资源简介

《2.4.1 圆的标准方程》教学设计
一、设计思路
1.指导思想
以新课标为导向，贯彻以学生为中心的教学理念，通过问题驱动、探究体验和信息技术融合，帮助学生理解圆的标准方程的生成逻辑，通过“画圆—说圆—辨圆—求圆”的深度学习理念，从定性到定量使几何问题代数化，培养数学抽象、逻辑推理等核心素养，体现数学的严谨性与应用价值。
2.教学目标
（1）.根据确定圆的几何要素：圆心和半径，根据两点间的距离公式探索并掌握圆的标准方程。
（2）.掌握圆的标准方程的结构特征，能准确判断点与圆的位置关系，会根据给定条件求圆的标准方程。
（3）.通过本节学习，加深对数形结合思想的理解和坐标法的运用，培养学生直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养。
3.教学内容
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习圆的标准方程。从确定圆的几何要素，将几何要素代数化，建立圆上的点的横纵坐标的关系得到圆的标准方程，用数表示形。 本课时的重、难点为：
教学重点：探索并掌握圆的标准方程及求法。
教学难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程。
教学准备
1.学情分析：
圆的标准方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后,又学习了直线的方程的基础上进行研究的。学生对解析几何有了初步的认识，但学习程度较浅、数形结合的思想还比较薄弱，用代数法解决几何问题还不够熟悉。本节课类比直线方程的建立，在学生的思维发展区以问题驱动，因势利导，在教学过程中要注重培养学生探究问题的能力，合作交流的意识。
2.教学资源：
(1)基础资源:教材与板书：课本（如人教版高中数学必修二）、黑板/白板推导标准方程。
几何工具：圆规、直尺，用于直观演示圆的几何性质。
静态图像：PPT展示圆的标准方程示例图（圆心、半径标注）
(2)动态资源
几何画板（Geogebra）：动态演示圆心位置变化、半径变化对方程的影响。
(3)数字化资源
在线题库：提供分层练习题；
微课：课前预习或课后复习使用（国家中小学智慧教育平台)。
3.教学技术：
(1)多媒体技术:
PPT动画：分步骤展示方程推导过程
多媒体技术PPT动画：分步骤展示方程推导（建系→设点→列式→化简→验证）。
(2)几何画板（Geogebra）：动态演示圆心位置变化、半径变化对方程的影响。
4.教学方法：
问题驱动法（递进式提问链）、探究式学习（小组合作）、数形结合法（双向翻译）
三、教学过程：
（一)、情境引入
观看图片：生活中的圆——摩天轮、井盖、月饼，历史“圆桌会议”展现圆的“平等”之美，月饼展现的是圆的“团圆”之美。直线和圆是生活中常见的图形，毕达哥拉斯学派认为圆是最优美的图形，今天我们就从数学的角度认识圆。在平面直角坐标系中，点用有序数对表示，直线用二元一次方程（A、B不同时为0）表示，那么圆该如何表示呢？
【设计意图】：以生活中的圆引入，体会圆形及其意境之美。学生通过直线方程的学习，已初步感受到解析几何思想的魅力，自然提出问题：在平面直角坐标系中，圆如何表示？从而引导学生用数学的眼光去观察生活。
(二)、新知探究
问题1：我们已学习了直线方程，回忆确定一条直线的几何要素是什么？
学生：回顾所学直线知识，并回答：两个点或者一个点和直线方向（倾斜角）
问题2：如果我们要确定一个圆需要哪些几何要素呢？
《墨子经上》云：“圆，一中同长也。”
回顾圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合．
学生：确定一个圆的几何要素：圆心和半径.其中圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，圆心和半径确定，圆就被唯一确定了。
【设计意图】：类比直线方程的建立，首先考虑的是确定直线的几何要素。在平面直角坐标系中要表示圆，自然先考虑确定圆的几何要素。在学生的最近发展区提出问题，体现学生的主体作用。
由直线几何要素逻辑递推出直线方程，类比直线方程的建立过程，也可以由圆的几何要素逻辑递推出圆的方程。
直线方程的建立：
类比思考圆的方程的建立：
问题3：如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，根据圆的定义，你能写出圆上点的集合P吗？
学生：建系，并尝试写出集合P：
问题4：这是M满足的几何关系，如何将这个几何关系代数化？
学生：根据两点间的距离公式，用一个代数
式表示点M的坐标满足的条件；
学生：写出代数式：根据两点间的距离公式，有，两边平方得到 （1）
问题5：是否在圆上的点都满足这个方程？满足这个方程的坐标的点是否都在圆上？
师生：若点在圆上，则点的坐标就满足方程(1)；反过来，若点的坐标满足方程(1)，就说明点与圆心间的距离为r，点就在圆上．即没有“滥竽充数”的点，也没有“漏网之鱼”的点如此，我们就可以通过方程(1)，在平面直角坐标系中确定一个圆。
师生：几何画板（Geogebra）：动态演示圆心位置变化、半径变化对方程的影响。
【设计意图】：通过建系—设点—列式—化简—检验，帮助学生建立圆的标准方程。让学生感悟运用坐标法研究几何问题的方法。
新知1：以点C(a,b)为圆心，以r为半径的圆的标准方程为：
方程的结构特征：(1)二元二次方程，的系数均为1；
(2)三个独立参数：a,b,r，
(3)标准的理解：直接体现的圆的几何要素：圆心和半径
特殊的圆：圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程：；圆心在坐标原点，半径为1的圆的标准方程：（单位圆）
试一试 1.根据圆的标准方程，求出圆心和半径.
