资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
18.4 整数指数幂 教学设计
一、核心素养目标
数学抽象：通过正整数指数幂到零指数幂、负整数指数幂的概念拓展，抽象出整数指数幂的统一本质，理解“指数取值范围扩大”的数学意义，提升概念迁移能力。
逻辑推理：经历“正整数指数幂法则→零指数幂定义推导→负整数指数幂定义推导→整数指数幂法则统一”的推理过程，培养合情推理与演绎推理相结合的能力，体会“特殊到一般”的推理思想。
数学运算：熟练掌握零指数幂“任何非零数的零次幂为1”和负整数指数幂“（，n为正整数）”的运算规则，能运用整数指数幂的运算法则进行幂的乘方、积的乘方及同底数幂的乘除运算，提升运算准确性。
数学建模：运用负整数指数幂表示微小数（如纳米、微米与米的换算），将实际测量中的数量关系转化为指数运算模型，体会整数指数幂在科学记数法中的应用价值。
数学文化：通过了解指数概念的发展史料，感受数学概念随实践需求不断拓展的历程，增强对数学学科的认知与兴趣。
二、教学重难点
（一）教学重点
整数指数幂的概念：理解零指数幂和负整数指数幂的定义，明确“（）”“（，n为正整数）”的适用条件与本质。
整数指数幂的运算法则：掌握同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方在整数指数范围内的统一适用法则，能灵活运用法则进行计算。
科学记数法的拓展：会用负整数指数幂表示绝对值小于1的数，如将0.000036表示为。
（二）教学难点
负整数指数幂概念的理解：难以从正整数指数幂的“乘法运算”本质，过渡到负整数指数幂的“除法逆运算”意义，易忽视“”的限制条件。
法则的统一应用：在混合运算中，难以灵活切换正、零、负指数幂的运算规则，如混淆“同底数幂相乘，指数相加”与“幂的乘方，指数相乘”在负指数中的应用。
科学记数法的表示：表示绝对值小于1的数时，易混淆10的指数符号与绝对值，如将0.001误表示为或。
含参数的指数运算：遇到底数含字母参数的情况（如），难以准确判断参数的取值范围，易漏考虑“底数不为零”的条件。
三、教学环节
（一）情境导入：史料激趣，旧知迁移
史料呈现：展示古巴比伦泥板上的指数运算记载和我国古代《九章算术》中“方田”章的幂运算问题，教师讲解：“早在几千年前，人类就开始运用幂运算解决实际问题，最初指数仅为正整数。随着数学发展和实践需求，指数的取值范围不断扩大，今天我们就将指数从正整数拓展到全体整数，探究整数指数幂的奥秘。”
旧知回顾：出示正整数指数幂的相关问题，学生完成并口述法则：
（1）计算：_______，_______（），_______，_______；
（2）回忆正整数指数幂的法则：同底数幂相乘，底数不变，指数_______；同底数幂相除，底数不变，指数_______；幂的乘方，底数不变，指数_______；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂_______。
矛盾设问：提出问题：“若同底数幂相除时，被除数的指数小于除数的指数，如、（），该如何计算？这就需要我们拓展指数的取值范围。”引出本节课主题——整数指数幂。
（二）探究新知：分层推导，构建体系
1.零指数幂的定义与探究
（1）法则迁移推导
师生互动：教师引导：“根据同底数幂的除法法则，当被除数指数等于除数指数时，如，一方面按法则计算：；另一方面，任何非零数除以它本身都等于1，即。由此你能得出什么结论？”
学生猜想后，教师总结：为使同底数幂的除法法则在指数相等时仍成立，我们规定：任何非零数的零次幂都等于1，即（）。强调“”的原因：若，则无意义（如，除数为零，无意义）。
（2）即时辨析
判断下列各式是否成立，说明理由：
（1） （2） （3） （4）
