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19.3 二次根式的加法与减法
第1课时 二次根式的加法与减法
1．会识别同类二次根式并进行合并．（重点）
2．会利用二次根式的加减法则进行计算．（重点）
3.二次根式加减法的实际应用.（难点）
下列哪些是最简二次根式？依据是什么？
√
×
×
×
×
×
√
√
√
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式．
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
问题1 某新建医院计划在院内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．如果小喷水池的面积是2平方米，花坛的边长是小喷水池的3倍，问花坛的外周与小喷水池的周长一共是多少米？
2
4＋12（米）
4 (＋3)（米）
或
8
10
问题2 如果小喷水池的面积是8平方米，花坛的绿化面积是10平方米，你能求出花坛的外周与喷水池的周长一共是多少米吗？
4＋4（米）
4＋（米）
或
问题1：
4＋12
4 (＋3)
或
问题2：
4＋4
4 ＋)
或
2
3
二次根式的加减是如何计算的？
计算：
（1）3x2＋2x2＝______； （2）x2＋2x2＋4y＝________．
5x2
3x2＋4y
4＋1
4＋ 4
类比合并同类项的方法，下列二次根式能合并吗？
二次根式加减运算的基本方法
结论1：如果几个二次根式的被开方数相同，那么可直接根据分配律进行加减运算．
…… (利用分配律合并)
4＋1
＝(4＋12)
＝16
结论2：如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再考虑进行加减运算．
……(化为最简二次根式)
……(利用分配律合并)
4＋ 4
＝8＋1
＝(8＋12)
＝2
二次根式加减运算的基本方法
注意：被开方数不同的二次根式(如与)不能合并．
判断：下列计算是否正确？为什么？
（1）＋ ＝； （2）2＋ ＝2；
（3） ＝＋ ＝2＋3＝5．
二次根式的加减法则
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
×
×
×
被开方数相同的二次根式
几个二次根式化成_______________以后，如果__________相同，这几个二次根式就是被开方数相同的二次根式 ．
最简二次根式
被开方数
判断几个二次根式是被开方数相同的二次根式的方法：
一是化每个二次根式为最简二次根式；
二是看化简后的二次根式中被开方数是否相同．
例1 计算：
（1）－； （2）＋; (3).
解：（1）－；
（2）＋;
（3）.
二次根式加减运算的一般步骤
1．化：将每个二次根式都化成最简二次根式；
2．找：找出被开方数相同的二次根式；
3．合：将被开方数相同的二次根式合并成一项．
解：
＝ 2＋
＝4．
解：()
＝
＝ ．
计算后根号外的因数是分数的要写成假分数形式，不能写成带分数形式．
例2 计算：
（1）;（2）(－)．
运算 二次根式的乘除 二次根式的加减
系数
被开方数
化简
二次根式的乘除与二次根式的加减的对比
系数相乘除
系数相加减
被开方数相乘除
被开方数不变
结果化为最简
二次根式
先化为最简二次根式，再合并同类二次根式
7.5 dm
5 dm
8 dm2
18 dm2
例3　现有一块长 7.5 dm、宽 5 dm 的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是 8 dm2 和18 dm2 的正方形木板？
分析：由图可以看出，只有木板的宽大于大正方形的边长，木板的长大于两个正方形木板的边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板.
7.5 dm
5 dm
8 dm2
18 dm2
解：大正方形木板的边长为dm.因为，所以这块木板够宽.
两个正方形木板的边长的和为
dm，而
.
由可知5，即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长.
因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是 8 dm2 和18 dm2 的正方形木板.
2．若最简二次根式－2和可以合并，那么a＝_____．
D
5
1．下列选项中和是同类二次根式的是（　　）
A．3　　　　B．　　　　C．　　　　D．－
3．下列等式中正确的是_______．
①－＝；　　　　　　　 ②5－＝5；
③3－2＝；　　　　　　　　 ④－＝；
⑤－＝2；　　　　　　　 ⑥2＋3＝5．
⑤
4. 计算下列各式：
（1）2－3－； （2）(－10)－3(－)．
解：2－3－
＝ 4－－3
＝ 0．
解：(－10)－3(－)
＝ 4－10×－3(3－)
＝ 4－2－9＋
＝ 5－11．
5．计算：
（1）(－3＋)；　　（2） ＋6－2．
解：(－3＋)
＝ (2－＋)
＝．
解： ＋6－2
＝2＋6×－2×
＝2＋3－2
＝3．
法则
二次根式的乘除与二次根式的加减的对比
二次根式的加减
同类二次根式
一般步骤
化、找、合第十九章 二次根式
19.3 二次根式的加法与减法
第1课时 二次根式的加法与减法
教学设计
课题 19.3第1课时 二次根式的加法与减法 授课人
教学目标 知道什么是同类二次根式，会辨别两个根式是否是同类二次根式； 2.会进行二次根式的加减法运算. 3.经历探索二次根式加减运算法则的过程，培养学生的运算能力. 4.关注学生思考问题的过程，培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神以及合作精神，树立创新意识.
