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20.2 勾股定理的逆定理及其应用
第1课时 勾股定理的逆定理
1．经历探索勾股定理逆定理的证明过程，体会命题与逆命题的关系.（难点）
2.了解勾股数的概念．
3．能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形．（重点）
前面我们学习了勾股定理，即：
能否推出△ABC是直角三角形呢？
反过来，若△ABC三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，
Rt△ABC三边长为a，b，c（c为斜边）
a2＋b2＝c2．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
如图给了一种确定直角的方法：
用13个等距的结，把一根绳子分成等长的12段，然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
上述方法意味着，如果围成三角形的三边长分别为3，4，5，它们满足关系“3 +4 =5 ”，那么围成的三角形是直角三角形.一般地，满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方的三角形是不是直角三角形呢？
实验操作：
（2）量一量：用量角器测量上述三角形的最大角的度数．
（3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想．
32＋42＝52
52＋122＝132
（1）画一画：下列各组数都满足a2＋b2＝c2，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），它们是直角三角形吗？
① 3，4，5； ② 5，12，13； ③2.5，6，6.5．
2.52＋62＝6.52
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
如图，已知在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2．
求证△ABC是直角三角形．
分析：作一个直角∠MC1N，
在C1M上截取C1B1＝a＝CB，
在C1N上截取C1A1＝b＝CA，
连接A1B1．
A
C
B
b
c
a
C1
N
M
B1
A1
b
a
下面让我们证明前面的猜想.
证明：在Rt△A1B1C1中，
由勾股定理，得A1B12＝a2＋b2＝c2，
∴A1B1＝AB．
在△ABC和△A1B1C1中，
AB＝A1B1，AC＝ A1C1，BC＝B1C1，
∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）．
∴∠C＝∠C1．
∴△ABC是直角三角形．
A
C
B
b
c
a
C1
N
M
B1
A1
b
a
直角三角形的判定有两法可依：
（1）由角的关系：证明两内角互余或一角为直角．
（2）由边的关系：利用勾股定理的逆定理判定．
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理的逆定理
这样，我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理，这个定理叫作勾股定理的逆定理，它是判定直角三角形的一个依据.
例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=8，b=15，c=17；
（2）a=14，b=13，c=15.
解：（1）因为8 +15 =64+225=289，17 =289，所以8 +15 =17 .
根据勾股定理的逆定理，由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形.
（2）因为14 +13 =196+169=365，15 =225，所以14 +13 ≠15 .
根据勾股定理，由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形.
已知三角形的三边的长，判断三角形是否为直角三角形时，由于直角三角形的最大边是斜边，所以只要检验较小的两条边的平方和是否等于最大边的平方就可以．如果等式成立，该三角形是直角三角形，否则就不是直角三角形．
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
熟练掌握一些勾股数组对解数学题很有帮助，接下来我们学习几个求勾股数组的方法．
（1）如果a是一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有＝b＋c，则a，b，c为一组勾股数．
如3，4，5；5，12，13；7，24，25；11，60，61．
（2）如果a，b，c为一组勾股数，则na，nb，nc也是一组勾股数，其中n（n＞1）为自然数．
如3，4，5；6，8，10；9，12，15．
（3）如果n是自然数（n＞1），那么，2n，是一组勾股数．
如8，15，17；16，63，65．
例2 如图，已知AB⊥AD，AB＝4，BC＝12，CD＝13，AD＝3，能判断BC⊥BD吗？证明你的结论．
解：BC⊥BD．证明如下：
∵AB⊥AD，
∴△BAD是直角三角形，
∴＝ 25．
在△BCD中，
∵ ，
∴△BCD是直角三角形，且CD为斜边，∠CBD＝90°．
∴BC⊥BD．
2．在△ABC中， ∠A ，∠B，∠C的对应边分别为a，b，c，且
(a＋b)(a－b)＝c2，则（　　）
A．∠A为直角 B．∠B为直角
C．∠C为直角 D．△ABC不是直角三角形
A
1．下列各组数是勾股数的是（　　）
A．3，4，7 B．5，12，13
C．1.5，2，2.5 D．1，3，5
B
3．若一个三角形的三边长分别为1，，则该三角形的面积为（　　）
A．　　　　 　B． 　　　　　
C．　　　　　 D．
B
4.已知三角形三条边的长度分别是：
（1）1，，；（2）2，3，4；（3）3n，4n，5n（n＞0），
它们是否分别构成直角三角形？
（1）在1，，中，是最大边长，
因为1＋2＝3＝，
所以边长为1，，的三角形是直角三角形．
（2）在2，3，4中，4是最大边长，
13≠，
所以边长为2，3，4的三角形不是直角三角形．
解：
（3）在3n，4n，5n（n＞0）中，5n是最大边长，
，
所以边长为3n，4n，5n（n＞0）的三角形是直角三角形．
解：
4.已知三角形三条边的长度分别是：
（1）1，，；（2）2，3，4；（3）3n，4n，5n（n＞0），
它们是否分别构成直角三角形？
勾股定理
的逆定理
内容
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
作用
从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形
注意
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角
勾股数一定是正整数第二十章 勾股定理
20.2 勾股定理的逆定理及其应用
第1课时 勾股定理的逆定理
教学设计
课题 20.2第1课时 勾股定理的逆定理 授课人
教学目标 1.会认识并判断勾股数，掌握勾股定理的逆定理，并能灵活应用逆定理判定一个三角形是否为直角三角形. 2.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法 的应用. 3.在对勾股定理的逆定理的探索中,培养了学生的交流、合作的意识和严谨的学习态度,同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值.
