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20.2 勾股定理的逆定理及其应用
第2课时 勾股定理及其逆定理
的综合应用
1．熟练运用勾股定理及其逆定理解决实际问题．（重点）
2．进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的认识．
3．学会将实际问题构建成数学模型，并运用相关知识解决．（难点）
1．勾股定理：
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2．
2．勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
我们已经学会用勾股定理解决实际问题，那么勾股定理的逆定理在实际生活中有哪些应用呢？
李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺．
（1）你能替他想办法完成任务吗？
连接对角线AC，BD，只要分别量出AB，BC，AC，AD和BD的长度即可．
若AB2＋BC2＝AC2，
则△ABC为直角三角形．
同理可得到△ABD为直角三角形．
（2）李叔叔量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm．
AD边垂直于AB边吗？
解：因为AD2＋AB2＝302＋402＝2500＝BD2，
所以△ABD是直角三角形，∠A＝90°．
所以AD边垂直于AB边．
（3）小明随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？
当刻度尺较短时，有很多办法，
如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，
或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，
从而可根据勾股定理的逆定理得到结论．
数学思想
实际问题
数学问题
转化
建模
例1 如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上．“远航” 号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30海里． 如果知道“远航” 号沿东北方向航行，能知道“海天” 号沿哪个方向航行吗？
解：根据题意，
PQ＝16×1.5＝24，
PR＝12×1.5＝18 ，
QR＝30 ．
∵ 242＋182＝302，
即PQ2＋PR2＝QR2， ∴ ∠QPR＝90°，
由“远航”号沿东北方向航行可知∠1＝45°．
因此∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行．
如何有效解决实际问题：
1．构建对应几何图形．
2．标注有用信息（或添加必要的辅助线），明确已知和所求．
3．应用数学知识解决问题．
例2 如图，在四边形ABCD中，AB=5，BC=3，AD= ,DC= .如果AC⊥BC，判断AC与AD是否也垂直，并说明理由，
A
B
D
C
解：因为AC⊥BC，所以∠ACB=90°.
在Rt△ABC中,根据勾股定理，
AC =AB -BC =5 -3 =16.所以AC=4.
在△ACD中，
AC +AD =4 +（） =，CD=（） = ,
所以AC +AD =CD .
因此△ACD是直角三角形，即AC⊥AD.
勾股定理与勾股定理的逆定理的条件和结论相反．勾股定理是直角三角形的性质，其逆定理是直角三角形的判定．勾股定理是根据直角三角形探求边长的关系，体现了由形到数的转化；勾股定理的逆定理是由三角形的三边关系探求三角形的形状，体现了由数到形的转化．
如图，某中学为迎接校庆50周年，拟对学校校园中的一块空地进行美化施工，已知AB＝3 m，BC＝4 m，∠ABC＝90°，AD＝12 m，CD＝13 m，学校欲在此空地上铺草坪，已知每平方米草坪80元，试问用草坪铺满这块空地共需花费多少元．
解：如图，连接AC，在Rt△ABC中，
∵AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25，
∴AC＝5 m．
∵AC2＋AD2＝52＋122＝169，CD2＝132＝169，
∴AC2＋AD2＝CD2，
∴∠CAD＝90°，
该区域面积＝S△ACD－S△ABC＝30－6＝24（m2），
铺满这块空地共需花费24×80＝1 920（元）．
答：用草坪铺满这块空地共需花费1 920元．
A
B
C
D
M
N
北
东
1.一艘轮船从 A 港向南偏西 48°方向航行 100 km 到达 B 岛，再从 B 岛沿BM 方向航行 125 km 到达 C 岛，A 港到航线 BM 的最短距离是 60 km．
（1）若轮船速度为 25 km/h，求轮船从 C 岛沿 CA 方向返回 A 港所需的时间；
分析：（1）在 Rt△ABD 中，利用勾股定理可求得 BD的长度，则 CD＝BC－BD；然后在Rt△ACD 中，利用勾股定理可求得 AC 的长度，最后由“时间＝路程÷速度”求出所需的时间；
解：（1）由题意 AD＝60 km，
在 Rt△ABD 中，由 AD2＋BD2＝AB2 得 602＋BD2＝1002．
∴BD＝80（km）．
∴CD＝BC－BD＝125－80＝45（km）．
∴AC=（km）．
75÷25＝3（h）．
答：从 C 岛沿 CA 方向返回 A 港所需的时间为 3 h．
A
B
C
D
M
N
北
东
（2）C 岛在 A 港的什么方向？
分析：（2）由勾股定理的逆定理推知∠BAC＝90°，由方向角的定义作答即可．
（2）∵AB2＋AC2＝1002＋752＝15 625，
BC2＝1252＝15 625，
　　∴AB2＋AC2＝BC2，
　　∴∠BAC＝90°．
　　∴∠NAC＝180°－90°－48°＝42°．
　　∴C 岛在 A 港的北偏西 42°方向上．
A
B
C
D
M
N
北
东
2.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10．
求四边形 ABCD 的面积．
分析：连接 AC，然后根据勾股定理可以求得 AC 的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断△ACD 的形状，从而可以求得四边形 ABCD 的面积.