教学重点 掌握二次根式的加减法运算法则，会用它进行简单的二次根式的加减法运算.
教学难点 经历知识产生的过程，化简二次根式.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 下列哪些是最简二次根式？依据是什么？ × × √ × × √ × √ √ （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式． 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 1.被开方数相同的最简二次根式 问题1 某新建医院计划在院内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．如果小喷水池的面积是2平方米，花坛的边长是小喷水池的3倍，问花坛的外周与小喷水池的周长一共是多少米？ 4＋12（米）或 4 (＋3)（米） 问题2 如果小喷水池的面积是8平方米，花坛的绿化面积是10平方米，你能求出花坛的外周与喷水池的周长一共是多少米吗？ 4＋4（米） 或4＋（米） 问题1：4＋12（米）或 4 (＋3)（米） 问题2：4＋4（米） 或4＋（米） 二次根式的加减是如何计算的？ 计算： （1）3x2＋2x2＝__5x2__； （2）x2＋2x2＋4y＝__3x2＋4y__． 类比合并同类项的方法，下列二次根式能合并吗？ 4＋1 4＋ 4 二次根式加减运算的基本方法 4＋1 ＝(4＋12)…… (利用分配律合并) ＝16 二次根式加减运算的基本方法 4＋ 4 ＝8＋1……(化为最简二次根式) ＝(8＋12)……(利用分配律合并) ＝20 结论2：如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再考虑进行加减运算． 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 2.二次根式的加法与减法 判断：下列计算是否正确？为什么？ （1）＋ ＝； × （2）2＋ ＝2； × （3） ＝＋ ＝2＋3＝5． × 注意：被开方数不同的二次根式(如与)不能合并． 被开方数相同的二次根式 几个二次根式化成 最简二次根式 以后，如果 被开方数 相同，这几个二次根式就是被开方数相同的二次根式 ． 判断几个二次根式是被开方数相同的二次根式的方法： 一是化每个二次根式为最简二次根式； 二是看化简后的二次根式中被开方数是否相同． （链接例1） 二次根式加减运算的一般步骤 1．化：将每个二次根式都化成最简二次根式； 2．找：找出被开方数相同的二次根式； 3．合：将被开方数相同的二次根式合并成一项． （链接例2） 3.二次根式加法与减法的实际应用 （链接例3） 通过猜想验证强化“先化简再合并”的规则；演绎证明深化运算律的理解，培养推理能力.
典例精析 【例1（教材P13例题）】 计算： （1）－； （2）＋; (3). 【解】（1）－； （2）＋; （3）. 【例2（教材P13例题）】 计算： （1）;（2）(－)． 【解】（1） ＝ 2＋ ＝4． （2）() ＝ ＝ ． 教师提醒：计算后根号外的因数是分数的要写成假分数形式，不能写成带分数形式． 【例3】　现有一块长 7.5 dm、宽 5 dm 的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是 8 dm2 和18 dm2 的正方形木板？ 【分析】由图可以看出，只有木板的宽大于大正方形的边长，木板的长大于两个正方形木板的边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板. 【解】大正方形木板的边长为dm.因为，所以这块木板够宽. 两个正方形木板的边长的和为 dm，而 . 由可知5，即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长. 因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是 8 dm2 和18 dm2 的正方形木板. 示范含系数和字母的二次根式加减，强调化简的普适性.
随堂检测 1．下列选项中和是同类二次根式的是（　D　） A．3　　　　B．　　　　C．　　　　D．－ 2．若最简二次根式－2和可以合并，那么a＝ 5 ． 3．下列等式中正确的是 ⑤ ． ①－＝；　　　　　　　 ②5－＝5； ③3－2＝；　　　　　　　　 ④－＝； ⑤－＝2；　　　　　　　 ⑥2＋3＝5． 4. 计算下列各式： （1）2－3－； （2）(－10)－3(－)． 【解】（1）2－3－ ＝ 4－－3 ＝ 0． （2）(－10)－3(－) ＝ 4－10×－3(3－) ＝ 4－2－9＋ ＝ 5－11． 5．计算： （1）(－3＋)；　　（2） ＋6－2． 【解】（1）(－3＋) ＝ (2－＋) ＝． （2） ＋6－2 ＝2＋6×－2× ＝2＋3－2 ＝3． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 小结： 1．最简二次根式 2．二次根式的加减 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 19.3.1 二次根式的加法与减法 1.被开方数相同的最简二次根式 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 2.二次根式的加法与减法 3.二次根式加法与减法的实际应用
教学反思

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