(1)圆 的圆心是______，半径是___.
(2)圆 的圆心是______，半径是___.
【设计意图】：对比直线的方程形式，得到圆的标准方程的结构特征，进一步体会解析几何基本思想：用代数方法研究几何问题。其本质：把形转化为数，用数表示形，用数研究形，数形结合。
(三）、新知应用
例1 求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上．
分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上．
解：圆心为，半径为5的圆的标准方程是，把点的坐标代入方程的左边，得，左右两边相等，点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上。把点的坐标代入方程的左边，得，左右两边不相等，点的坐标不满足圆的方程，所以点不在这个圆上（如图)．
【设计意图】：例1的设计，一是加深学生对圆的标准方程结构特点的认识，二是已知圆的标准方程能获取圆心坐标和半径大小；让学生学会判断点与圆的位置关系．这里有两种方法可以使用：一是根据点的坐标与圆的方程的关系判断（代数法）．最后引导学生发现几何法与代数法的内在联系，渗透数形结合思想．
思考：如何判断点是否在圆上？将点的坐标代入圆的标准方程，满足方程则在圆上，反之，不在圆上；
探究：点在圆内的条件是什么？在圆外的条件又是什么？
推广：点，圆，点在圆内、在圆外、在圆上的条件分别是什么？
学生：类比以上探究的结果，得出结论：
新知2：点与圆的位置关系的判断方法：
位置关系 几何直观 代数表示
点在圆上
点在圆内
点在圆外
【设计意图】：通过点与圆的位置关系，体会用代数法和几何法解决问题的特点，发展学生数学运算，数学抽象的核心素养。
例2 的三个顶点分别是，求的外接圆的标准方程．
分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．显然巳知的三个点不在同一条直线上．只要确定了，，，圆的标准方程就确定了．
解法1：代数角度：设所求圆的方程是①
因为三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①．因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上
所求圆的方程为.
师生：归纳总结待定系数法求圆的标准方程的步骤：
①设：设所求圆的标准方程为
②列：由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;
③解：解方程组,求出a,b,r;
④代：将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.
几何角度：三角形外接圆的圆心就是三边垂直平分线的交点，因此我们可以求出AC和BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，圆心到任意一个顶点的距离即为半径，从而得到圆的标准方程。
解法2：A、C两点的中点坐标为，，线段AC的垂直平分线方程为，即 ①同理线段BC的垂直平分线方程为②联立方程①②，可得圆心坐标为，，所以，的外接圆的标准方程是．
师生总结：几何法求圆的标准方程的步骤：
①用圆心在圆上任意两点的中垂线上、圆心在已知直线上、圆心到圆上两点的距离相等列式求圆心；
②由圆心和圆上一点的距离求半径；
③写出标准方程.
