资源简介

三角函数模型的简单应用 教学设计
【教学目标】
1.用三角函数模型y＝Asin(ωx＋φ)＋B解决一些具有周期变化规律的实际问题．
2.探索将某些实际问题抽象为三角函数模型．
3.通过对三角函数的应用，发展数学应用意识，能对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和作出判断.
【教学重点】 用三角函数模型y＝Asin(ωx＋φ)＋B解决一些具有周期变化规律的实际问题．
【教学难点】 将某些实际问题抽象为三角函数模型.
【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习．
【教学手段】 计算机、投影仪
【核心素养】 数学抽象、数学建模、数学运算
【教学过程】
一、创设情境，引入课题
我们已经学习了三角形函数的概念、图像与性质，其中周期性是三角函数的一个显著性质。在现实生活中，如果某种现象的变化具有周期性，那么它就可以借助三角函数来描述，并利用三角函数的图像和性质解决相应的实际问题。这节课我们就通过几个例子，来研究用三角函数模型解决实际问题。
二、归纳探索，形成概念
引导学生复习前面课所学的基础知识：
同学们通过前面的学习，对三角函数有了比较全面的认识.我们知道，前面提到的简谐振动的图像就对应着函数，且式子中的参数在物理中有着明确的意义.如A叫振幅，表示这个振动物体偏离平衡位置的最大距离.如表示时间，表示周期，它的倒数表示单位时间内往复振动的次数，称为频率. 称为相位，称为初相.
例1、图5.5-1为小球再做单摆运动时，离开平衡位置时的位移y(cm)随时间t(s)变化所满足的函数图像，已知该图像满足y=Asin(ωx+ )() , ω>0,0< <)的形式. 试根据函数图象求出这个单摆运动的函数解析式。
引导学生识图，捕捉信息，获取数据，启发学生思考：
图中是小球在做单摆运动时，离开平衡位置时的位移y随时间t变化所满足的函数图象.已知该图象满足的形式，你能从图中获取哪些信息，你能求出这个单摆运动的函数解析式吗？
这里的关键是要确定.
由图上可以得到振幅A=2，半周期
可以得到
且当时，，
即 ，
所以 ，
又 因为，
所以 ，因为正弦值为0，所有，可得
这样的话，将求出来的字母的取值带回表达式，得到
你还有别的方法吗？——可用待定系数法
由于 在图像上，由“五点法”可知：
解得：
从图像中寻找关键点挖掘条件往往一下子就能确定振幅A和周期T，然后通过周期与的关系求出，在利用特殊点来确定，这种方法可以解决一类由实际问题的相应函数图像求解析式的问题.
〖设计意图〗：通过对例1的研究，对利用三角函数解决实际问题的建模过程有初步了解。
三、掌握证法，适当延展
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，除了能解决物理中与简谐振动相关的问题，还可以帮我们研究很多生活中的问题.
大家坐过摩天轮吗？每一个乘坐的人都在随摩天轮做匀速圆周转动，现在我们借助三角函数研究一个摩天轮问题。
例2：已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速运动，没30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处.
试确定在时刻t(min)时，点P离地面的高度h;
(2)在摩天轮转动的一圈内，点P距离地面超过100m的时间有多长？
引导学生合理进行数学建模：
如何建模？可以建立恰当的坐标系，求出点P离地面高度随时间变化的函数关系式.
如何建系？以摩天轮所在面为坐标平面，以摩天轮的中心为原点O，x轴y轴分别平行和垂直于地面，建立直角坐标系.
如有其它方案，可适当实施、比较、形成策略。
引导学生识图，捕捉信息，获取数据：
第一问：点P的初始位置为最低点，不妨设点P从最低点沿逆时针方向匀速转动，由于每30分钟转一圈，所以每分钟转动的角度为，所以OP在时间t内所转过的角度为，因此OP与Ox的夹角为，于是，点P的纵坐标y可以表示为，再根据诱导公式可化为，再加上摩天轮中心距地面的高度，我们就可以得到点P距地面的高度.
第二问：可利用第一问的结果，建立不等关系.
摩天轮转动的一圈内，点P距地面超过100米的时间，我们令化简得 由于是一圈内，所以 所以只能在0到的范围内来取，因此，这样解不等式得到.
所以在摩天轮转动的一圈内，点P距离地面超过100米的时间有10分钟.
〖设计意图〗巩固利用三角函数建模解决实际问题的方法，形成解题策略，提高熟练度。
四、归纳小结，提高认识
学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
研究三角函数的实际意义：三角函数是描述现实世界中周期现象的重要数学模型。
数学建模基本步骤是什么：建立一个函数模型、搜集数据、求出待定系数、解决实际问题。
五、课后作业
教材第196页：练习1、2.
第4页 共4页

展开更多......

收起↑