A
B
C
D
解：连接 AC，
　　∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
　　∴ AC= 10．
　　∵CD＝10，AD＝10，
　　∴CD2＋AC2＝102＋102＝200，AD2＝(10)2＝200，
　　∴CD2＋AC2＝AD2，
　　∴△ACD是直角三角形，
　　∴四边形ABCD的面积是
＝ ＝74，
　　即四边形ABCD的面积是 74．
A
B
C
D
3.拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路 AB 由点 A 向点 B 行驶，已知点 C 为一所学校，且点 C 与直线AB 上两点 A，B 的距离分别为 150 m 和 200 m，AB＝250 m，拖拉机周围 130 m 以内为受噪声影响区域．
（1）学校 C 会受噪声影响吗？为什么？
分析：利用勾股定理的逆定理得出△ABC 是直角三角形，然后利用三角形面积得出 CD 的长，进而得出学校 C 是否会受噪声影响.
A
B
C
D
　　解：学校 C 会受噪声影响．
　　理由：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于 D，
　　∵AC＝150 m，BC＝200 m，AB＝250 m，
　　∴AC2＋BC2＝AB2，　　∴△ABC是直角三角形．
　　∴S△ABC＝AC·BC＝CD·AB，
　　∴150×200＝250CD，
　　∴CD＝＝120（m），
　　∵拖拉机周围 130 m 以内为受噪声影响区域，
　　∴学校 C 会受噪声影响．
A
B
C
D
（2）若拖拉机的行驶速度为 50 m/min，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
分析：利用勾股定理得出 ED 以及 EF 的长，进而可得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间．
E
F
A
B
C
D
解：如图，取 EC＝130 m，FC＝130 m，当拖拉机在 EF 上时学校会受噪声影响．
　　∵ED2＝EC2－CD2＝1302－1202＝502，
　　∴ED＝50（m），
　 ∴EF＝100（m）．
　　∵拖拉机的行驶速度为 50 m/min，
　　∴100÷50＝2（min），
　　即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有 2 min．
E
F
A
B
C
D
实际问题
抽象
数学模型
勾股定理及其逆定理
答案
实际意义第二十章 勾股定理
20.2 勾股定理的逆定理及其应用
第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用
教学设计
课题 20.2第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用 授课人
教学目标 1.会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形；会用勾股定理解决综合问题和实际问题. 2.发展合情推理的能力，体会数形结合和由特殊到一般的数学思想，树立数形结合的思想、分类讨论思想. 3.通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心，激发学生的民族自豪感和爱国情怀.
教学重点 回顾并思考勾股定理及逆定理.
教学难点 灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 1．勾股定理： 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2． 2．勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 我们已经学会用勾股定理解决实际问题，那么勾股定理的逆定理在实际生活中有哪些应用呢？ 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 1.勾股定理的逆定理的实际应用 李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺． （1）你能替他想办法完成任务吗？ 连接对角线AC，BD，只要分别量出AB，BC，AC，AD和BD的长度即可． 若AB2＋BC2＝AC2， 则△ABC为直角三角形． 同理可得到△ABD为直角三角形． （2）李叔叔量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm． AD边垂直于AB边吗？ 解：因为AD2＋AB2＝302＋402＝2500＝BD2， 所以△ABD是直角三角形，∠A＝90°． 所以AD边垂直于AB边． （3）小明随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？ 当刻度尺较短时，有很多办法， 如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度， 或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边， 从而可根据勾股定理的逆定理得到结论． （链接例1） 如何有效解决实际问题： 1．构建对应几何图形． 2．标注有用信息（或添加必要的辅助线），明确已知和所求． 3．应用数学知识解决问题． 2.勾股定理及其逆定理的综合运用 （链接例2） 勾股定理与勾股定理的逆定理的条件和结论相反．勾股定理是直角三角形的性质，其逆定理是直角三角形的判定．勾股定理是根据直角三角形探求边长的关系，体现了由形到数的转化；勾股定理的逆定理是由三角形的三边关系探求三角形的形状，体现了由数到形的转化． （链接针对练习） 通过合作探究，引出新课内 容，激发学生的学习兴趣.通过构建几何模型，培养学生的空间想象能 力,进一步巩固勾股定理的应用.
