资源简介

24.6 正多边形与圆
1.正多边形的相关概念及计算.
2.正多边形与圆的作图及相关证明.
【教学重点】
正多边形的相关概念及计算.
【教学难点】
对正多边形与圆的关系的探索.
【教学方法】
1.演示法.
2.实验法.
3.练习法.
【课时安排】
两个课时
1. 边形的内角和为，外角和为 .
2.在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等.
3.三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，内切圆的圆心是三条内角平分线的交点.
4.各边相等、各角也相等的多边形叫正多边形.
知识点一 正多边形的定义
正多边形的定义：各边都相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
【例1】各边都相等的多边形一定是正多边形吗 各角都相等的多边形一定是正多边形吗 举例说明.
【解析】正多边形必须满足两点：各边相等，各角相等，缺一不可.
【解】各边都相等的多边形不一定是正多边形，如菱形；各角都相等的多边形也不一定是正多边形，如矩形.
【迷津指点】判断一个多边形是否是正多边形，关键是看它是否满足各边相等，各角相等这两个条件.
知识点二 正多边形的画法
正多边形与圆有着非常密切的关系.把一个圆分成 条相等的弧，就可以作出这个圆的内接或外切正 边形.
（1）用量角器等分圆.
在一个圆中，先用量角器作一个等于 的圆心角，这个角所对的弧就是圆的 ，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的 等分点，从而作出正 边形.
（2）用尺规等分圆.
①正四边形的作法：
用直尺和圆规作圆的两条互相垂直的直径，就可以把圆分成4等份，从而作出正四边形.再逐次平分各边所对的弧，就可以得到正八边形、正十六边形等.
②正六边形的作法：
在圆上任取一点，以该点为圆心、以圆的半径为半径画弧，在圆上依次截取就可以得到圆的6等分点，从而作出正六边形.再逐次平分各边所对的弧，就可以作出正十二边形、正二十四边形等.在6等分点中，连接相间的两个点，就可以作出正三角形.
特别提示：尺规作图法是一种比较准确的等分圆的方法，但有较大的局限性，它不能将圆任意等分；用量角器等分圆，由于受测量的精确度所限，作图时会有误差.
【例2】 如图所示，画出你喜欢的三个不同的圆内接正多边形.
【解析】按正多边形的画法步骤完成即可.
【解】如图所示.
知识点三 正多边形的性质
1.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
（1）一个正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多边形的中心.
（2）外接圆的半径叫做正多边形的半径.
（3）内切圆的半径叫做正多边形的边心距.
（4）正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角.
2.正多边形都是轴对称图形，一个正 边形共有 条对称轴；如果一个正多边形的边数为偶数，那么它还是中心对称图形.
3.正多边形和其他多边形一样，内角和等于 (其中 是边数)，外角和为 .
4.正 边形的对角线的条数等于 .
特别提示：（1）结合图形认识相关概念，增强直观性，有利于理解和记忆.
（2）正多边形都是轴对称图形，一个正 边形一共有 条对称轴，每一条对称轴都通过正多边形的中心.如果一个正多边形有偶数条边，那么它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
【例3】如图，边长为a的正六边形的内切圆的半径为 ( )
A. B. C. D.
【解析】正多边形的边数为6， 中心角为.又半径相等， 边长为 的正六边形是由6个边长为 的等边三角形组成的，内切圆的半径是等边三角形的高，根据勾股定理可求得.如图所示，过中心作 于点，连接，，则 是直角三角形.，外接圆的半.在 中，内切圆的半径 .
【答案】C
【迷津指点】解答本题的关键在于过圆心作边的垂线，一边的边心距、半径与边长的一半构成直角三角形，利用解直角三角形的知识进行求解.
知识点四 有关正多边形的计算公式
1.正边形的内角;
2.正边形的中心角为 ;
3.正边形的外角为 ;
4.设正边形的边长为 ,边心距为，半径为,则;
5.正边形的周长;
6.正边形的面积 .
【例4】如图所示，已知正六边形 内接于，图中阴影部分的面积为，则 的半径为 .
【解析】连接，，作，垂足为点，，设.，，，.在 中，， ， .由勾股定理，得，，.又由已知得，，，的半径为4.
【解】4
【迷津指点】有关正多边形的计算，关键是要由正多边形的半径、边心距与边长的一半构造出直角三角形.
【例1】 如图所示，过正五边形 的顶点 作直线 ，则 的度数为 （ ）
A. B. C. D.
【解析】 是正五边形，,.,.
【答案】B
【例2】如图所示，点， 分别是正八边形相邻的边， 上的点，且，点 是正八边形的中心，则 °.
【解析】如图所示，分别连接，，则.正八边形是旋转对称图形，，，，.
【解】45
【迷津指点】解决本题的关键是根据旋转对称图形的性质得出全等三角形，从而得到角相等.再根据正多边形的中心角公式求出中心角.
见课本课后练习中相应章节的练习部分.
以正五边形为例，探究正多边形与圆的关系、正多边形的性质及有关计算等，由特殊到一般，提升学生逻辑推理的核心素养.
大多数学生都能正确理解圆内接或外切正多边形的概念及正多边形与圆的关系，但少数学生对正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念不太了解，导致应用不熟练.

展开更多......

收起↑