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18.3 分式的加法与减法 教学设计
一、核心素养目标
数学抽象：通过类比分数加减法，抽象出分式加减法的运算本质，理解“通分”在分式运算中的核心作用，把握分式与分数运算的共性与差异，提升抽象概括能力。
逻辑推理：经历“分数运算回顾→分式运算猜想→法则验证→应用拓展”的推理过程，理解同分母、异分母分式加减法的法则推导逻辑，培养合情推理与演绎推理能力。
数学运算：熟练掌握同分母分式“分母不变、分子相加减”和异分母分式“先通分、再运算”的法则，能规范完成分式加减及化简，规避通分、符号、因式分解等常见运算错误，提升运算精准度。
数学建模：运用分式加减法解决实际问题中的数量关系，如工程进度、路程计算等，将实际问题转化为数学运算模型，体会分式运算的实用价值。
数学思想：体会“类比迁移”“化未知为已知”“转化与化归”的数学思想，形成“先判断分母关系，再选择运算策略”的解题思路，为后续分式方程学习奠定基础。
二、教学重难点
（一）教学重点
同分母分式加减法法则：掌握“分母不变，分子相加减，结果化为最简分式”的运算步骤，能准确处理分子相加减时的符号与括号问题。
异分母分式加减法法则：理解通分的必要性，掌握找最简公分母的方法（先因式分解分母，再取各分母所有因式的最高次幂的积），能按“通分→转化为同分母→运算→化简”的流程完成计算。
分式加减的实际应用：能将实际问题中的数量关系转化为分式加减运算，通过运算解决问题。
（二）教学难点
最简公分母的确定：当分母为多项式且需因式分解时（如与），难以快速通过因式分解找到最简公分母，易出现通分错误。
分子相加减的符号处理：同分母分式分子相减时，易忽略括号导致符号错误（如误算为而非的正确形式，或更复杂分子的符号混淆）。
运算结果的化简：运算后未对分子分母进行因式分解并约分化简，或约分时因因式分解不彻底导致结果不是最简分式。
含参数的分式加减：遇到分母含字母参数（如与）时，难以把握参数的处理原则，易漏乘参数因式。
三、教学环节
（一）情境导入：类比旧知，引出新知
旧知回顾：出示分数加减法计算题，学生完成并口述法则：
（1） （2） （3） （4）
学生回答后，教师引导总结：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，先通分转化为同分母，再按同分母法则计算，强调“通分”是异分母运算的核心。
情境设问：学校食堂采购食材，第一天采购的蔬菜占总采购量的，第二天采购的蔬菜占总采购量的，两天采购的蔬菜共占总采购量的几分之几？若第一天比第二天多采购，第一天采购量如何表示？
引出主题：教师指出：“这些问题涉及分式的加减法，分式与分数运算存在密切联系，今天我们就通过类比分数加减法，探究分式加减法的运算法则。”
（二）探究新知：分层探究，构建法则
同分母分式加减法
（1）法则推导与验证
师生互动：教师提出问题：“类比，你认为（）应如何计算？”学生猜想后，教师从代数意义验证：表示a个，表示b个，相加即为(a+b)个，故（）。同理推导减法法则：（）。
教师强调：同分母分式加减法法则与同分母分数完全一致，核心是“分母不变，分子相加减”，但需注意分子是多项式时要加括号，避免符号错误。
（2）例题示范与练习
例1：计算：（1） （2） （3）
师生互动：
（1）引导学生判断为同分母，直接应用法则：，结果已是最简，无需化简；
（2）分子为多项式，强调加括号：，去括号后合并同类项：，提醒去括号时符号的变化；
（3）分子可因式分解，运算后需化简：（），强调“运算后必化简”的原则。
即时练习：学生独立完成，教师巡视纠错：
（1） （2） （3）
重点点评第3题，纠正“分子直接相减后不化简”的错误，强化因式分解在化简中的作用。
异分母分式加减法
（1）法则推导与核心问题
教师引导：“类比需通分，应如何计算？”学生回答后，教师总结：异分母分式加减法的关键是“通分”，即找到最简公分母，将异分母转化为同分母，再按同分母法则运算。
师生讨论：“如何找分式的最简公分母？”结合实例与、与，总结方法：最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的积，若分母是单项式，取系数的最小公倍数与字母的最高次幂的积；若分母是多项式，先因式分解，再取各因式的最高次幂的积。
（2）例题示范与分层练习
例2：计算：（1） （2） （3）
师生互动：
（1）分母为单项式，最简公分母为6x，通分后计算：，强调系数取最小公倍数；
（2）先转化分母为相同：，原式变为（），讲解“分母互为相反数时，变号转化为同分母”的技巧；
（3）分母为多项式，先因式分解：，最简公分母为，通分后计算：，强调“先因式分解再找最简公分母”的步骤。
分层练习：
基础层：（1） （2）
提升层：（3） （4）
学生完成后，小组互评，教师针对提升层中“因式分解不彻底”“最简公分母找错”等问题集中讲解。
分式加减的实际应用
例3：甲、乙两人加工同一种零件，甲每小时加工x个，乙每小时加工y个（x>y）。
（1）两人合作1小时，共加工多少个零件？
（2）甲1小时加工的零件数比乙多多少个？
（3）若甲加工300个零件比乙加工200个零件少用1小时，列出相关的分式表达式。
师生互动：引导学生分析数量关系，（1）共加工个，转化为分式加法为（若从工作量角度）；（2）多加工个，分式减法为；（3）甲用时小时，乙用时小时，故表达式为，体会分式加减在实际问题中的应用。
