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同步探究学案
课题 18.1.1 从分数到分式 单元 第十八章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．了解分式的概念，能用分式表示实际问题中的数量关系． 2．掌握分式有意义的条件，并能进行计算． 3．掌握分式取特殊值的条件，并能进行计算．
重点 掌握分式有意义的条件，并能进行计算．
难点 熟练地求出分式有意义的条件、分式取特殊值的条件．
探究过程
导入新课 【引入思考】 我们知道，整式可以表示一些问题中的数量和数量关系．在表示有些问题中的数量和数量关系时，还需要用到其他类型的代数式． 问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用的时间，与以最大航速逆流航行60km所用的时间相等，江水的流速为多少？ 分析：题目中相等的数量关系是： 顺流航行90km所用的_______=逆流航行60km所用的_______ 顺流航行的速度＝轮船在静水中的速度____江水的流速； 逆流航行的速度＝轮船在静水中的速度____江水的流速． 解：设江水流速为vkm/h， 则轮船顺流航行90km所用的时间为h， 逆流航行60km所用的时间为h， 根据题意，可列方程 ＝ 指出：像和这样，分母中含有字母的式子都是分式． 像＝这样，分母中含有未知数的方程是分式方程．
新知探究 本节课来研究： 分式与分数具有类似的形式，我们类比分数学习分式的概念。 我们知道，两个数相除可以表示成分数的形式． 例如，3÷4，(－7)÷2可以分别表示成， ． 整式的除法也可以类似表示． 例如，在章引言中，江水流速为vkm/h，轮船顺流航行90km所用时间［90÷(30＋v)］h可以用h来表示． 思考1：（1）长方形的面积为10，长为7，则宽为__________；长方形的面积为S，长为a，则宽为__________． （2）在越野滑雪比赛中，若一名滑雪运动员在平地滑行akm用时bh，则他的平均速度为__________km/h；若他在上坡滑行akm比在平地滑行同样的距离多用ch，则他的平均速度为__________km/h． 思考2：式子，，以及本章引言中的式子，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？ 归纳：一般地，如果A，B表示两个______，并且B中含有______，那么式子叫作分式．在分式中，A叫作_____，B叫作______． 注意：分式是不同于整式的另一类代数式． 上面的，，，和等都是分式． 因为字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性． 例如，分数仅表示2÷3的商，而分式既可以表示2÷3，又可以表示(－5)÷2，8÷(－9)等． 试一试：下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？ 思考3：我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0．要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？ 例1：下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ （1）；（2）；（3）；（4）． 例2：当 x 取何值时，分式的值为0？ 例3：（1）当 x 取何值时，分式的值为正？ （2）当 b 取何值时，分式的值为负？ 归纳：分式取特殊值的条件 分式的值为 0：分子为____，且分母不为______； 分式的值为正：分子、分母符号________； 分式的值为负：分子、分母符号_______． 注意：必须在分式有意义的前提下才能讨论分式的值等于或者不等于0的条件．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．在式子，，，，，中，分式的个数是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 3．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ ，，，，， 选做题： 4．关于和的值如下表： ．．．012．．．．．．0※※无意义※．．．
则代表的分式是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．若分式的值为零，则x的值为 ．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在分式中，的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．走一段10千米的路，步行小时，骑自行车所用的时间比步行所用时间少t小时，则骑自行车的平均速度为 千米/时． 3．下列分式中的字母x满足什么条件时分式有意义？ (1)；(2)；(3)；(4)． 选做题： 4．已知分式满足表格中的信息，其中，，均为常数． 的取值分数的值无意义
(1)原分式中的值是　　　； (2)求出，的值． 【综合拓展类作业】 5．取何值时，下列分式的值是零？ (1)；(2)．
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第十八章 分式
18.1.1 从分数到分式
1．了解分式的概念，能用分式表示实际问题中的数量关系．
