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18.1.2 分式的基本性质 教学设计
一、教学目标
理解分式的基本性质，明确“分子分母同乘（或除以）不为零的整式，分式值不变”的核心内涵。2. 能运用分式基本性质进行分式的约分、通分，掌握最简分式与最简公分母的确定方法。3. 提升代数运算能力与逻辑推理能力，体会“类比迁移”的数学思想。
二、教学重难点
（一）教学重点
1.分式基本性质的理解与表述：精准把握“同乘（除）的整式不为零”这一限制条件。2. 分式约分的方法：找出分子分母的公因式，将分式化为最简分式。3. 分式通分的方法：确定最简公分母，依据基本性质转化为同分母分式。
（二）教学难点
1.分式基本性质中“不为零的整式”的理解：易忽略该限制条件，导致运算错误。2. 复杂分式的约分：当分子分母为多项式时，公因式的提取需先因式分解，过程易出错。3. 最简公分母的确定：面对含多个字母或多项式的分母，难以精准找到最简公分母。
三、教学环节
（一）情境导入：类比旧知，引出新知
（1）旧知回顾：提问学生“分数的基本性质是什么？”引导学生回答：“分数的分子和分母同乘（或除以）一个不为零的数，分数的值不变。”举例验证：，，强调“不为零的数”是关键。
（2）情境设问：展示问题“若将分数中的分子分母换成整式，如（），类比分数基本性质，你认为分式会有怎样的性质？”
（3）师生互动：组织学生小组讨论，结合分数基本性质的结构，尝试表述分式的性质。教师引导学生关注“数”与“整式”的区别，补充“同乘（除）的整式不为零”这一重要条件，引出本节课核心——分式的基本性质。
（二）新知探究：深化理解，突破核心
2.1 分式的基本性质
（1）性质表述：教师明确给出分式基本性质——分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示为：，（其中A、B、C是整式，且B≠0，C≠0）。
（2）关键解读：① 为什么B≠0？（分式有意义的前提，复习旧知）② 为什么C≠0？（引导学生举例：若中C=0，分子分母同乘C后变为，无意义，强调C≠0的必要性）③ C可以是数、单项式或多项式，只要其值不为零。
（3）即时判断：给出一组式子，让学生判断是否正确，说明理由。① （正确，C=2≠0）；② （错误，x+1可能为0）；③ （错误，n=0时分式无意义，且n÷n中n≠0但原式m/n已要求n≠0，此处C=n，若n=0仍不成立）。通过判断强化对性质的理解。
2.2 分式的约分
（1）概念引入：类比分数约分（），提出分式约分的定义——根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。约分后得到的分式，其分子与分母没有公因式，称为最简分式。
（2）公因式确定：引导学生总结公因式的确定方法——① 系数：取分子分母系数的最大公约数；② 字母：取分子分母中相同的字母，且指数取最低次幂；③ 多项式：若分子分母含多项式，先因式分解，再找共同的因式。
（3）例题示范：例1 约分：① ；② 。
解析：① 系数：12和18的最大公约数是6；字母：a的最低次幂是2，b的最低次幂是1，公因式为6a b。原式=。② 先因式分解：分子，分母，公因式为(x+2)。原式=（约去公因式x+2，注意x≠-2）。
（4）学生练习：约分① ；② 。教师巡视，重点指导多项式因式分解环节，纠正公因式找错、约分不彻底等问题。
2.3 分式的通分
（1）概念引入：类比分数通分（和通分为和），给出分式通分的定义——根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。这个相同的分母称为最简公分母。
（2）最简公分母确定：引导学生总结方法——① 系数：取各分母系数的最小公倍数；② 字母：取各分母中所有的字母，且指数取最高次幂；③ 多项式：若分母含多项式，先因式分解，取各因式的最高次幂。
（3）例题示范：例2 通分：① 和；② 和。
解析：① 系数：2和3的最小公倍数是6；字母：a的最高次幂是2，b的最高次幂是2，最简公分母为6a b 。，。② 先因式分解分母：，最简公分母为(x+1)(x-1)。，已为分母是最简公分母的形式，无需变形。
（4）学生练习：通分① 和；② 和。教师针对最简公分母确定错误、分子漏乘相应整式等问题进行集中点评。
