资源简介

24.4 直线与圆的位置关系
1.了解直线和圆的位置关系及有关概念.
2.掌握用圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系判定直线与圆的位置关系，并能利用它们解决问题.
3.会过圆上一点画圆的切线，理解切线的判定定理，并能运用其解决有关问题.
4.会用尺规过圆外一点作圆的切线，理解切线长的概念，探索并掌握切线长定理.
【教学重点】
切线的性质与判定及切线长定理.
【教学难点】
切线的性质与判定的应用.
【教学方法】
1.讨论法.
2.讲授法.
【课时安排】
三个课时
1.点到直线的距离的定义：由点向直线作垂线，垂线段的长度叫做点到直线的距离.
2.平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线和已知的直线平行.
3.垂线的性质：过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直.
4.点与圆的三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内.
知识点一 直线和圆的位置关系
1.直线和圆的位置关系的概念
相离：直线和圆没有公共点，则这条直线和圆相离.
相切：直线和圆只有一个公共点，则这条直线和圆相切.这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.
相交：直线和圆有两个公共点，则这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线.
2.直线和圆的位置关系
设圆的半径为 ，圆心到直线的距离为 .
（1）直线和圆相离；
（2）直线和圆相切；
（3）直线和圆相交 .
特别提示：圆心到直线的距离 和半径 的数量关系与直线和圆的位置关系可以互相转化，体现了数形结合的思想.
【例1】已知 的面积为 ，若点 到直线 的距离为，则直线 与 的位置关系是 ( )
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 无法确定
【解析】， .又点 到直线 的距离为，， 直线 与 相离.
【答案】C
知识点二 切线的性质与判定
1.切线的判定定理
定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.切线的性质定理
定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
特别提示：（1）切线的判定定理中的两个条件“经过半径的外端点”和“垂直于这条半径”缺一不可.
（2）圆的切线垂直于过切点的半径，而不是垂直于圆的任意一条半径.
【例2】如图所示，点 是线段上的一点，，过点作 的切线交 的延长线于点 ，则等于 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】如图，连接.由 为圆的切线，根据切线的性质得到 垂直于 ，即 为直角三角形.再根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由圆周角 的度数，求出圆心角 的度数，即 .在 中，利用直角三角形的两锐角互余，即可求出 的度数，即 .
【答案】A
【迷津指点】此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及直角三角形的性质，遇到直线与圆相切，连接圆心与切点，利用切线的性质得到垂直，再根据直角三角形的性质来解决问题.
知识点三 切线长定理
1.切线长定义
切线长：经过圆外一点可以作圆的两条切线，这一点和切点之间的线段长，叫做这一点到圆的切线长.
2.切线长定理
定理：从圆外一点可以引出圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
【例3】如图所示，， 分别是 的切线，， 为切点， 是 的直径，已知 ，则 的度数为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】由切线的性质定理，得.，.由切线长定理，得 ，， .
【答案】D
【例1】如图所示， 与 相切于点， , 的半径为6， .求 的长.
【解析】如图，连接，可得 ，从而在 中可求得 的长.
【解】如图所示，连接 .
与 相切于点， .
， ，
.
， .
【迷津指点】在和圆以及圆的切线有关的问题中，一般要连接圆心和切点，从而得到直角.
【例2】如图所示， 是的直径， 是弦，，垂足为点E.连接，，延长交过点 的直线于点，且 .
求证： 是 的切线；
（2） 若 ， ，求 的长.
【解析】（1）要证切线，连接半径 ，根据垂径定理，得 ，再根据圆周角定理，得 ，而，则，由于，，于是可根据切线的判定定理得到 是 的切线；（2）由，根据垂径定理得到，在 中，利用勾股定理计算出 .设 的半径为， 在 中，，，利用勾股定理得到，求出 的值，再计算出， 的长，然后证明，再利用相似比即可计算出 的长.
【解】（1）证明：如图所示，连接 .
， 是 的直径，
, ，
，，
又，
又，，
，，
.又 为 的半径，
是 的切线.
（2）， .
在 中， ，，
.
设 的半径为，在 中，， .
，，
解得 ，， .
， ，
，即 ， .
见课本课后练习中相应章节的练习部分.
通过日常生活中的景象（观看日出）反映直线与圆的位置关系，作图观察圆与直线有几个公共点，引导学生归纳出直线与圆的三种位置关系，让学生进一步体会数形结合的思想；通过作图探究得到圆的切线的性质及判定方法，引导学生利用切线的性质及证明三角形全等，推导出切线长定理.
少数学生对利用圆心到直线的距离 和半径 的数量关系判断直线与圆的位置关系梳理不清；对切线和切线长混淆不清；尺规作图不熟练.

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