2．掌握分式有意义的条件，并能进行计算．
我们知道，整式可以表示一些问题中的数量和数量关系．在表示有些问题中的数量和数量关系时，还需要用到其他类型的代数式．
一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用的时间，与以最大航速逆流航行60km所用的时间相等，江水的流速为多少？
题目中相等的数量关系是：
顺流航行90km所用的时间=逆流航行60km所用的时间
顺流航行的速度＝轮船在静水中的速度＋江水的流速；
逆流航行的速度＝轮船在静水中的速度－江水的流速．
一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用的时间，与以最大航速逆流航行60km所用的时间相等，江水的流速为多少？
题目中相等的数量关系是：
顺流航行90km所用的时间=逆流航行60km所用的时间
解：设江水流速为vkm/h，
则轮船顺流航行90km所用的时间为h，
逆流航行60km所用的时间为h，
根据题意，可列方程 ＝
像和这样，分母中含有字母的式子都是分式．
像＝这样，分母中含有未知数的方程是分式方程．
分式与分数具有类似的形式，我们类比分数学习分式的概念和基本性质．
我们知道，两个数相除可以表示成分数的形式．
例如，3÷4，(－7)÷2可以分别表示成， ．
整式的除法也可以类似表示．
例如，在章引言中，江水流速为vkm/h，轮船顺流航行90km所用时间［90÷(30＋v)］h可以用h来表示．
思考1：
（1）长方形的面积为10，长为7，则宽为__________；长方形的面积为S，长为a，则宽为__________．
（2）在越野滑雪比赛中，若一名滑雪运动员在平地滑行akm用时bh，则他的平均速度为__________km/h；若他在上坡滑行akm比在平地滑行同样的距离多用ch，则他的平均速度为__________km/h．
思考2：
式子，，以及本章引言中的式子，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？
共同点：这些式子与分数一样都是(即A÷B)的形式．
不同点：分数的分子A与分母B都是整数，而这些式子中的A与B都是整式，并且B中都含有字母．
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式．在分式中，A叫作分子，B叫作分母．
分式是不同于整式的另一类代数式．
上面的，，，和等都是分式．
因为字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性．
例如，分数仅表示2÷3的商，而分式既可以表示2÷3，又可以表示(－5)÷2，8÷(－9)等．
试一试：下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？
解：分式有，，，，，
整式有，.
思考3：
我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0．要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？
分式的分母表示除数，因为除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义．
例1：下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
（1）；（2）；（3）；（4）．
解：（1）要使分式有意义，则分母3x≠0，即x≠0；
（2）要使分式有意义，则分母x－1≠0，即x≠1；
（3）要使分式有意义，则分母5－3b≠0，即b≠；
（4）要使分式有意义，则分母x－y≠0，即x≠y．
例2：当 x 取何值时，分式的值为0？
解：由分子x2－1＝0，得x＝1或x＝－1，
当x＝1时，分母x－1＝1－1＝0；
当x＝－1时，分母x－1＝－1－1＝－2；
故当x＝－1时，原分式的值为0．
例3：（1）当 x 取何值时，分式的值为正？
（2）当 b 取何值时，分式的值为负？
解：（1）当分子 x＞0，分母 x－1＞0，即x＞1时，的值为正；
当分子x＜0，分母x－1＜0，即x＜0时，的值为正．
（2）当分子b＞0，分母5－3b＜0，即b＞ 时，的值为负；
当分子b＜0时，分母5－3b＞0 ，即b＜0时，的值为负.
分式取特殊值的条件
分式的值为 0：分子为0，且分母不为0；
分式的值为正：分子、分母符号相同；
分式的值为负：分子、分母符号不同．
注意：必须在分式有意义的前提下才能讨论分式的值等于或者不等于0的条件．
【知识技能类练习】必做题：
1．在式子，，，，，中，分式的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
B
【知识技能类练习】必做题：
2．若分式的值为正数，则x的取值范围是 ．
解：∵分式的值为正数，且分子，
∴分母，
解得，
又∵分母，即，而已满足此条件，
故答案为：．
【知识技能类练习】必做题：
3．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
，，，，，
解：由题意得，整式有，；
分式有，，，．
【知识技能类练习】选做题：
．．． 0 1 2 ．．．
．．． 0 ※ ※ 无意义 ※ ．．．
4．关于和的值如下表：
则代表的分式是（ ）
A． B． C． D．
C
【综合拓展类练习】
5．若分式的值为零，则x的值为 ．
2
解：∵分式的值为零，
∴分子，得，解得或，
∵当时，分母，分式无意义，
∴当时，分母 ，满足条件，
