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《3.3幂函数》
一、教学内容及解析
本课内容是人教A版高中数学教科书必修一第三章第三节的内容，是在学生学习了函数的一般概念和性质之后，在高中阶段研究的第一类具体函数。幂函数是一类重要的基本初等函数，很多函数都是由幂函数及其他基本的初等函数经过运算、复合得到的。
在学习幂函数之前，学生在初中已经学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数四种初等函数，现在要从具体的实例中，结合这三个学生熟悉的函数，对五个具体幂函数（）的共性进行归纳，得出幂函数的概念，通过这五个幂函数的图象归纳出它们的一些性质。
通过学习幂函数，学生要能够明确研究一类具体函数的基本思路：实际背景→数学问题→基本概念→函数图象→基本性质，并且能体会到如何在一般概念及性质的指导下对一类函数展开深入研究。这不仅仅是对前面所学函数知识的巩固与延伸，也是为后续学习指数函数、对数函数等基本初等函数打下基础。
二、学情分析
在学习本课内容之前，学生已掌握函数的基本概念（定义域、值域、解析式），理解函数的单调性、奇偶性等性质，并能结合图象分析简单函数的性质。熟悉一次函数（）、二次函数（）的图象与性质，对“函数解析式与图象的对应关系”有初步认知。经过前两节“函数性质”的学习，学生已初步形成“研究函数从图象入手，结合性质分析” 的思维习惯，具备自主探究的基础。
学生在用描点法画图象时，学生完全不了解这两个函数的特征，画图会遇到困难；不同取值的对应幂函数的图象差异较大，学生难以从分散的图象中提炼出“过定点、象限分布、单调性”等的共性规律。
三、教学目标与素养分析
1. 通过对具体实例的分析，能够从自变量、函数值及函数解析式的结构等多个角度，归纳总结出共性特征，抽象提炼出幂函数的一般形式，进而掌握幂函数的概念，有效提升数学抽象思维能力。
2. 能够准确绘制五个常见幂函数的图像，并借助图象分析其性质，体会研究一类函数的基本路径和方法，进一步增强直观想象和逻辑推理能力。
3. 能够运用幂函数的性质解决一些简单问题，例如比较幂值的大小，从而提高数学运算能力。
四、教学重点与难点
1. 教学重点：幂函数的概念，五个幂函数的图象与性质。
2. 教学难点：画和的图象，通过五个函数的图象归纳幂函数的性质，理解幂指数变化对函数图象的影响。
五、教学策略
采用问题驱动与探究式教学相结合的方法，引导学生从已知函数入手，通过小组合作绘制图象、观察特征、归纳性质。借助GGB动态演示幂指数连续变化时图象的演变过程，增强直观感知。
六、教学过程
（一）创设情境，提出问题
问题1 根据下列情境，写出对应关系式.
如果张红以1元 /kg 的价格购买了某种蔬菜 kg，那么她需要支付的金额 元；
如果正方形的边长为，那么正方形的面积 ；
如果立方体的棱长为，那么立方体的体积 ；
如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形的边长 ；
如果某人内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度 km/s.
追问1 若将这五个函数的自变量用表示，函数值用表示则它们的函数关系式分别是什么
追问2：观察这五个函数，从自变量、函数值和解析式的结构特征看，它们有什么共性？
师生活动：学生思考回答，教师点评并归纳总结得到如下结论：
它们分别是这五个函数，这些函数的解析式都具有如下特征：
（1）的系数为；
（2）的底数是自变量；
（3）的指数为常数，分别是；
它们都是形如的函数．
教师给出定义并进行板书：
定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数．
【设计意图】通过生活中熟悉的几何和物理情境，让学生自然生成函数关系式，感受幂函数的实际背景，为抽象概念奠定基础；通过观察共性特征，培养学生的归纳能力。
【例1(导练P80)】判断下列哪些函数是幂函数
① ② ③ ④ ⑤
【设计意图】通过概念辨析，强化对幂函数定义的精准理解，加深对幂函数的结构特征的理解。
（二）抽象概念，深化探究
问题2 对于幂函数，我们只研究的图象与性质，结合初中学习一次函数、二次函数、及反比例函数的经验及前面学习的函数知识，你认为接下来应该按照什么样的步骤和方法研究这些函数？
师生活动：学生思考回答，教师进行适当的补充，根据以往的经验，我们是根据函数的解析式求出定义域，画出图象。画图可以借助描点法，同时可以借助函数性质来简化作图过程，然后利用图象与解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等其他性质。教师展示流程图：
【设计意图】引导学生根据已有的经验，明确一类函数的研究内容与一般路径，形成系统化的学习方法，明确研究幂函数的一般思路，为接下来研究五类幂函数的图象与性质做铺垫。
问题3：关于这五个函数，是我们熟悉的，请在同一直角坐标系中画出它们的图象，并分析它们的共性。
师生活动：教师运用GGB动态演示函数的画图过程（列表→描点→连线），在同一直角坐标系中依次画出这三个函数图象。学生观察归纳，教师补充得到它们的共性。教师投影以下表格。
解析式 y=x y=x2 y=x-1
图象
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 增函数 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递减， 在上单调递减
【设计意图】从特殊到一般研究幂函数，从学生熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数入手，引导学生观察函数图象的绘图流程，师生共同从定义域、值域、单调性和奇偶性的角度借助函数图象归纳性质，为后续画函数的图象和性质归纳做铺垫。
问题4：函数对于我们来说是陌生的，如何画出函数的图象？
师生活动：学生思考后回答，继续用描点法作图.
