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18.1.1从分数到分式 教学设计
一、核心素养目标
数学抽象：通过分数与分式的类比，抽象出分式的概念，识别分式的本质特征，理解分式中字母的取值范围与分式意义的关联，将具体情境中的数量关系转化为分式模型，提升抽象概括能力。
逻辑推理：经历“分数特征分析→分式概念猜想→分式性质验证→分式应用”的推理过程，借助类比思想推导分式的相关属性，培养合情推理与演绎推理相结合的能力。
数学运算：掌握分式有意义、无意义及值为零的条件，能准确求解分式中字母的取值范围，能根据字母取值计算分式的值，提升运算的严谨性与精准度。
数学建模：在行程、工程、购物等实际情境中，运用分式表示数量关系，建立分式模型，体会分式在描述实际问题中的作用，增强数学应用意识。
数学思想：体会“类比迁移”“数形结合”“分类讨论”的数学思想，通过分数与分式的关联学习，建立新旧知识的联系，形成系统的知识体系。
直观想象：结合实际情境中的数量关系，直观理解分式的实际意义，通过分式值的变化感受字母取值对分式的影响，建立抽象概念与具体情境的联系。
二、教学重难点
（一）教学重点
分式的概念：理解分式的定义，能准确区分分式与整式，识别分式的分子、分母及分式的本质特征（分母含字母且不为零）。
分式有意义的条件：掌握分式有意义的核心条件——分母不为零，能根据分式表达式求解字母的取值范围。
分式值为零的条件：明确分式值为零需同时满足“分子为零且分母不为零”两个条件，能精准计算使分式值为零的字母取值。
（二）教学难点
分式概念的精准把握：难以区分“分母含字母”这一本质特征，易将含字母但分母为常数的整式误判为分式，如将误归为分式。
分式有意义与值为零条件的辨析：易忽略分式值为零时“分母不为零”的限制条件，仅考虑分子为零，如求值为零时，错误得出x=2且x=-1的结论。
复杂分式中字母取值范围的求解：当分式分母为含字母的多项式时，难以准确求解使分母不为零的字母取值，如求解中x的取值范围，易遗漏x=2或x=-2的限制。
实际情境中分式的构建：难以将实际问题中的数量关系转化为分式表达式，无法准确识别情境中的变量与常量，如行程问题中忽略速度、时间与路程的关系构建分式。
三、教学环节
（一）情境导入：类比迁移，引出概念
旧知回顾：出示分数相关问题，唤醒学生对分数的认知：（1）表示“3除以5”的分数是，其中分子是3，分母是5，分数有意义的条件是分母不为零；（2）若把3kg苹果平均分给5个同学，每人分得kg，若平均分给n个同学，每人分得多少kg？引导学生回答kg。
情境设问：展示3个实际问题，让学生用代数式表示结果：
（1）长方形花坛的面积为20㎡，长为x m，则宽为多少m？（2）一辆汽车行驶100km，速度为v km/h，则行驶时间为多少h？（3）某商品原价为a元，现降价20%销售，则现价为多少元？
学生回答后，教师板书结果：、、0.8a，提问：“这些代数式中，、与我们熟悉的分数有什么相似之处？与0.8a又有什么不同？”