教学重点 能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形.
教学难点 灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 前面我们学习了勾股定理，即： Rt△ABC三边长为a，b，c（c为斜边）→a2＋b2＝c2． 反过来，若△ABC三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2， 能否推出△ABC是直角三角形呢？ 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 1.勾股定理的逆定理 如图给了一种确定直角的方法： 用13个等距的结，把一根绳子分成等长的12段，然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角． 上述方法意味着，如果围成三角形的三边长分别为3，4，5，它们满足关系“3 +4 =5 ”，那么围成的三角形是直角三角形.一般地，满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方的三角形是不是直角三角形呢？ 实验操作： （1）画一画：下列各组数都满足a ＋b ＝c ，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），它们是直角三角形吗？ ① 3，4，5； ② 5，12，13； ③2.5，6，6.5． 32＋42＝52 52＋122＝132 2.52＋62＝6.52 （2）量一量：用量角器测量上述三角形的最大角的度数． （3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想． 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 下面让我们证明前面的猜想. 如图，已知在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2． 求证△ABC是直角三角形． 分析：作一个直角∠MC1N， 在C1M上截取C1B1＝a＝CB， 在C1N上截取C1A1＝b＝CA， 连接A1B1． 证明：在Rt△A1B1C1中， 由勾股定理，得A1B12＝a2＋b2＝c2， ∴A1B1＝AB． 在△ABC和△A1B1C1中， AB＝A1B1，AC＝ A1C1，BC＝B1C1， ∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）． ∴∠C＝∠C1． ∴△ABC是直角三角形． 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 这样，我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理，这个定理叫作勾股定理的逆定理，它是判定直角三角形的一个依据. 直角三角形的判定有两法可依： （1）由角的关系：证明两内角互余或一角为直角． （2）由边的关系：利用勾股定理的逆定理判定． （链接例1） 2.勾股数 已知三角形的三边的长，判断三角形是否为直角三角形时，由于直角三角形的最大边是斜边，所以只要检验较小的两条边的平方和是否等于最大边的平方就可以．如果等式成立，该三角形是直角三角形，否则就不是直角三角形． 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数． 熟练掌握一些勾股数组对解数学题很有帮助，接下来我们学习几个求勾股数组的方法． （1）如果a是一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有a2＝b＋c，则a，b，c为一组勾股数． 如3，4，5；5，12，13；7，24，25；11，60，61． （2）如果a，b，c为一组勾股数，则na，nb，nc也是一组勾股数，其中n（n＞1）为自然数． 如3，4，5；6，8，10；9，12，15． （3）如果n是自然数（n＞1），那么，2n，是一组勾股数． 如8，15，17；16，63，65． （链接例2） 通过构造法将代数条件转化为几何直观，渗透数形结合思想，突破证明难点；全等推理过程强化严谨逻辑，培养学生的建模能力.
典例精析 【例1（教材P35例题）】 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： （1）a=8，b=15，c=17； （2）a=14，b=13，c=15. 【解】（1）因为8 +15 =64+225=289，17 =289，所以8 +15 =17 . 根据勾股定理的逆定理，由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形. （2）因为14 +13 =196+169=365，15 =225，所以14 +13 ≠15 . 根据勾股定理，由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形. 【例2】如图，已知AB⊥AD，AB＝4，BC＝12，CD＝13，AD＝3，能判断BC⊥BD吗？证明你的结论． 【解】BC⊥BD．证明如下： ∵AB⊥AD， ∴△BAD是直角三角形， ∴＝ 25． 在△BCD中， ∵ ， ∴△BCD是直角三角形，且CD为斜边，∠CBD＝90°． ∴BC⊥BD． 通过正反例题辨析定理条件，强调“最长边对角为直角”这一隐含结论，强化计算规范，运用逆定理解决方位判断、几何计算等实际问题，强化应用意识.
随堂检测 1．下列各组数是勾股数的是（　B　） A．3，4，7 B．5，12，13 C．1.5，2，2.5 D．1，3，5 2．在△ABC中， ∠A ，∠B，∠C的对应边分别为a，b，c，且 (a＋b)(a－b)＝c2，则（　A　） A．∠A为直角 B．∠B为直角 C．∠C为直角 D．△ABC不是直角三角形 3．若一个三角形的三边长分别为1，，则该三角形的面积为（　B　） A．　　　　 　B． 　　　　　 C．　　　　　 D． 4.已知三角形三条边的长度分别是： （1）1，，；（2）2，3，4；（3）3n，4n，5n（n＞0）， 它们是否分别构成直角三角形？ 【解】（1）在1，，中，是最大边长， 因为1＋2＝3＝， 所以边长为1，，的三角形是直角三角形． （2）在2，3，4中，4是最大边长， 13≠， 所以边长为2，3，4的三角形不是直角三角形． （3）在3n，4n，5n（n＞0）中，5n是最大边长， ， 所以边长为3n，4n，5n（n＞0）的三角形是直角三角形． 5．如图，在中，是的中点，，交于点，且，，．求证：． 【解】证明：连接， 是的中点，， 垂直平分， ， ∵，，． ， ， 是直角三角形， ∴． 即． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 小结： 1．勾股定理的逆定理及勾股数 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 20.2第1课时 勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 2.勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
教学反思

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