追问1：观察函数，它们的定义域是什么？
追问2：分析函数的解析式的结构特征，你能说一说它们具有怎样的奇偶性吗？
追问3：请你在同一直角坐标系中，画出函数的图象。
师生活动：学生思考交流，明确函数的定义域为R，函数的定义域为，且函数为奇函数，图象关于原点对称，函数为非奇非偶函数。学生尝试自主作图，教师巡堂指导，投影展示学生的作图并点评。教师最后使用GGB动态展示函数的作图过程及五个幂函数的图象。
【设计意图】通过问题4和追问，使学生能更加合理地取点画图，在学生得到结论之后，在PPT上展示利用GGB画出的图象，有助于学生对图象高低有更直观准确的理解底数与函数图象变化趋势的联系。引导学生体会研究一类函数的方法，让学生亲身参与图象绘制过程，加深对函数图象与定义域、值域关系的理解。
问题5：观察函数的图象结合解析式，填写以下表格。
解析式 y=x y=x2 y=x-1 y=x3 y=
图象
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶
单调性 增函数 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递减，在上单调递减 增函数 在上单调递增
追问：观察同一坐标系下，五个幂函数的图象，你能总结这些幂函数具有哪些共同性质吗？
师生活动：教师提问，学生观察图形作答，教师引导归纳幂函数的共性和分析差异性，可以从图象分布的区域、公共点、对称性、变化趋势等角度思考五个幂函数的性质。
【设计意图】引导学生通过观察函数的图象，归纳共性和分析差异，得出幂函数的基本性质，填写表格将新知识纳入旧知识结构中，使学生更加全面理解幂函数。
问题6：观察幂指数变化时，图象的变化趋势会如何？
追问1：幂函数图象一定过第几象限，不过第几象限？恒过哪些点，不过哪些点？
追问2：变化时幂函数在区间上的单调性如何？
师生活动：教师运用GGB动态演示变化时，幂函数的图象变化情况。学生观察，尝试归纳指数
对函数图象的影响，教师补充完善。
猜想：我们可以根据以上归纳，猜想幂函数的一些性质：
时，过定点，在上单调递增；
时，过定点在上单调递增；
【设计意图】结合GGB动态演示，将抽象的参数变化转化为直观的图象动态；体会由特殊到一般的数学思想，形成对幂函数图象变化规律的系统性认知。
（三）练习巩固 知识应用
【例2（课本P91练习2）】利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
； （2）.
【跟踪训练】（1）； （2）； （3）.
追问：观察例2的解答过程，你能说一说利用幂函数比较大小的方法和一般步骤吗？
方法总结：（1）直接法：当幂指数相同时，直接利用幂函数的单调性来比较;
中间值法：当底数和幂指数都不同时，不能用单调性比较大小，可选适当的中间值0，1等，从而达到比较大小的目的。
师生活动：教师板演例2的解题过程，引导学生进行方法总结；学生展示对应的跟踪训练，教师点评。
【设计意图】通过方法提炼和例题示范，让学生掌握幂值比较的核心思路；即时练习能及时巩固知识，检验学习效果，体会幂函数性质的应用。
（四）归纳小结 形成体系
通过这节课的学习，你能说说我们是怎么研究幂函数的吗？
【设计意图】帮助学生梳理本节课的知识，总结如何学习幂函数的，从特殊入手拓展到一般，形成较完整的幂函数研究的思想和方法，体会研究一类函数的研究路径与方法，为后续学习指数函数和对数函数做铺垫。
七、课后作业
教科书91页练习1，2，3及习题3.3第3题。
【设计意图】巩固本节课所学的知识，教科书91页练习1考查学生对幂函数概念的理解，练习2考查学生对幂函数单调性的应用能力，练习3是对的单调性的证明，将课堂上未进行的逻辑推理补全，要求学生对观察得到的性质进行理性思考，利用代数运算进行严格证明，体现数学的严谨性，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养。习题3.3第3题是要求学生按照一类函数的学习路径，系统研究函数，对本节课的知识与方法进行迁移。
八、板书设计
左边： 右边：
3.3 幂函数 例题展示
一、概念：（为常数）
特征：底数为自变量，指数为常数，幂的系数为1
二、常见幂函数图象与性质（表格）
函数：
维度：定义域、值域、单调性、奇偶性、定点（1,1）
三、幂值比较方法
1. 直接法（同指数，用单调性）
2. 中间值法（不同底不同指数，用0或1过渡）
八、教学反思
本次幂函数教学围绕定义、图象、性质及应用展开，旨在帮助学生建立幂函数的知识框架并提升数学思维，注重概念生成的逻辑性，从学生熟悉的正比例函数、反比例函数入手，通过实例归纳幂函数的定义，降低抽象概念的理解难度。
强化图象探究的自主性，让学生动手绘制不同幂指数的幂函数图象，通过观察、对比总结图象特征，培养了学生的动手操作和合作探究能力。借助GGB动态演示幂指数变化对函数图象的影响，结合代数推理分析图象特征与幂指数的关系，帮助学生建立 “数形结合” 的思维模式。
对学生认知差异关注不足，部分基础薄弱学生在理解幂指数对函数定义域、奇偶性的影响时存在困难，课堂上未能及时给予针对性指导。

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