师生互动：引导学生对比分析：、与均为“两数相除”的形式，都有分子和分母；不同之处在于的分母是常数，而、的分母含字母。教师总结：“像、这样的代数式，就是我们今天要学习的新内容——分式。”
（二）探究新知：概念构建，性质探究
1.分式的概念
教师给出分式的定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
师生互动：组织学生小组讨论，明确分式的本质特征，教师通过一系列问题引导：
（1）“A、B表示两个整式”意味着什么？（分子、分母可以是单项式或多项式，如中，分子是多项式x +1，分母是多项式x-3）
（2）“B中含有字母”是分式的核心特征，那么、、、中，哪些是分式？为什么？（、是分式，因为它们的分母含字母；、的分母是常数，属于整式）
（3）分式与整式的根本区别是什么？（整式的分母不含字母，分式的分母含字母）
即时练习：判断下列代数式是否为分式：① ② ③ ④ ⑤。学生回答后，教师强调：π是常数，不是字母，故的分母含字母x，是分式。
2.分式有意义的条件
教师引导：“我们知道分数有意义的条件是分母不为零，那么分式有意义的条件是什么呢？”结合分数的性质，让学生类比猜想分式有意义的条件。
实验探究：让学生计算当x取不同值时，分式的情况：
（1）当x=2时，分母x-1=1≠0，分式的值为1，有意义；（2）当x=1时，分母x-1=0，分式无意义；（3）当x=0时，分母x-1=-1≠0，分式的值为-1，有意义。
师生总结：分式有意义的条件是分母不为零，即对于分式，当B≠0时，分式有意义；当B=0时，分式无意义。
例题示范：例1 当x取何值时，分式有意义？
解：要使分式有意义，需分母不为零，即x+3≠0，解得x≠-3。因此，当x≠-3时，分式有意义。
即时练习：当x取何值时，下列分式有意义？① ② ③。学生完成后，教师点评：x +1恒大于0，故③中x可取任意实数，强调分母为多项式时，需先因式分解再求解，如②中x -4=(x+2)(x-2)，则x≠-2且x≠2。
3.分式值为零的条件
教师提问：“当分数的值为零时，分子和分母满足什么条件？（分子为零且分母不为零）类比分数，分式值为零的条件是什么呢？”
师生互动：以分式为例，探究分式值为零的条件：
（1）当x=2时，分子x-2=0，分母x+1=3≠0，分式的值为0，符合要求；（2）当x=-1时，分母x+1=0，分式无意义，即使分子不为零，也不能讨论值为零的情况；（3）当x=3时，分子x-2=1≠0，分式的值为，不为零。
总结：分式值为零的条件是分子为零且分母不为零，即对于分式，当A=0且B≠0时，分式的值为零。
例题示范：例2 当x取何值时，分式的值为零？
解：要使分式的值为零，需同时满足两个条件：①分子为零：x -4=0，解得x=2或x=-2；②分母不为零：x+2≠0，解得x≠-2。综上，x=2时，分式的值为零。
即时练习：当x取何值时，分式的值为零？学生易得出x=3的错误结论，教师强调：当x=3时，分母x-3=0，分式无意义，故该分式不存在值为零的情况，培养学生思维的严谨性。