学生回答后，教师重点点评（3）（4），强化“底数不为零”的限制条件。
2.负整数指数幂的定义与探究
（1）从除法法则推导
师生互动：延续之前的矛盾问题，计算：
方法一：按正整数指数幂的除法意义计算：；
方法二：若同底数幂的除法法则“”仍适用（m教师提问：“为使法则统一，应等于什么？”引导学生得出。
同理，推导（）：，同时，故。
总结定义：任何非零数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数，即（，n为正整数）。也可表示为（，n为正整数），体现正、负指数幂的倒数关系。
（2）例题示范与互动
例1：计算：（1） （2） （3） （4）
师生互动：
（1）引导学生套用定义：；
（2）强调符号处理：，区别于的符号差异；
（3）拓展倒数性质：，总结“分数的负指数幂等于其倒数的正指数幂”；
（4）验证法则统一：，或，说明同底数幂乘法法则在负指数中仍适用。
（3）即时练习
计算：（1） （2） （3）（） （4）（）
学生完成后，小组内互查，教师针对“符号错误”“法则混淆”等问题集中讲解。
3.整数指数幂运算法则的统一
（1）法则梳理与验证
教师提出问题：“正整数指数幂的运算法则，在整数指数幂范围内是否都适用？请以同底数幂相乘、相除，幂的乘方，积的乘方为例进行验证。”
学生分组验证，如：
① 同底数幂相乘：，同时，成立；
② 幂的乘方：，同时，成立；
③ 积的乘方：，同时，成立。
总结：正整数指数幂的所有运算法则，在整数指数幂范围内完全适用，可统一表述为（，，m、n为整数）：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ 。
（2）综合运算例题
例2：计算：（1） （2） （3）
师生互动：
（1）应用积的乘方与幂的乘方法则：，强调运算结果一般化为正指数形式；
（2）先算括号内再算乘法：；
（3）应用负指数幂的倒数性质：，或直接展开：。
4.整数指数幂在科学记数法中的应用
（1）回顾与拓展
师生互动：回顾用正整数指数幂表示绝对值大于1的数的科学记数法：如，其中，指数为整数位数减1。
提出问题：“绝对值小于1的数，如0.000036，如何用科学记数法表示？”
引导推导：，总结规律：绝对值小于1的数用科学记数法表示为，其中，n为原数中第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前的零）。
（2）例题与练习
例3：用科学记数法表示下列各数：（1）0.00012 （2）-0.0000034 （3）0.000000567
例4：将下列科学记数法表示的数还原：（1） （2）
学生完成后，教师强调：指数的负号表示原数绝对值小于1，还原时需向左移动小数点，移动位数等于指数的绝对值。
（三）重点知识归纳概括
1.核心概念与定义
（1）零指数幂：（），“”是前提，无意义。
（2）负整数指数幂：（，n为正整数），反之，体现正、负指数的倒数关系；特别地，（，）。
（3）整数指数幂：包括正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂，底数均需满足“不为零”的条件。
2.统一运算法则（，，m、n为整数）
（1）同底数幂乘除：，（除法可转化为乘法：）；
（2）幂的乘方：；
（3）积的乘方：；
（4）商的乘方：。
运算原则：① 先算乘方，再算乘除；② 同级运算从左到右；③ 结果一般化为正整数指数幂的形式。
3.科学记数法的表示
（1）绝对值大于1的数：，，n为正整数，n=原数整数位数-1；
（2）绝对值小于1的数：，，n为正整数，n=原数第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前的零）；
