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24.5 三角形的内切圆
1.使学生理解并掌握三角形的内切圆、圆外切三角形、三角形的内心的概念.
2.掌握三角形内切圆的作法，理解三角形内心的性质.
【教学重点】
三角形内切圆的作法，三角形的内心及其性质.
【教学难点】
三角形与圆的位置关系中的内与外、接与切概念的理解和运用.
【教学方法】
1.讲授法.
2.多媒体辅助.
【课时安排】
一个课时
1.角平分线的性质定理及其逆定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
2.三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.
3.三角形的外心：外接圆的圆心叫做三角形的外心.
4.三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.
5.三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部.
知识点一 三角形的内切圆
1.三角形的内切圆
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形.
2.三角形的内心
三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形的三条角平分线的交点.
特别提示：（1）在讨论多边形与圆的位置关系时，三角形或多边形各顶点都在圆上叫做“接”，三角形或多边形各边都与圆相切叫做“切”.
（2）任意一个圆都有无数个内接三角形和无数个外切三角形；任意一个三角形都有且只有一个内切圆和一个外接圆.
【例1】 给出下列命题：①任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形.其中正确的命题有 ( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【解析】三角形的外接圆是三条边垂直平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，故①正确；圆的内接三角形可以有无数多个，故②错误；三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，有且只有一个交点， 任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆，故③正确；圆的外切三角形可以有无数多个，故④错误.正确的命题有2个.
【答案】B
【迷津指点】解题的关键是明确三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点.
知识点二 三角形的内心的性质
1.三角形的内心的性质
（1）三角形的内心到三角形的三边距离相等.
（2）三角形的内心与三角形角的顶点的连线平分对应的角.
如图，若 的内切圆 与，， 分别相切于点，，，则① ，② ， ， .
2.三角形的内心、外心的关系
名称 实质 图形 主要性质 位置 注意
三角形的内心 三角形三条角平分线的交点 （1）三角形的内心到三边的距离相等；（2）（拓展） 三角形的内心在三角形内部 等边三角形的内心、外心重合
三角形的外心 三角形三条边的垂直平分线的交点 （1）三角形的外心到三个顶点的距离相等； （2）（拓 展） 或 锐角三角形的外心在三角形内部
直角三角形的外心是斜边的中点
钝角三角形的外心在三角形外部
【例2】 如图所示，点 是 的内心.若 ，则 等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 点 是 的内心，， .， ， .
【答案】C
【例】如图所示，已知点 是 的内心， 的延长线交 于点，且与 的外接圆相交于点 .
求证： ；
（2） 若 , .求 的长.
【解析】（1）由点 是 的内心，同弧所对的圆周角相等，易证得；（2）由 ，，易知 ,由 ，得 ，可以通过证明 求出 的长.
【解】（1）证明： 点 是 的内心，
， .
，，， .
（2） ， ， .
， ，
.
， ，
，
，
.
，
， .
【迷津指点】本题考查了三角形的外接圆与内心，同时考查了相似三角形的性质和判定，注意性质的正确运用.
见课本课后练习中相应章节的练习部分.
引导学生找出三角形的内切圆的圆心，理解三角形的内心的概念，并利用尺规作图的方法，画出三角形的内切圆.
少数学生易混淆三角形的内心与外心的性质以及它们与三角形的位置关系.

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