4．分式值的计算
教师说明：当分式有意义时，可将字母的取值代入分式，计算分式的值。
例题示范：例3 已知x=2，求分式的值；已知x=-1，求分式的值。
解：（1）当x=2时，分母x-1=1≠0，分式的值为；（2）当x=-1时，分母x+2=1≠0，分式的值为。
师生互动：若x=1，能否计算的值？为什么？（不能，因为x=1时分母为零，分式无意义）强调计算分式值前，需先判断分式是否有意义。
（三）例题讲解：分层突破，强化应用
例1：基础型——分式的识别与有意义条件
（1）下列代数式中，属于分式的是（ ）
A. B. C. D.
（2）当x取何值时，分式有意义？
师生互动：（1）引导学生根据分式定义判断，B选项分母含字母x，是分式，其余选项分母为常数，属于整式；（2）先将分母因式分解为(x-2)(x-3)，再令分母不为零，即(x-2)(x-3)≠0，解得x≠2且x≠3，强调因式分解在求解复杂分母取值范围中的作用。
例2：提升型——分式值为零的条件与分式值的计算
（1）当x取何值时，分式的值为零？
（2）已知分式，当a为何值时，分式的值为1？
师生互动：（1）分子|x|-3=0解得x=3或x=-3，分母x-3≠0解得x≠3，故x=-3；（2）令分式的值为1，即，两边同乘a+3（a≠-3）得2a-1=a+3，解得a=4，验证a=4时分母a+3=7≠0，故a=4，强调解方程后需验证分母不为零。
例3：应用型——实际情境中分式的构建与应用
（1）某工厂接到一批订单，需生产n件产品，原计划每天生产m件，实际每天比原计划多生产2件，实际完成订单需要多少天？用分式表示，并说明分式有意义的条件。
（2）甲、乙两地相距s km，一辆客车从甲地开往乙地，速度为v km/h，一辆货车从乙地开往甲地，速度比客车慢10 km/h，货车从乙地到甲地需要多少小时？当s=300，v=60时，求货车的行驶时间。
师生互动：（1）实际每天生产(m+2)件，实际完成时间为天，分式有意义的条件是m+2≠0且m为正数（实际生产中每天生产量不为负数），即m>0；（2）货车速度为(v-10)km/h，行驶时间为小时，代入s=300，v=60得小时，强调实际情境中字母取值需符合实际意义。
（四）课堂互动练习：小组合作，即时反馈
组织学生以“小组合作”形式完成练习，每组负责解答2道题，完成后派代表分享解题思路，教师针对共性问题集中点评。
下列代数式中，是分式的有_______（填序号）：① ② ③ ④ ⑤
当x取何值时，分式无意义？
当x取何值时，分式的值为零？
已知分式，当k为何值时，分式的值为负数？（提示：分子分母异号）
某商店购进一批水果，进价为每千克a元，售价为每千克b元（b>a），则每千克水果的利润为_______元，若购进m千克水果，全部售出后总利润为_______元，用分式表示总利润与总成本的比值为_______。
师生互动：重点点评第4题，引导学生分两种情况讨论：①分子正、分母负：3k-1>0且k+2<0，无解；②分子负、分母正：3k-1<0且k+2>0，解得-2（五）重点知识归纳概括
1.分式的核心概念
（1）定义：形如（A、B为整式，B含字母）的式子，关键特征是“分母含字母”，与整式的区别在于分母是否含字母。
（2）组成：分子（A）可以是任意整式，分母（B）必须是含字母的整式，且B≠0（分式有意义的前提）。
（3）注意事项：π是常数，不是字母；分母含字母但分子为零的式子仍是分式，如（x≠0）。
2.分式的关键条件
（1）有意义的条件：分母不为零（B≠0），求解步骤：①确定分母表达式；②令分母≠0，解不等式；③写出字母取值范围（分母为多项式时先因式分解）。
（2）无意义的条件：分母为零（B=0），直接令分母=0求解即可。
（3）值为零的条件：分子为零且分母不为零（A=0且B≠0），求解步骤：①令分子=0，解出字母取值；②将取值代入分母，排除使分母为零的情况；③确定最终取值。
（4）值为正/负的条件：值为正则分子分母同号，值为负则分子分母异号，需结合不等式求解（注意分母不为零）。
3.分式的应用与计算
（1）实际情境建模：根据行程问题（时间=路程/速度）、工程问题（时间=工作量/效率）、利润问题（利润=售价-进价）等数量关系，用分式表示未知量。
（2）分式值的计算：①先判断分式是否有意义（分母≠0）；②将字母取值代入分子、分母；③计算分子分母的值，求出分式值。
4.易错点规避
（1）混淆分式与整式：牢记“分母含字母”是分式的唯一核心特征，如是整式，是分式。
（2）忽略分式值为零的分母条件：仅考虑分子为零，忘记验证分母不为零，如值为零时，需同时满足x-2=0和x+1≠0，即x=2。
（3）实际情境中字母取值限制：除满足分式条件外，还需符合实际意义，如时间、速度、数量等不能为负数。
（六）教学小结
知识梳理：本节课我们通过分数与分式的类比，理解了分式的概念，明确了分式与整式的区别；掌握了分式有意义、无意义及值为零的条件，能准确求解字母的取值范围；学会了在实际情境中构建分式模型，并计算分式的值。
方法总结：运用“类比迁移”思想从分数知识推导分式性质，采用“分类讨论”思想解决分式值为正/负的问题，通过“先判断条件，再计算求值”的步骤确保运算严谨性，这些思想方法将帮助我们更好地学习后续分式知识。
