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20.1 勾股定理及其应用
第3课时 利用勾股定理作图与计算
1．会利用勾股定理在数轴上作出表示无理数的点，及能够利用勾股定理进行几何作图．（重点）
2．熟练运用勾股定理解决与几何图形相关的计算问题，如等腰三角形、矩形等图形中的边长计算．（难点）
填空：在Rt△ABC中，∠C＝90°．
1．若a＝3，b＝4， 则c ＝ ；
2．若a＝2，c＝3， 则b ＝ ；
3．若c＝13，b＝5，则a ＝ ．
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 ．
a2＋b2＝c2
5
12
如图，已知点 A(4，5)，则OA＝ ；以点O为圆心，OA为半径作弧，则这条弧与x轴正半轴的交点坐标为 ．
(，0)
x
O
A
y
1
2
3
4
1
2
3
4
5
在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ∠C =∠C′ = 90°，AB = A′B′，AC = A′C′．
求证：△ABC≌△A′B′C′．
A
B
C
A
B
C′
′
′
证明：在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′ 中，∠C =∠C′ = 90°，
根据勾股定理得,
A
B
C
A
B
C′
′
′
点A表示的数字为－2
点B表示的数字为－1
点C表示的数字为1
点D表示的数字为2
实数
数轴上的点
一 一 对 应
那么如何在数轴上表示无理数呢？
A
B
C
D
0
－1
－2
－3
1
2
3
能画出长为的线段，就能在数轴上画出表示的点．
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？
能否用勾股定理解决这个问题？
（1）长为的线段可以是直角边长为正整数的直角三角形的斜边吗？
（2）如果可以，直角边的长分别为多少？
直角边的长分别为2，3．
1.在数轴上找到点A，使OA＝3；
2.作直线l⊥OA，在l上取一点B，使AB＝2；
3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示的点．
O
1
2
3
4
l
A
B
C
2
步骤：
定点A
作垂线，定点B
画弧，定点C
－1 0 1
类比上面的方法，在数轴上画出表示，，，的点．
画长为的线段
当直角三角形的两条直角边长都为1时，斜边长为，
即， 依此类推，可以画出长为，，，， 的线段．
原点左边的点表示负无理数，原点右边的点表示正无理数．
利用勾股定理在数轴上表示无理数的方法：
注意
2.以原点为圆心，以无理数斜边为半径画弧与数轴存在交点，弧与数轴的交点即为表示无理数的点．
1.利用勾股定理把一个无理数表示成直角边的长为正整数的直角三角形的斜边；
例1 在数轴上作出表示的点．
A
C
O
l
B
1
2
3
4
解：如图，在数轴上找到点 A，使 OA＝4.
作直线 l 垂直于 OA，在 l 上取点 B，使 AB＝1.
以原点 O 为圆心，以 OB 长为半径作弧，弧与数轴的交点 C 即为表示的点．
例2 在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．
解：由题图得A(2，2)，B(－2，－1)，C(3，－2)．
由勾股定理得AB=,
AC=,
BC=,
∴△ABC的周长为.
例3 如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB＝8 cm，BC＝10 cm，求EC的长．
解：在Rt△ABF中，由勾股定理得：
BF2＝AF2－AB2＝102－82＝36，
∴BF＝6 cm． ∴CF＝BC－BF＝4 cm．
设EC＝x cm，则EF＝DE＝(8－x)cm ，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得x2＋42＝(8－x)2，解得 x＝3．
即EC的长为3 cm．
用到方程思想
折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:
1．设一条未知线段的长为x（一般设所求线段的长为x）；
2．用已知数或含x的代数式表示出其他线段长；
3．在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；
4．解这个方程，从而得到所求线段长．
1．如图，A(8，0)，C(－2，0)，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交 y 轴正半轴于点B，则点B的坐标为（　　）
A．(0，5) B．(5，0)
C．(6，0) D．(0，6)
D
2．如图，正方形网格中的每个小方格的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，请你以格点为顶点，画一个三边长分别为4，，的三角形，并求出
此三角形的面积．
解：∵，
∴可以看作是直角边长为1，2的直角三角形的斜边长．
∵，
∴可以看作是直角边长
为2，3的直角三角形的斜边长．
如图，三角形ABC即所要画
的三角形，
面积为
A
B
C
3.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求AM的长．
解：连接BM，MB′．设AM＝x，
　　在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2．
　　在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2＝MB′2．
　　∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝MD2＋DB′2，
　　即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2．
　　即AM＝2．
利用勾股定理作图与计算
在数轴上表示出无理数的点
利用勾股定理解决网格中的问题
利用勾股定理解决折叠问题及其他图形的计算
通常与网格求线段长或面积结合起来
方程思想第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
第3课时 利用勾股定理作图与计算
教学设计
课题 20.1第3课时 利用勾股定理作图与计算 授课人
教学目标 1.会运用勾股定理在数轴上画出并表示无理数，进一步理解感受数轴上的点与实数一一对应；了解利用勾股定理证明HL定理. 2.进一步理解数学中的数形结合思想，转化思想，学会运用勾股定理解决实际问题. 3.培养学生的思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值.