典例精析 【例1（教材P36例题）】 如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上．“远航” 号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30海里． 如果知道“远航” 号沿东北方向航行，能知道“海天” 号沿哪个方向航行吗？ 【解】根据题意， PQ＝16×1.5＝24， PR＝12×1.5＝18 ， QR＝30 ． ∵ 242＋182＝302， 即PQ2＋PR2＝QR2， ∴ ∠QPR＝90°， 由“远航”号沿东北方向航行可知∠1＝45°． 因此∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行． 【例2（教材P37例题）】 如图，在四边形ABCD中，AB=5，BC=3，AD= ,DC= .如果AC⊥BC，判断AC与AD是否也垂直，并说明理由， 【解】因为AC⊥BC，所以∠ACB=90°. 在Rt△ABC中,根据勾股定理， AC =AB -BC =5 -3 =16.所以AC=4. 在△ACD中， AC +AD =4 +（） =，CD=（） = , 所以AC +AD =CD . 因此△ACD是直角三角形，即AC⊥AD. 【针对练习】 如图，某中学为迎接校庆50周年，拟对学校校园中的一块空地进行美化施工，已知AB＝3 m，BC＝4 m，∠ABC＝90°，AD＝12 m，CD＝13 m，学校欲在此空地上铺草坪，已知每平方米草坪80元，试问用草坪铺满这块空地共需花费多少元． 【解】如图，连接AC，在Rt△ABC中， ∵AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25， ∴AC＝5 m． ∵AC2＋AD2＝52＋122＝169，CD2＝132＝169， ∴AC2＋AD2＝CD2， ∴∠CAD＝90°， 该区域面积＝S△ACD－S△ABC＝30－6＝24（m2）， 铺满这块空地共需花费24×80＝1 920（元）． 答：用草坪铺满这块空地共需花费1 920元． 通过例题和练习，帮助学生掌握利用勾股定理解决实际问题的方法.
随堂检测 1.一艘轮船从 A 港向南偏西 48°方向航行 100 km 到达 B 岛，再从 B 岛沿BM 方向航行 125 km 到达 C 岛，A 港到航线 BM 的最短距离是 60 km． （1）若轮船速度为 25 km/h，求轮船从 C 岛沿 CA 方向返回 A 港所需的时间； （2）C 岛在 A 港的什么方向？ 【分析】（1）在 Rt△ABD 中，利用勾股定理可求得 BD的长度，则 CD＝BC－BD；然后在Rt△ACD 中，利用勾股定理可求得 AC 的长度，最后由“时间＝路程÷速度”求出所需的时间； （2）由勾股定理的逆定理推知∠BAC＝90°，由方向角的定义作答即可． 【解】（1）由题意 AD＝60 km， 在 Rt△ABD 中，由 AD2＋BD2＝AB2 得 602＋BD2＝1002． ∴BD＝80（km）． ∴CD＝BC－BD＝125－80＝45（km）． ∴AC=（km）． 75÷25＝3（h）． 答：从 C 岛沿 CA 方向返回 A 港所需的时间为 3 h． （2）∵AB2＋AC2＝1002＋752＝15 625， BC2＝1252＝15 625， 　　∴AB2＋AC2＝BC2， 　　∴∠BAC＝90°． 　　∴∠NAC＝180°－90°－48°＝42°． 　　∴C 岛在 A 港的北偏西 42°方向上． 2.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10．求四边形 ABCD 的面积． 【分析】连接 AC，然后根据勾股定理可以求得 AC 的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断△ACD 的形状，从而可以求得四边形 ABCD 的面积. 【解】连接 AC， 　　∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8， 　　∴ AC= 10． 　　∵CD＝10，AD＝10， 　　∴CD2＋AC2＝102＋102＝200，AD2＝(10)2＝200， 　　∴CD2＋AC2＝AD2， 　　∴△ACD是直角三角形， 　　∴四边形ABCD的面积是 ＝ ＝74， 　　即四边形ABCD的面积是 74． 3.拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路 AB 由点 A 向点 B 行驶，已知点 C 为一所学校，且点 C 与直线AB 上两点 A，B 的距离分别为 150 m 和 200 m，AB＝250 m，拖拉机周围 130 m 以内为受噪声影响区域． （1）学校 C 会受噪声影响吗？为什么？ （2）若拖拉机的行驶速度为 50 m/min，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC 是直角三角形，然后利用三角形面积得出 CD 的长，进而得出学校 C 是否会受噪声影响. （2）利用勾股定理得出 ED 以及 EF 的长，进而可得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间． 【解】（1）学校 C 会受噪声影响． 　　理由：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于 D， 　　∵AC＝150 m，BC＝200 m，AB＝250 m， 　　∴AC2＋BC2＝AB2，　　∴△ABC是直角三角形． 　　∴S△ABC＝AC·BC＝CD·AB， 　　∴150×200＝250CD， 　　∴CD＝＝120（m）， 　　∵拖拉机周围 130 m 以内为受噪声影响区域， 　　∴学校 C 会受噪声影响． （2）如图，取 EC＝130 m，FC＝130 m，当拖拉机在 EF 上时学校会受噪声影响． 　　∵ED2＝EC2－CD2＝1302－1202＝502， 　　∴ED＝50（m）， 　 ∴EF＝100（m）． 　　∵拖拉机的行驶速度为 50 m/min， 　　∴100÷50＝2（min）， 　　即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有 2 min． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 小结： 1．利用勾股定理逆定理求角的度数 2．利用勾股定理逆定理求线段的长 3．利用勾股定理逆定理解决实际问题 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 20.2 第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用 1.勾股定理的逆定理的实际应用 2.勾股定理及其逆定理的综合运用
教学反思

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