故答案为：2．
分式
分式有意义的条件
分式的概念
分式取特殊值的条件
【知识技能类作业】必做题：
1．在分式中，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
C
【知识技能类作业】必做题：
2．走一段10千米的路，步行小时，骑自行车所用的时间比步行所用时间少t小时，则骑自行车的平均速度为 千米/时．
【知识技能类作业】必做题：
3．下列分式中的字母x满足什么条件时分式有意义？
(1)；(2)；(3)；(4)．
解：（1）由分式的分母不为零可得；
（2）由得；
（3）由得；
（4）因为对任意实数，都有，
所以，
故恒成立，
所以的取值为全体实数．
【知识技能类作业】选做题：
的取值
分数的值 无意义
4．已知分式满足表格中的信息，其中，，均为常数．
(1)原分式中的值是　　　；(2)求出，的值．
1
解：（2）当时，分式的值为0，
，解得，∴原分式为 ，
当分式的值为3时，即，解得,
经检验，是该分式方程的解，
∴．
【综合拓展类作业】
5．取何值时，下列分式的值是零？
(1)； (2)．
解：（1）的值是零，
，
且，
，，，
；
（2）的值是零，
，
且，
，，，
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分课时教学设计
第一课时《18.1.1 从分数到分式》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是第十八章“分式”的开篇第一课时，承接七年级下册“整式的运算”和小学阶段“分数的概念与运算”知识，是代数式体系的重要延伸．它通过类比分数的形式与意义，建立分式的概念，为后续学习分式的基本性质、运算法则及分式方程奠定基础．同时，本节课通过实际问题情境抽象出分式模型，体现了数学“从具体到抽象”“从实际到理论”的建模思想，对培养学生的代数思维和应用意识具有重要意义．
学习者分析 学生已掌握整数、分数的概念及运算，理解“除数不能为0”的规则；熟练掌握整式的概念及相关运算，具备用字母表示数和数量关系的基础．学生可能对“字母表示任意数但需满足分母不为0”的严谨性理解不足，容易忽略分式有意义的条件；在区分分式与整式时，可能因对“分母含字母”的本质特征把握不准而出错；抽象概括能力有待提升，需要通过具体实例引导才能准确归纳分式的定义．
教学目标 1．了解分式的概念，能用分式表示实际问题中的数量关系． 2．掌握分式有意义的条件，并能进行计算． 3．掌握分式取特殊值的条件，并能进行计算．
教学重点 掌握分式有意义的条件，并能进行计算．
教学难点 熟练地求出分式有意义的条件、分式取特殊值的条件．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．了解分式的概念，能用分式表示实际问题中的数量关系． 2．掌握分式有意义的条件，并能进行计算．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 介绍：我们知道，整式可以表示一些问题中的数量和数量关系．在表示有些问题中的数量和数量关系时，还需要用到其他类型的代数式． 问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用的时间，与以最大航速逆流航行60km所用的时间相等，江水的流速为多少？ 分析：题目中相等的数量关系是： 顺流航行90km所用的时间=逆流航行60km所用的时间 顺流航行的速度＝轮船在静水中的速度＋江水的流速； 逆流航行的速度＝轮船在静水中的速度－江水的流速． 解：设江水流速为vkm/h， 则轮船顺流航行90km所用的时间为h， 逆流航行60km所用的时间为h， 根据题意，可列方程 ＝ 指出：像和这样，分母中含有字母的式子都是分式． 像＝这样，分母中含有未知数的方程是分式方程． 导言：分式与分数具有类似的形式，我们类比分数学习分式的概念和基本性质．学生活动2： 认真听老师的讲解，并积极回答问题活动意图说明： 本章引例从实际问题引出代数式，体会分式的实际需要，为进一步探究分式及其相关概念做好准备．环节三：新知讲解教师活动3： 介绍：我们知道，两个数相除可以表示成分数的形式． 例如，3÷4，(－7)÷2可以分别表示成， ． 整式的除法也可以类似表示． 例如，在章引言中，江水流速为vkm/h，轮船顺流航行90km所用时间［90÷(30＋v)］h可以用h来表示． 思考1： （1）长方形的面积为10，长为7，则宽为__________；长方形的面积为S，长为a，则宽为__________． （2）在越野滑雪比赛中，若一名滑雪运动员在平地滑行akm用时bh，则他的平均速度为__________km/h；若他在上坡滑行akm比在平地滑行同样的距离多用ch，则他的平均速度为__________km/h． 答案：，，，． 思考2： 式子，，以及本章引言中的式子，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？ 预设：共同点：这些式子与分数一样都是(即A÷B)的形式． 不同点：分数的分子A与分母B都是整数，而这些式子中的A与B都是整式，并且B中都含有字母． 归纳：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式．在分式中，A叫作分子，B叫作分母． 讲解：分式是不同于整式的另一类代数式． 上面的，，，和等都是分式． 因为字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性． 