（3）注意：a的取值范围始终是，指数的符号由原数绝对值与1的大小关系决定。
4.易错点与规避方法
（1）忽视底数不为零：计算时，需先确定x≠1，避免默认其值为1；
（2）符号错误：区分与，前者符号随n的奇偶性变化，后者符号恒为负（如，）；
（3）法则混淆：牢记“同底数幂相乘指数相加，幂的乘方指数相乘”，避免或的错误；
（4）科学记数法指数错误：表示0.0001时，第一个非零数字前有4个零，指数应为-4，即，而非-3或4。
（四）课堂练习
下列各式中，计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
若，则x的取值范围是（ ）
A. x>3 B. x≠3 C. x<3 D. x=3
计算的结果是（ ）
A. B. C. -8 D. 8
用科学记数法表示0.00000078，正确的是（ ）
A. B. C. D.
计算（）的结果是（ ）
A. B. C. D.
计算下列各式（结果化为正整数指数幂形式）：
（1） （2） （3）（） （4）（，）
计算下列各式（结果化为正整数指数幂形式）：
（1） （2）（，） （3）（，，） （4）（）
用科学记数法表示下列各数：
（1）0.0000215 （2）-0.00000089 （3）0.0000000036 （4）1200000（用正指数）与0.00012（用负指数）
先化简，再求值：，其中x=2，y=-1。
解决实际问题：
（1）纳米是长度单位，1纳米米，某种病毒的直径为100纳米，用米作单位表示该病毒的直径；
（2）一个氧原子的质量约为千克，一个碳-12原子的质量约为千克，求一个氧原子的质量是一个碳-12原子质量的多少倍（结果保留一位小数）；
（3）某电子元件的面积约为0.00000069平方米，将其面积用科学记数法表示，并计算1000个这样的电子元件的总面积。
（五）练习答案与解析
答案：C 解析：A选项违反零指数幂定义，；B选项负整数指数幂符号错误，；C选项正确，；D选项无意义，因底数为零。故选C。
答案：B 解析：零指数幂成立的条件是底数不为零，故，即x≠3，与x的大小无关。故选B。
答案：D 解析：根据负整数指数幂性质，，分数的负指数幂等于其倒数的正指数幂。A、C符号错误，B指数计算错误。故选D。
答案：A 解析：0.00000078中第一个非零数字“7”前有7个零，故n=7，科学记数法为。B选项指数错误，C选项a的取值不符合，D选项a的取值与指数均错误。故选A。
答案：B 解析：同底数幂相乘，指数相加，。A选项指数错误相加，C选项混淆乘除法则，D选项符号错误。故选B。
解析：
（1）（注意底数为-5，平方后符号为正）；
（2）先算零指数与负指数：（，）；
（3）幂的乘方法则：（指数相乘，负负得正）；
（4）同底数幂相乘，指数分别相加：（，）。
解析：
（1）积的乘方展开：；
（2）先算括号内再算除法：；
（3）负指数幂转化为倒数：（或直接展开：，注意符号与指数运算）；
（4）分两步计算再相减：（通分后合并，结果也可保留，但一般化为分式形式）。
解析：
（1）0.0000215中第一个非零数字前有5个零，故为；
（2）-0.00000089保留负号，第一个非零数字前有7个零，故为；
（3）0.0000000036中第一个非零数字前有9个零，故为；
（4）1200000整数位数为7，故为；0.00012第一个非零数字前有4个零，故为。
解析：先化简表达式：
；
代入x=2，y=-1：（注意，平方后符号为正）。
解析：
（1）病毒直径=100×1纳米=100×米=米=米（科学记数法表示，同底数幂相乘指数相加）；
（2）倍数关系=氧原子质量÷碳-12原子质量=（指数部分相减为0，只需计算系数比值）；
（3）① 0.00000069平方米=平方米；② 1000个总面积=1000×平方米=平方米=平方米（或0.00069平方米）。
（六）教学反思
亮点之处：本节课以史料导入激发学生兴趣，通过“正整数指数幂→零指数幂→负整数指数幂”的分层推导，符合学生认知规律；注重法则的验证过程，让学生通过自主计算体会“法则统一”的合理性，而非机械记忆；例题与练习设计覆盖概念辨析、基础运算、综合应用等层次，特别强化了“底数不为零”“符号处理”等易错点；融入科学记数法的实际应用，体现数学与生活、科技的联系。
不足之地：对负整数指数幂的“本质意义”讲解不够深入，部分学生仅会套用公式，难以理解“负指数表示倒数”的逻辑；含参数的指数运算练习较少，学生遇到（）类题目时，仍易忽视x≠0的条件；课堂互动中，对基础薄弱学生的关注不足，导致部分学生在混合运算中仍存在法则混淆问题。
改进方向：课前增加“倒数与幂运算”的关联复习，为负指数幂的理解铺垫；设计“参数取值范围辨析”专项练习，如判断有意义的条件，强化“底数不为零”的意识；建立“小组互助”机制，让运算能力强的学生带动同伴梳理法则应用步骤；课后布置分层作业，基础题巩固概念与法则，提升题侧重综合运算与实际应用，满足不同学生需求。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