨论：“什么样的多项式能用完全平方公式分解因式？”结合实例x +6x+9、4a 4ab+b 、m +4mn+4n ，学生总结后，教师提炼适用条件：①多项式为三项式；②首尾两项是某个整式的平方形式，且符号相同；③中间项是首尾两项底数乘积的两倍，符号与左边二项式的符号一致（即“完全平方式”结构）。
结构拆解：以x +6x+9为例，首尾x =x 、9=3 ，中间项6x=2·x·3，符合“a +2ab+b ”结构，a=x，b=3，故分解为(x+3) 。以4a 4ab+b 为例，首尾4a =(2a) 、b =b ，中间项 4ab= 2·2a·b，符合“a 2ab+b ”结构，a=2a，b=b，故分解为(2a b) 。
记忆口诀：引导学生总结“首平方，尾平方，首尾积的两倍放中央，符号跟着中间项，完全平方准能上”的口诀，强化结构记忆。
（2）几何验证
出示边长为(a+b)的大正方形，面积为(a+b) ，其由边长为a的正方形、边长为b的正方形及两个长a宽b的长方形组成，面积和为a +2ab+b ，验证a +2ab+b =(a+b) 。同理，通过边长为(a b)的正方形面积推导a 2ab+b =(a b) ，实现数形结合理解。
（3）例题示范与练习
例2：分解因式：（1）x 8x+16（2）25m +30mn+9n （3） x 2xy y
师生互动：（1）判断x 8x+16为完全平方式，首尾x =x 、16=4 ，中间项 8x= 2·x·4，结果为(x 4) ；（2）25m =(5m) 、9n =(3n) ，中间项30mn=2·5m·3n，结果为(5m+3n) ；（3）先提取负号，转化为 (x +2xy+y )= (x+y) ，强调首尾符号相同的重要性。
即时练习：学生独立分解因式：（1）a +4a+4（2）9x 12xy+4y （3） 2ab+a +b ，教师重点点评中间项符号与系数的处理。
3.综合方法：先提公因式，再用公式
教师提问：“如果多项式各项含有公因式，能否直接用公式法分解？”出示例子：分解因式3x 12。学生可能直接用平方差公式，教师引导：“先观察是否有公因式，3x 12的公因式为3，应先提公因式再用公式。”
例题示范：分解因式：（1）3x 12（2）2a 12a +18a
解：（1）3x 12=3(x 4)=3(x+2)(x 2)（先提公因式3，再用平方差公式）；（2）2a 12a +18a=2a(a 6a+9)=2a(a 3) （先提公因式2a，再用完全平方公式）。
师生总结：分解因式的一般步骤为“一提（提公因式）、二套（套公式）、三查（查彻底）”，确保分解结果中每个因式都不能再继续分解。
（三）例题讲解：分层突破，强化应用
例3：基础型——公式直接应用
分解因式：（1）16x 81y （2）(a b) 6(a b)+9
师生互动：（1）16x =(4x ) ，81y =(9y ) ，先分解为(4x +9y )(4x 9y )，再将4x 9y 分解为(2x+3y)(2x 3y)，最终结果为(4x +9y )(2x+3y)(2x 3y)，强调分解彻底；（2）将(a b)看作整体，符合完全平方式，结果为(a b 3) ，强调整体思想。
例4：提升型——公式综合应用与代数式求值
（1）分解因式：x y +2x+2y；（2）已知x+y=5，xy=4，求x y+xy x y的值。
师生互动：（1）分组分解，x y =(x+y)(x y)，2x+2y=2(x+y)，公因式为(x+y)，结果为(x+y)(x y+2)；（2）先分解因式：x y+xy x y=xy(x+y) (x+y)=(x+y)(xy 1)，代入x+y=5，xy=4，得5×(4 1)=15，强调分解因式简化求值的优势。
例5：易错型——符号与结构辨析
判断下列多项式能否用公式法分解因式，若能，写出分解结果；若不能，说明理由：（1）x +y （2）x 2xy y （3） a 4b +4ab