教学重点 运用勾股定理在数轴上标出表示无理数的点，运用勾股定理解决实际问题.
教学难点 无理数也能在数轴上表示出来，理解数轴上的点与实数是一一对应的.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2＋b2＝c2 ． 填空：在Rt△ABC中，∠C＝90°． 1．若a＝3，b＝4， 则c ＝ 5 ； 2．若a＝2，c＝3， 则b ＝ ； 3．若c＝13，b＝5，则a ＝ 12 ． 如图，已知点 A(4，5)，则OA＝ ；以点O为圆心，OA为半径作弧，则这条弧与x轴正半轴的交点坐标为 （，0） ． 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 1.数轴上的无理数 在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ 已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ∠C =∠C′ = 90°，AB = A′B′，AC = A′C′． 求证：△ABC≌△A′B′C′． 证明：在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′ 中，∠C =∠C′ = 90°， 根据勾股定理得, ∵ AB=A′B′，AC=A′C′
∴ BC=B′C′
∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS) 点A表示的数字为－2 点B表示的数字为－1 点C表示的数字为1 点D表示的数字为2 实数数轴上的点 那么如何在数轴上表示无理数呢？ 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？ 能画出长为的线段，就能在数轴上画出表示的点． 能否用勾股定理解决这个问题？ （1）长为的线段可以是直角边长为正整数的直角三角形的斜边吗？ （2）如果可以，直角边的长分别为多少？ 直角边的长分别为2，3． 步骤： 1.在数轴上找到点A，使OA＝3；→定点A 2.作直线l⊥OA，在l上取一点B，使AB＝2；→作垂线，定点B 3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示的点．→画弧，定点C 类比上面的方法，在数轴上画出表示，，，的点． 画长为的线段 当直角三角形的两条直角边长都为1时，斜边长为， 即， 依此类推，可以画出长为，，，， 的线段． 利用勾股定理在数轴上表示无理数的方法： 1.利用勾股定理把一个无理数表示成直角边的长为正整数的直角三角形的斜边； 2.以原点为圆心，以无理数斜边为半径画弧与数轴存在交点，弧与数轴的交点即为表示无理数的点． 教师提醒：原点左边的点表示负无理数，原点右边的点表示正无理数． （链接例1） 2.网格中的无理数 （链接例2） 3.勾股定理的综合应用 （链接例3） 折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法: 1．设一条未知线段的长为x（一般设所求线段的长为x）； 2．用已知数或含x的代数式表示出其他线段长； 3．在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程； 4．解这个方程，从而得到所求线段长． 对“斜边直角边”判定定理，从画图感知上升到严谨证明，感受勾股定理在几何证明中的作用.通过勾股定理构造适当的直角三角形，其斜边长表示某个无理数，进而可以将其表示在数轴上．感受勾股定理在数学中应用的广泛性，培养学生发现和提出问题的能力.
典例精析 【例1】 在数轴上作出表示的点． 【解】如图，在数轴上找到点 A，使 OA＝4. 作直线 l 垂直于 OA，在 l 上取点 B，使 AB＝1. 以原点 O 为圆心，以 OB 长为半径作弧，弧与数轴的交点 C 即为表示的点． 【例2】在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC各顶点的坐标，并求出此三角形的周长． 【解】由题图得A(2，2)，B(－2，－1)，C(3，－2)． 由勾股定理得AB=, AC=, BC=, ∴△ABC的周长为. 【例3】 如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB＝8 cm，BC＝10 cm，求EC的长． 【解】在Rt△ABF中，由勾股定理得： BF2＝AF2－AB2＝102－82＝36， ∴BF＝6 cm． ∴CF＝BC－BF＝4 cm． 设EC＝x cm，则EF＝DE＝(8－x)cm ， 在Rt△ECF中，根据勾股定理得x2＋42＝(8－x)2，解得 x＝3． 即EC的长为3 cm． 教师提醒：用到了方程思想 例题的层层递进，一方面是对本节课重点知识的考察与巩固，另一方面是对所学知识的拓展与灵活运用.
随堂检测 1．如图，A(8，0)，C(－2，0)，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交 y 轴正半轴于点B，则点B的坐标为（　D　） A．(0，5) B．(5，0) C．(6，0) D．(0，6) 2．如图，正方形网格中的每个小方格的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，请你以格点为顶点，画一个三边长分别为4，，的三角形，并求出此三角形的面积． 【解】∵， ∴可以看作是直角边长为1，2的直角三角形的斜边长． ∵， ∴可以看作是直角边长 为2，3的直角三角形的斜边长． 如图，三角形ABC即所要画的三角形，面积为 3.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求AM的长． 【解】连接BM，MB′．设AM＝x， 　　在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2． 　　在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2＝MB′2． 　　∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝MD2＋DB′2， 　　即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2． 　　即AM＝2． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 小结： 1．勾股定理与数轴 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 20.1 第3课时 利用勾股定理作图与计算 1.数轴上的无理数 2.网格中的无理数 3.勾股定理的综合应用
教学反思

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