资源简介

24.2 圆的基本性质
1.使学生理解理圆、弦、弧、弓形、等圆、等弧等概念.
2.了解平面内点与圆的位置关系.
3.理解圆的轴对称性及垂径定理的证明过程；能初步应用垂径定理及其推论进行计算和证明.
4.了解圆的旋转不变性.
5.掌握弧、弦、圆心角、弦心距之间的关系，并能利用圆心角定理进行有关的计算与证明.
6.了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.
7.初步掌握反证法的概念，了解反证法证明问题的方法与步骤.
【教学重点】
1.圆的有关概念以及点与圆的位置关系.
2.垂径定理及推论；弧、弦、圆心角之间的关系.
3.不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用三角形的外接圆与外心.
【教学难点】
1.点与圆的三种位置关系的确定与判定.
2.垂径定理及其推论的应用.
3.用反证法证题的基本思路.
【教学方法】
1.演示法.
2.讲授法.
【课时安排】
四个课时
1.半径的定义：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径.
2.直径的定义：通过圆心并且两端点都在圆上的线段叫做直径.
3.圆是轴对称图形，经过圆心的任何一条直线都是它的对称轴.
4.旋转的性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后的图形全等.
知识点一 圆及其相关概念
1.圆的定义
（1）在一个平面内，线段 绕它固定的一个端点 旋转一周，另一个端点 所形成的封闭曲线叫做圆，记作‘’ ”，读作“圆 ”，其固定的端点 叫做圆心，线段 叫做半径.
（2）圆是到一个定点(圆心)的距离等于定长(半径)的点组成的图形.
2.圆的有关概念
弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦，记作“弦 ”“弦 ”等
直径 经过圆心的弦叫做直径，记作“直径 ”“直径 ”等
弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示
半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆
优弧 大于半圆的弧叫做优弧，一般用三个字母表示
劣弧 小于半圆的弧叫做劣弧，一般用两个字母表示
弓形 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形
同心圆 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆
等圆 能够重合的两个圆叫做等圆
等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧
特别提示：（1）确定圆的两个条件是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径的长度确定圆的大小.
（2）要注意圆是指“圆周”，而非“圆面”.
【例1】有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆.其中错误的说法个数是 ( )
A. B. C. D.
【解析】根据圆、直径、弦、弧等概念来判断.半径确定了，只能说明圆的大小确定了，但是位置没有确定；直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆. ①③的说法是错误的.
【答案】B
【迷津指点】（1）要注意直径与弦的关系：直径是弦，但弦不一定是直径.（2）半圆与弦的关系：半圆是弧，但弧不一定是半圆.
知识点二 点和圆的位置关系
点和圆的位置关系：点在圆内、圆上、圆外三种.设 的半径为 ，点 和圆心 的距离为 ，则
点 在圆内；
点 在圆上；
点 在圆外.
【例2】若的半径为5，圆心的坐标是，点的坐标是，则点的位置（ ）
A. 不能确定 B. 在上
C. 在外 D. 在 内
【解析】在平面直角坐标系中标出点 及点，再根据勾股定理，得.， 点在内.
【答案】D
知识点三 垂径定理及推论
1.圆的对称性
圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，圆心是它的对称中心，任意一条过圆心的直线都是它的对称轴.因此，圆有无数条对称轴.
2.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
特别提示：（1）垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时为圆中的有关计算提供了方法.使用时必须具备的两个条件：一是直径，二是垂直.二者缺一不可，结论可以是一个，也可以是多个，其题设和结论用符号语言表达为（如图所示）：
（2）这里的垂径定理可以是垂直于弦的直径、半径，也可以是过圆心且垂直于弦的直线或线段，其核心特征是经过圆心，垂直于弦.
【例3】如图所示， 是的弦， 于点M.若，，则 的半径长为 .
【解析】要求半径长，根据勾股定理可知，只需确定的长即可，而 过圆心，且垂直于弦，故可通过垂径定理求的长，则可求出的长.
， .又， ，的半径长为 .
【解】
知识点四 弦、弧、圆心角、弦心距间的关系
定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它所对应的其余各组量都分别相等.