师生互动：（1）x +y 是平方和，不是平方差，不能用公式；（2）x 2xy y 首尾符号相反，不符合完全平方式首尾同号的条件，不能用公式；（3）先整理为 (a 4ab+4b )= (a 2b) ，能用品完全平方公式，强调符号与结构的调整。
（四）课堂互动练习：小组竞赛，即时反馈
组织学生以“小组竞赛”形式完成练习，每组推选1名代表上台板演，其他学生在练习本上完成，完成后小组间交换批改，教师针对共性问题集中讲解。
1.分解因式：（1）25 4x （2）x +14x+49（3） 3x +6xy 3y
2.分解因式：（1）(x +1) 4x （2）a b ab （3）(x 1) 2(x 1)+1
3.先分解因式，再求值：4a 12ab+9b ，其中a=3，b=1。
师生互动：重点点评第2题（1），学生易分解为(x +1+2x)(x +1 2x)后停止，需提醒继续分解为(x+1) (x 1) ；第3题强调先分解为(2a 3b) 再代入求值，避免直接计算繁琐。对符号错误、分解不彻底等问题进行集中纠正。
（五）重点知识归纳概括
1.核心公式与结构特征
（1）平方差公式：①形式：a b =(a+b)(a b)；②适用条件：二项式、两项异号、均为平方形式；③关键：找准“a”“b”（平方后的底数），符号相反是前提。
（2）完全平方公式：①形式：a ±2ab+b =(a±b) ；②适用条件：三项式、首尾为平方（同号）、中间为两倍积（符号随中间项）；③关键：验证“中间项=2×首项底数×尾项底数”，符号与中间项一致。
2.分解因式的一般步骤
第一步：提公因式——先观察多项式各项是否有公因式，若有，先提取公因式（提公因式是分解因式的首选步骤）；
第二步：套公式——若剩余因式是二项式，判断是否为平方差结构，用平方差公式；若剩余因式是三项式，判断是否为完全平方结构，用完全平方公式；
第三步：查彻底——检查分解后的每个因式是否还能继续分解，若能，继续分解至每个因式为最简整式；
第四步：验结果——用整式乘法将分解结果展开，与原多项式对比，验证正确性。
3.关键技巧与易错点规避
（1）整体思想应用：当“a”“b”为多项式时，将其看作一个整体，如(x+y) (x y) 中，a=x+y，b=x y。
（2）符号处理技巧：①平方差公式：两项异号，可提取负号转化为“正平方 负平方”，如 x +y =y x =(y+x)(y x)；②完全平方公式：首尾符号必须相同，若为负，先提取负号，如 x 2xy y = (x +2xy+y )。
（3）分解彻底性判断：①平方差公式分解后，若因式仍为平方差形式，继续分解，如x 1=(x +1)(x 1)=(x +1)(x+1)(x 1)；②完全平方公式分解后，因式为一次二项式，无需再分解。
（4）常见易错点：①平方差公式与完全平方公式混淆，如将x 2xy+y 误分解为(x+y)(x y)；②漏提公因式，如将2x 8误分解为(√2x+2√2)(√2x 2√2)而非2(x 4)=2(x+2)(x 2)；③中间项系数错误，如将x +4x+4误分解为(x+4) 而非(x+2) 。
（六）教学小结
1.知识层面：本节课我们学习了用平方差公式和完全平方公式分解因式，明确了两种公式的适用条件与结构特征，掌握了“一提、二套、三查”的分解步骤，能根据多项式结构选择合适公式，确保分解彻底。
2.方法层面：经历了“逆向思考”的探究过程，理解了公式法分解因式与整式乘法的互逆关系，体会了整体思想、数形结合思想在分解因式中的应用，形成了“先判断结构，再选择方法”的解题思路。
3.应用层面：公式法分解因式是简化代数式运算的重要工具，在代数式求值、分式化简等问题中具有重要作用，需熟练掌握两种公式的应用技巧，规避符号、分解不彻底等错误。
（七）课后练习（含答案解析）
1.下列多项式能用平方差公式分解因式的是（）
A.x +y B. x y C.x y D. x +y
2.多项式x 6x+9分解因式的结果是（）