（三）重点知识归纳概括
3.1 核心概念
（1）分式基本性质：分子分母同乘（除）不为零的整式，分式值不变。核心限制条件：B≠0，C≠0。（2）最简分式：分子分母没有公因式的分式。（3）最简公分母：各分母系数最小公倍数、相同字母最高次幂、多项式因式最高次幂的积。
3.2 关键方法
（1）约分步骤：① 因式分解（分子分母为多项式时）；② 找公因式（系数最大公约数+相同字母最低次幂+共同多项式因式）；③ 约去公因式，化为最简分式。（2）通分步骤：① 因式分解（分母为多项式时）；② 确定最简公分母；③ 分子分母同乘相应整式，化为同分母分式。
3.3 易错点提醒
（1）忽略C≠0：同乘（除）的整式必须不为零，否则分式无意义。（2）约分不彻底：未将分子分母因式分解就约分，导致公因式遗漏。（3）通分分子漏乘：仅分母乘整式，分子未乘相应整式，违背基本性质。
综合例题讲解：强化应用，突破难点
例3 利用分式基本性质化简下列分式，并说明化简过程中运用的条件。① （x≠-2）；② 。
解析：① 由x≠-2可知，公因式(x+2)≠0，根据分式基本性质，约去公因式得。② 先因式分解：分子，分母，公因式为(x-2)（x≠2），约去后得。
例4 已知，求的值。
解析：方法一（代入法）：由得a=2b，代入分式得。方法二（分式基本性质）：分子分母同除以b （b≠0），得，代入，得。引导学生体会分式基本性质在求值中的简便应用。
（四）课堂练习：分层巩固，即时反馈
1.下列各式变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
2.约分： = _________。
3.通分：和，最简公分母是_________，通分后分别为_________和_________。
4.化简分式，并说明x的取值范围。
5.已知，求的值。
6.判断下列约分是否正确，若错误请改正：① ；② 。
7.通分：和。
8.利用分式基本性质，将分式的分子分母化为整数系数。
（五）练习答案与解析
1.答案：B 解析：A选项分子分母加1，不符合基本性质；C选项分子分母平方，仅当a=0或a=b时成立，不普遍；D选项未说明c≠0，错误；B选项分子分母同乘2（2≠0），正确。
2.答案： 解析：系数18和24最大公约数为6，字母x最低次幂2，y最低次幂2，公因式6x y ，约去后得。
3.答案：(x+3)(x-3) ；； 解析：分母因式分解为(x+3)(x-3)和(x-3) ，最简公分母取各因式最高次幂，即(x+3)(x-3) 。通分时乘(x-3)，乘(x+3)。
4.解析：分子因式分解为(x+1)(x-1)，分母为(x-1) ，公因式(x-1)（x≠1），化简得。x的取值范围：分母(x-1) ≠0且原分子x -1中无额外限制，故x≠1。
5.解析：分子分母同除以y （y≠0），得，代入，得。
6.解析：① 错误，x +y 不能因式分解为(x+y)(x+y)，分子分母无公因式，无法约分；② 正确，(y-x) =(x-y) ，约去公因式(x-y)（x≠y）得。
7.解析：最简公分母为6(x+1)(x-1)。；。
8.解析：分子分母同乘12（12是2、3、4的最小公倍数，12≠0），得。
四、教学总结
（1）知识层面：本节课核心是分式的基本性质，其本质是分数基本性质的拓展，关键在于“同乘（除）不为零的整式”。运用该性质可进行分式的约分与通分，约分需化为最简分式，通分需确定最简公分母。
（2）方法层面：学习中运用了“类比迁移”思想，从分数性质推导分式性质；在约分和通分中，“因式分解”是重要工具，需熟练掌握多项式因式分解的方法。
（3）易错点强调：始终牢记“不为零”的限制条件，约分要彻底，通分分子分母需同乘相应整式，避免漏乘。
五、教学反思
本节课通过分数类比引入分式基本性质，符合学生认知规律，但在复杂分式约分通分时，部分学生对多项式因式分解掌握不足，导致公因式、最简公分母找错。后续教学中，需加强分式与因式分解的衔接练习，增加分层例题，针对学困生重点讲解因式分解步骤；同时，通过更多实际求值问题，让学生体会分式基本性质的应用价值，提升学习积极性。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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