核心提醒：分式的学习核心是“分母含字母且不为零”，无论是判断分式、求解取值范围还是计算分式值，都需围绕这一核心，避免忽略分母的限制条件。
（七）课后练习（含答案解析）
下列各式中，属于分式的是（ ）
A. B. C. D.
当 ______时，分式无意义。
当x取何值时，分式有意义？
当x取何值时，分式的值为零？
已知分式，当m为何值时，分式的值为2？
某工程队承建一项工程，原计划每天完成a平方米，实际每天比原计划多完成b平方米，该工程总面积为c平方米，实际完成工程比原计划少用多少天？用分式表示，并说明分式有意义的条件。
当x取整数时，使分式的值为整数，求x的取值。
已知分式，当x=3时，分式的值为4，求a的值；当x为何值时，该分式无意义？
答案解析
答案：B 解析：A、C分母为常数，属于整式；D中π是常数，分母不含字母，属于整式；B分母含字母x，是分式。
答案：-2 解析：分式无意义的条件是分母为零，令x+2=0，解得x=-2。
解析：分母x -4=(x+2)(x-2)，令分母≠0，即(x+2)(x-2)≠0，解得x≠-2且x≠2。因此，当x≠-2且x≠2时，分式有意义。
解析：分子|x|-2=0解得x=2或x=-2；分母x -2x=x(x-2)，令分母≠0解得x≠0且x≠2。综上，x=-2时分式的值为零。
解析：令，两边同乘m-3（m≠3）得2m+1=2(m-3)，化简得2m+1=2m-6，1=-6，无解。因此，不存在这样的m使分式的值为2。
解析：原计划完成时间为天，实际完成时间为天，实际比原计划少用天。分式有意义的条件是a≠0，a+b≠0，且a、b、c均为正数（实际工程中工作量和效率为正），即a>0，b>0，c>0。
解析：，分式的值为整数，则为整数。x-2是3的因数，3的因数有±1、±3，故x-2=1→x=3；x-2=-1→x=1；x-2=3→x=5；x-2=-3→x=-1。因此，x的取值为-1、1、3、5。
解析：当x=3时，分式的值为4，代入得，即3a+1=4，解得a=1。分式无意义的条件是分母为零，令x-2=0，解得x=2。因此，a的值为1，当x=2时分式无意义。
（八）教学反思
亮点之处：本节课以分数类比分式引入，符合学生“从已知到未知”的认知规律，降低了概念学习的难度；通过小组讨论、即时练习、实际情境应用等环节，充分调动学生参与度，及时反馈学习效果；例题设计覆盖基础、提升、应用等层次，重点突出分式有意义与值为零的条件，强化了学生的严谨思维。
不足之地：对“分式值为正/负”的拓展讲解不够深入，仅通过练习提及，部分学生难以掌握分类讨论的方法；实际情境中分式构建的练习量不足，学生在复杂情境中仍难以快速提炼数量关系；对学困生的个别指导不够，导致部分学生在分母为多项式时，求解取值范围仍存在困难。
改进方向：后续教学中，增加“分式值的符号问题”专项讲解，通过具体例题演示分类讨论的步骤；设计更多贴近生活的实际问题，如购物折扣、行程规划等，引导学生逐步掌握分式建模方法；建立“师徒结对”帮扶机制，让优等生帮助学困生解决分母因式分解、取值范围求解等问题；课后布置分层作业，基础题巩固概念，提升题侧重综合应用，确保不同层次学生均能达标。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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