例如，分数仅表示2÷3的商，而分式既可以表示2÷3，又可以表示(－5)÷2，8÷(－9)等． 试一试：下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？ 解：分式有，，，，， 整式有，. 思考3： 我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0．要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？ 预设：分式的分母表示除数，因为除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义． 例1：下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ （1）；（2）；（3）；（4）． 解：（1）要使分式有意义，则分母3x≠0，即x≠0； （2）要使分式有意义，则分母x－1≠0，即x≠1； （3）要使分式有意义，则分母5－3b≠0，即b≠； （4）要使分式有意义，则分母x－y≠0，即x≠y． 例2：当 x 取何值时，分式的值为0？ 解：由分子x2－1＝0，得x＝1或x＝－1， 当x＝1时，分母x－1＝1－1＝0； 当x＝－1时，分母x－1＝－1－1＝－2； 故当x＝－1时，原分式的值为0． 例3：（1）当 x 取何值时，分式的值为正？ （2）当 b 取何值时，分式的值为负？ 解：（1）当分子 x＞0，分母 x－1＞0，即x＞1时，的值为正； 当分子x＜0，分母x－1＜0，即x＜0时，的值为正． （2）当分子b＞0，分母5－3b＜0，即b＞ 时，的值为负； 当分子b＜0时，分母5－3b＞0 ，即b＜0时，的值为负. 归纳：分式取特殊值的条件 分式的值为 0：分子为0，且分母不为0； 分式的值为正：分子、分母符号相同； 分式的值为负：分子、分母符号不同． 注意：必须在分式有意义的前提下才能讨论分式的值等于或者不等于0的条件．学生活动3： 学生认真听老师的讲解，并按要求独立思考、小组合作探究，然后班内汇报交流，最后认真听老师的讲解与点评活动意图说明： 通过具体的实际问题列出式子，形成对比，自然过渡到分式的探索和分式学习的必要性，让学生进一步经历探索实际问题中的数量关系的过程．通过例1，培养学生解决问题的能力，掌握分式有意义的条件．通过例2和例3，在分式有意义的基础上，归纳出分式值为0、为正、为负等特殊情况的条件，培养学生解决问题的能力．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：18.1.1从分数到分式一、分式的概念 二、分式有意义的条件 三、分式取特殊值的条件教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．在式子，，，，，中，分式的个数是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 答案：B 2．若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 答案： 解：∵分式的值为正数，且分子， ∴分母， 解得， 又∵分母，即，而已满足此条件， 故答案为：． 3．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ ，，，，， 解：由题意得，整式有，； 分式有，，，． 选做题： 4．关于和的值如下表： ．．．012．．．．．．0※※无意义※．．．
则代表的分式是（ ） A． B． C． D． 答案：C 【综合拓展类练习】 5．若分式的值为零，则x的值为 ． 答案：2 解：∵分式的值为零， ∴分子，得，解得或， ∵当时，分母，分式无意义， ∴当时，分母 ，满足条件， 故答案为：2．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在分式中，的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．走一段10千米的路，步行小时，骑自行车所用的时间比步行所用时间少t小时，则骑自行车的平均速度为 千米/时． 答案： 3．下列分式中的字母x满足什么条件时分式有意义？ (1)；(2)；(3)；(4)． 解：（1）由分式的分母不为零可得； （2）由得； （3）由得； （4）因为对任意实数，都有， 所以， 故恒成立， 所以的取值为全体实数． 选做题： 4．已知分式满足表格中的信息，其中，，均为常数． 的取值分数的值无意义
(1)原分式中的值是　　　； (2)求出，的值． 解：（1）∵时分式无意义，即， ∴， 故答案为：1． （2）当时，分式的值为0， ， 解得， ∴原分式为 ， 当分式的值为3时，即， 解得, 经检验，是该分式方程的解， ∴． 【综合拓展类作业】 5．取何值时，下列分式的值是零？ (1)；(2)． 解：（1）的值是零， ，， ，，， ； （2）的值是零， ，， ，，， ．
教学反思 本节课围绕“从分数到分式”展开，通过轮船航行、长方形面积等情境引入分式，借助类比分数的方式帮助学生理解概念，整体符合学生认知规律．多数学生能准确判断分式、掌握分式有意义的条件，但仍有部分学生对“分母含字母”的本质特征理解不深，区分整式与分式时易混淆；在确定复杂分母（如多项式分母）的字母取值时，步骤不够规范．后续需增加对比练习，强化分母不为0的严谨性，同时设计更多生活情境题，让学生进一步体会分式的实际意义，提升知识应用能力．
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