【设计意图】：本例本质上是不共线的三点唯一确定一个圆，明确确定圆的标准方程，实际上就是确定圆的圆心和半径，体会运用待定系数法和几何法求圆的标准方程的步骤。同时引导学生注意解决平面解析几何问题的过程中，代数方法具有程序化的特点，比较容易想到，但有时运算会比较复杂；如果灵活运用平面几何知识，往往能够减少运算量，使问题的解法显得简洁。
（四）、课堂练习
1．写出下列圆的标准方程：
（1）圆心为，半径是；
（2）圆心为，且经过点．
2．已知，两点，求以线段为直径的圆的标准方程，并判断点，在圆上、圆内，还是在圆外．
【设计意图】：通过当堂检测加深对圆的标准方程的认识，会判断点与圆的位置关系，会求圆的标准方程。
（五）、小结
1.知识：圆的标准方程；点与圆的位置关系；求圆的标准方程
2.能力：坐标化思想，数形结合思想
3.人生哲理：生活并不能像圆那样完美，我们仍然要有追求理想、追求完美的勇气和信心！
（六）、作业布置
1.基础作业：习题2.4 第1、2题
2.提升作业：习题2.4 第3题
【设计意图】：通过基础与提升作业，使不同层次的学生都能加深对圆的标准方程的认识，会根据条件是适当选择求圆的标准方程。
板书设计
2.4.1圆的标准方程引入 3、圆的标准方程 三、新知应用 例2 例1新知 圆的定义： 几何要素：
四、教学反思
本节课继续用代数的方法研究几何问题，类比直线方程的建立过程，通过根据圆的几何要素，引入新知——合作交流、探究新知——自主练习、应用新知——归纳小结、巩固提高等环节，引导学生逐步建立圆的方程。以"解析几何是沟通代数与几何的通道﹣-﹣圆是点的集合﹣﹣坐标法是解析几何的基本内涵和研究方法﹣﹣标准方程是判断代数方程所对应图形的重要依据﹣代数法和几何法是解决解析几何问题的重要方法"为大概念内容主线，从"如何画圆，如何说圆，如何辨圆，到如何求圆"为内容副线，充分理解圆的几何与代数特征。
（一）、教学成效
1.教学目标达成情况
从课堂反馈来看，90%以上的学生能正确写出给定圆心和半径的圆的标准方程，并能运用代数法判断点与圆的位置关系。在例2（三角形外接圆问题）中，约70%的学生能独立运用待定系数法求解，部分学生能结合几何法（垂直平分线）优化计算过程，体现了不同层次学生的思维发展。
2.教学方法与技术的有效运用
问题驱动教学：通过递进式问题链（如“如何用代数表示圆？”“点是否在圆上如何判断？”），引导学生自主探究，符合建构主义学习理论。
动态几何软件（Geogebra）：在推导圆的标准方程时，动态演示圆心移动和半径变化对方程的影响，帮助学生直观理解参数a,b,r 的几何意义。
对比分析法：在例2中，对比代数法（待定系数法）和几何法（垂直平分线求圆心）的优劣，让学生体会解析几何中“数形结合”的灵活性。
3. 学生参与度与课堂氛围
小组讨论环节（如探究点与圆的位置关系）学生积极性较高，能结合距离公式和不等式进行推理。课堂练习反馈显示，大部分学生能顺利完成基础题（直接写方程），部分学生在综合题上存在计算错误，但通过同伴互助得以纠正。
文化元素的融入（如《墨子》定义、圆桌会议）增强了数学的人文性，部分学生课后反馈“原来数学方程也可以这么美”。
（二）、不足之处
尽管本节课整体效果较好，但仍存在以下问题：
1. 部分学生的代数运算能力较弱
在例2（待定系数法求外接圆方程）中，部分学生在解三元方程组时出现计算错误，导致方程求解失败。课堂练习第2题（判断点与圆的位置关系）中，个别学生因符号错误。部分学生对方程的代数变形（如平方展开、移项）不够熟练，课堂时间有限，未能针对计算薄弱的学生进行充分训练。
2. 信息技术使用可进一步优化
Geogebra的动态演示虽直观，但仅由教师操作，学生未亲自体验交互过程。
3. 分层教学有待加强
课堂练习以基础题为主，未充分满足学优生的拓展需求。个别学困生在“点与圆的位置关系”判断上仍依赖几何画图，未能完全掌握代数法。
（三）、改进措施
1. 强化数学运算训练
课前预习：增设1-2道二元一次方程组复习题，为本节课的待定系数法铺垫。
课中纠错：针对常见计算错误（如平方展开漏项），设计“错题诊断”环节，让学生自主发现并修正。
课后巩固：布置分层作业，基础题侧重方程计算，提升题增加含参数的圆的方程问题。
2. 深化信息技术与学生的互动
学生自主操作：在机房或平板课堂中，让学生用Geogebra拖动圆心/半径，观察方程变化，并记录规律。
3. 优化分层教学设计
基础组：完成标准方程的直接应用（如已知圆心和半径写方程）。学困生：提供几何画图辅助工具，逐步过渡到代数法。
（四）、总结
本节课通过“问题链引导—动态演示—对比分析—分层练习”的教学策略，感悟从特殊到一般的认识事物方式，感受圆的几何之美：定点定距称标准，遵守规则方圆满，较好地实现了知识目标与素养目标的统一。在以后的教学将更注重：计算精准性：通过针对性训练减少代数错误。技术深度融合：让学生从“观看演示”转向“动手探究”。个性化学习：设计弹性任务，满足不同学生的发展需求。最终目标：让数学课堂既严谨又生动，使学生在“数”与“形”的转化中真正感受解析几何的魅力。
直线方程

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