简记为在同圆或等圆中，圆心角相等 弧相等 弦相等 弦心距相等.
如图,，是的两条弦， , .
（1）若，则，
（2）若，则
（3）若 ，则 ，，；
（4）若，则，， .
这几个性质的特点是相等对相等，我们不妨将其称为“等对等”关系.
【例4】 如图所示， 是 的直径， ， ，则 的度数是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】 ， ， ， .
【答案】C
【迷津指点】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系定理，注意数形结合思想的应用.
知识点五 确定圆的条件及三角形的外接圆
1.只有当圆心和半径确定后，一个圆才能够确定下来.除了明确告诉圆心和半径外，下列条件也可以确定圆心和半径：
（1）经过不在同一直线上的三点的圆；
（2）已知圆心和圆上的一个点；
（3）以已知线段为直径的圆.
定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.
特别要注意，过任意三点不一定能作圆.若三点在同一直线上，则不能作圆.
2.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心.这个三角形叫做圆的内接三角形.也就是说，三角形的三个顶点在外接圆上，外心是各边垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等.
（1）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.锐角三角形的外心在三角形内部，如图①所示；直角三角形的外心是斜边的中点，如图②所示；钝角三角形的外心在三角形外部，如图③所示.
（2）直角三角形的外接圆的直径是这个直角三角形的斜边.
（3）三角形与外接圆的关系：任意一个三角形只有唯一一个外接圆；任意一个圆有无数个内接三角形.
【例5】 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是 ( )
A. 第①块 B. 第②块
C. 第③块 D. 第④块
【解析】第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，进而可得到半径的长.
【答案】B
知识点六 反证法
反证法与我们以前学过的证明方法不同，它不是直接从题设推出结论，而是先假设命题的结论不成立，然后经过推理，最后得出矛盾的结果，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.反证法是一种间接证明命题成立的方法.
用反证法证明命题一般有下面三个步骤：
反设：假设命题的结论不成立；
推理：从这个假设出发，经过推理论证，得出与已知条件、定义、基本事实、定理等其中任意一个相矛盾的结果；
结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.
特别提示：当某些命题不能或不方便直接证明时，通常采用反证法.
【例6】 如图所示，已知 ， 是 内非直径的两条弦，求证 与 不能互相平分.
【解析】利用反证法进行证明.先假设 与 能互相平分，结合垂径定理的推论进行推理，得到矛盾的结果，从而肯定命题的结论正确.
【解】如图，设， 交于点，连接 .
假设 与 能互相平分，则， .
， 是 内非直径的两弦，
， .
这与“平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，故假设不成立.
与 不能互相平分.
【迷津指点】本题主要运用的知识点：平分弦（弦非直径）的直径垂直于弦；平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.解答本题要熟悉反证法的步骤.
【例1】如图所示，是的直径，且，点， 在上，，，是线段 的中点，则等于 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 ，，，.
， 为 的中点， ， .在 中，， ,
【答案】B
【迷津指点】本题考查了圆心角、弧之间的关系，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，关键是求出 长和 的度数.
【例2】 已知 的直径 ， 是的弦， ,且 ，垂足为点，则 的长为 ( )
A.
B.
C. 或
D. 或
【解析】如图，连接， .的直径，，，， .当点 的位置如图①所示时，，，，，，.
当点的位置如图②所示时，同理可得 .， .在 中， .
【答案】C
【迷津指点】先根据题意画出图形，由于点 的位置不能确定，故应分为两种情况进行讨论.根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.
见课本课后练习中相应章节的练习部分.
通过作图，在平面内，把一条线段绕着固定一点旋转一周，引入圆及圆中基本元素的概念；利用点到圆心的距离与半径之间的数量关系，分析点与圆的三种位置关系；通过探究证明垂径定理及其逆定理，提高学生的推理证明能力；运用多种方法（折叠、轴对称、旋转、推理证明等）探索、归纳、总结出在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间相等关系的定理；类比作直线的方法，引导学生根据要求画圆，并归纳、总结出不在同一直线上的三点确定一个圆.
少数学生对垂径定理不理解，导致应用垂径定理解题时出现错误，有些学生对反证法没有掌握.

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