A.(x+3) B.(x 3) C.(x+3)(x 3)D.(x 6)
3.分解因式2a 8a的结果正确的是（）
A.2a(a 4)B.2(a 4a)C.2a(a+2)(a 2)D.2a(a 2)
4.若x +mx+16是完全平方式，则m的值为（）
A.8B. 8C.±8D.±4
5.分解因式：
（1）36x 49y （2）x 10x+25（3） 4x y+12xy 9y （4）(a+b) 4a
6.分解因式：
（1）x 16（2）a 2ab+b c （3）2x 4x+2
7.先分解因式，再求值：(x +y ) 4x y ，其中x=3，y=1。
8.已知a b=3，ab=2，求代数式a b 2a b +ab 的值。
答案解析
1.答案：D解析：A是平方和，B可化为 (x +y )是平方和的相反数，C中y 不是平方形式，D可化为y x ，是平方差，能用平方差公式。
2.答案：B解析：x 6x+9符合完全平方式，x =x ，9=3 ，中间项 6x= 2·x·3，故分解为(x 3) 。
3.答案：C解析：2a 8a先提公因式2a得2a(a 4)，再用平方差公式分解为2a(a+2)(a 2)，A、B未分解彻底，D公式误用。
4.答案：C解析：x +mx+16是完全平方式，可化为(x±4) =x ±8x+16，故m=±8。
5.解析：
（1）36x 49y =(6x) (7y) =(6x+7y)(6x 7y)；
（2）x 10x+25=x 2·x·5+5 =(x 5) ；
（3） 4x y+12xy 9y = y(4x 12xy+9y )= y[(2x) 2·2x·3y+(3y) ]= y(2x 3y) ；
（4）(a+b) 4a =(a+b) (2a) =[(a+b)+2a][(a+b) 2a]=(3a+b)(b a)。
6.解析：
（1）x 16=(x ) 4 =(x +4)(x 4)=(x +4)(x+2)(x 2)；
（2）a 2ab+b c =(a b) c =(a b+c)(a b c)（分组分解后用平方差公式）；
（3）2x 4x+2=2(x 2x+1)=2(x 1) （先提公因式，再用完全平方公式）。
7.解析：原式=(x +y +2xy)(x +y 2xy)=(x+y) (x y) ；代入x=3，y=1，得(3+1) (3 1) =16×4=64。
8.解析：原式=ab(a 2ab+b )=ab(a b) ；代入a b=3，ab=2，得2×3 =2×9=18。
（八）教学反思
1.亮点之处：本节课以整式乘法逆向思考引入，自然衔接旧知与新知，符合学生认知规律；将公式法分为平方差公式和完全平方公式两类探究，结构清晰，便于学生理解；例题设计兼顾基础、提升与易错类型，覆盖“直接用公式、先提公因式再用公式、整体思想应用”等场景，分层突破难点；课堂采用小组竞赛形式，充分调动学生参与度，即时反馈并纠正错误，提升教学效率。
2.不足之地：对“分组分解后用公式”的讲解不够深入，如a b +2a+2b，部分学生难以想到分组方法；对公式综合应用的练习量不足，学生在面对含多个字母或复杂结构的多项式时，仍难以快速判断公式适用类型；对学困生的个别指导不够，导致部分学生在符号处理、分解彻底性上仍存在问题。
3.改进方向：后续教学中，增加“分组分解”的专项练习，总结“分组后能提公因式或用公式”的分组原则；设计“多项式结构辨析表”，让学生通过表格对比平方差、完全平方及其他多项式的结构特征，提升判断能力；建立“错题档案”，收集学生常见错误，通过集中评讲、一对一辅导等方式突破难点；课后作业设计分层任务，基础题巩固公式应用，提升题侧重综合分解，满足不同层次学生需求。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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