（三）重点知识归纳概括
核心法则
（1）同分母分式加减法：（），关键：分子是多项式时加括号，去括号注意符号。
（2）异分母分式加减法：（），步骤：① 找最简公分母；② 通分转化为同分母；③ 按同分母法则运算；④ 化简结果。
关键技巧
（1）最简公分母确定方法：
① 分母为单项式：系数取最小公倍数，字母取各分母中字母的最高次幂，如与的最简公分母为；
② 分母为多项式：先因式分解（提公因式、平方差、完全平方等），再取各因式的最高次幂，如（因式分解为）与（因式分解为）的最简公分母为。
（2）符号处理技巧：
① 分母互为相反数：如与，将其中一个分式变号，转化为同分母：；
② 分子相减含括号：如，写成，去括号后为，避免漏括号导致符号错误。
（3）化简技巧：运算后分子分母先因式分解，再约去公因式，如，确保结果为最简分式。
易错点规避
（1）漏乘最简公分母：通分时，分子需完整乘最简公分母与原分母的商，如通分后为，分子1乘3（6x÷2x=3），不可漏乘；
（2）运算后不化简：如将保留为原式，未化简为x+1；
（3）因式分解错误：如将误分解为，导致最简公分母找错；
（4）忽视分母不为零：运算中需注意原分式及通分后分式的分母不为零，如中x≠0且x≠1。
（四）课堂练习
计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
计算的结果是（ ）
A. 0 B. C. D. 1
异分母分式与的最简公分母是（ ）
A. B. C. D.
计算，步骤正确的是（ ）
A. B. C. D.
计算：
（1） （2） （3） （4）
计算：
（1） （2） （3） （4）
先化简，再求值：，其中x=3。
已知，求代数式的值。
某工程队承接一项工程，甲队单独完成需x天，乙队单独完成需y天（x（1）甲、乙两队合作一天，完成工程的几分之几？
（2）甲队单独做3天后，乙队加入合作，再做2天，共完成工程的几分之几？
（3）若x=10，y=15，求（2）中完成的工程占总工程的比例。
（五）练习答案与解析
答案：B 解析：同分母分式相加，分母不变，分子相加，，A、C、D均违背同分母法则，故选B。
答案：D 解析：A选项异分母分式加减未通分，直接分子分母分别相加，错误；B选项，未通分直接减分子，错误；C选项，漏加括号导致分子计算错误，结果应为，错误；D选项，运算正确，故选D。
答案：A 解析：，原式化为，注意分母不为零的条件x≠1，故选A。
答案：D 解析：最简公分母取系数最小公倍数（1）与字母最高次幂（x 、y ）的积，即x y ，A、B、C均未取字母最高次幂，故选D。
答案：D 解析：异分母分式相减，先通分，最简公分母为2a，，故原式=，A漏通分直接减分子，B分子计算错误，C分母处理错误，故选D。
解析：
（1）同分母法则：；
（2）分子加括号：；
（3）分子因式分解化简：（此处x +9不能因式分解，若为x -9则可分解，题目为x +9，结果即为，若题目有误则调整，按原题计算）；
（4）通分计算：最简公分母(x+2)(x-2)，。
解析：
（1）先因式分解分母：x -4=(x+2)(x-2)，2x-4=2(x-2)，最简公分母2(x+2)(x-2)，通分后：；
（2）因式分解分母：m -m=m(m-1)，最简公分母m(m-1)，通分后：；
（3）因式分解分母：x -1=(x+1)(x-1)，最简公分母(x+1)(x-1)，通分后：；
（4）变号转化：，原式=。
解析：先因式分解化简，x -1=(x+1)(x-1)，x -2x+1=(x-1) ，原式=；代入x=3，得。
解析：由通分得，即b-a=3ab，a-b=-3ab；将代数式分子分母变形：分子=2(a-b)-3ab=2×(-3ab)-3ab=-9ab，分母=(a-b)-2ab=-3ab-2ab=-5ab；故原式=（ab≠0）。
解析：
（1）甲一天完成，乙一天完成，合作一天完成；
（2）甲单独3天完成，合作2天完成，共完成；
（3）代入x=10，y=15，得。
（六）教学反思
亮点之处：本节课以分数加减法为类比起点，自然迁移到分式运算，符合学生“从已知到未知”的认知规律；将分式加减分为同分母、异分母分层探究，结合实例细化法则应用，结构清晰；例题与练习设计兼顾基础与提升，覆盖符号处理、因式分解、化简等核心难点；融入实际应用问题，让学生体会分式运算的实用价值，提升学习兴趣。
不足之地：对分母为多项式的因式分解教学不够深入，部分学生因之前因式分解基础薄弱，难以快速完成分母分解，影响最简公分母的确定；对含参数的分式加减涉及较少，学生遇到如类题目时易出现漏乘参数的错误；课堂互动中对学困生的关注不足，导致部分学生在符号处理、通分步骤上仍存在困惑。
改进方向：课前复习因式分解的核心方法（提公因式、平方差），为分式通分奠定基础；增加含参数分式加减的专项练习，总结“参数按常数对待，参与最简公分母构成”的原则；建立“错题互助”小组，让学生在互评中纠正符号、化简等常见错误；课后设计分层作业，基础题巩固法则应用，提升题侧重综合运算与实际应用，满足不同层次学生需求。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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