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用光的全反射原理解“胡不归”模型问题
一、折射定律和光线的“时间最短原则”几何证明
物理课程中对光的反射定律和折射定律是这样描述的：光从一种介质（例如空气）射向第二种介质（例如水）平滑界面时，一部分光被界面反射，另一部分光透过界面在另一种介质中折射.反射光线服从反射定律，而折光服从折射定律：折射光线与入射光线、法线处在同一平面内，折射光线与入射光线分别位于法线的两侧；入射角的正弦与折射角的正弦比是一个常量，即.例如空气中的速度和在水中的速度的比是，测出的结果是.光的折射现象是由于光在不同介质中的速度不同造成的.
光的折射定律是荷兰物理学家斯涅尔发现的，随后法国数学家费尔马指出：如果光线改走线段，反而比走弯路要费更多时间.不仅如此，无论改走哪一条路，所花费时间都比走要多这就是说，光有一种本领——它总是用最短的时间走完它要走完它要走的路.下面我们来证明光线的“时间最短原则”.
设和分别是介质和内的两点，光线有达.设光在介质和中的速度分别为，，并设.光线走完这条路所需的时间为.在直线上任取一点，走完所需时间为.下面来证明.
如图2，过作，，过作，过作，得，，.
光的折射定律是荷兰物理学家斯涅尔发现的，随后法国数学家费尔马指出：如果光线
由折射定律知，
，
，，
，
，
，
二、光的全反射现象
光的全反射现象作为光的折射定律的特殊情况，满足“时间最短原则”。当光从高折射率介质射向低折射率介质（示意图以从水射向空气为例）时，此时随着入射角的增大，折射角也增大，当增大到某个值（临界角，设为），折射角变为时，就称为光的全反射现象。此时。此时，从高折射率介质点射向点再到界面上（相当于）异于点的点的过程中所用时间也是最短的（图3）。
三、用光的全反射现象公式解决“”型的最短路问题
如图4，为直线上一定点，为直线外一点，为直线上的一个动点，何时最小。
数学上常规的解法是：当时，以为顶点在外作，满足，这样，转化为，由“垂线段最短”可求出当，，共线时，最小。最小值为垂线段的长（图5）。
下面我们换个角度看，如图6，过作直线，垂足为，根据三角形内角和定理，因而我们可以看作光线从点入射到界面上点，再沿折射的全反射情景。先作高，作满足，再过点作直线，垂足为，从而满足。隐去过的法线就得到图5。在实际应用中，往往只要求出点的位置，不需要求最小值，因而只需作出，使即可。
四、用光的全反射公式来解“胡不归”问题
“胡不归”讲述是这样一个故事：如图7，小伙从点出发，是目的地，直线是一条驿道，驿道靠目的地一侧是砂石地（图中已知信息是小伙在驿道行走速度，在砂石路行走速度为，满足；点到驿道的距离也是已知的）。小伙可选择路线，也可以先走一段驿道，再折向，走路线。小伙选择走路线，结果没能见父亲最后一面。这个问题引起了人们的思索，小伙若走路线，小伙子要提前到家是否有可能呢？
“胡不归”问题实质是当等于多少时，的值最小。把变形。其中。胡不归问题可以转化为“”型来
解决.
这个问题由很多种解法，但用光线的全反射公式来解决问题十分简单. 驿道AD与砂石路DB的速度之比，可看成光线在两种不同介质中的速度之比，即折射率之比. 这样原问题可转化为光从光疏介质到光密介质的折射问题，进而转化为光从光密介质到光疏介质的全反射问题，其中.
具体的过程是：如图8，过B作高线BE（图中已知长度的线段有BE，AE），作，，计算出，再由得到AD的值即可.
例1如图9，由A地运货到B地，先走一段水路AD，再走公路DB，已知每吨货物每千米水路运费与公路的运费之比为，且B地与水路垂直距离，水路长，问转运码头D建在何处才能使运费最低？
解答过程：把公路BD与水路上的每吨货物每千米运费之比，看成光线在两种不同介质中的速度之比即折射率. 本题就逆向转化为光从光密介质到光疏介质的全反射问题.
根据光学原理遵循折射定律的光的路程最短，由光的全反射现象公式得（为入射角，），利用三角函数定义，求出在中，，所以转运码头D应建立在离C地15千米的地方可以使运费最省.
例2如图10(1)，在直角坐标系中，，，，D为射线AO上的一点，一个动点P从点P出发，运动路径为，点P在AD上的运动速度是在CD上的速度的3倍，求P运动时间最少时点D的坐标.
如图10（2），以C为顶点，CO为边作，交OA于D满足，可求，，.
“胡不归”模型类的问题在全国各地考题中屡见不鲜，这里就不再举例. 利用光的折射定律来解决“胡不归”模型类的问题，给我们解题提供了一种思路.

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