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24.7 弧长与扇形面积
1.会计算扇形的弧长及面积，理解公式的推导过程.
2.掌握圆锥侧面积和全面积的求法.
3.能利用图形变换求不规则图形的面积.
【教学重点】
弧长和扇形面积的应用，圆锥的侧面积和全面积的计算.
【教学难点】
求不规则几何图形的面积，圆锥的侧面展开图.
【教学方法】
1.讲授法.
2.讨论法.
3.演示法.
【课时安排】
两个课时
1.圆的周长公式： ；面积公式： .
2.圆柱的侧面展开图为矩形，其面积为 ; 全面积为 （其中为底面圆的半径，为圆柱的高）.
知识点一 弧长公式
1.推导过程
的圆心角所对的弧长就是圆周长，据此可得的圆心角所对的弧长是；的圆心角所对的弧长是 ；……；的圆心角所对的弧长为，即 .
2.计算公式
在半径为 的圆中， 的圆心角所对的弧长的计算公式是 .
特别提示：（1）在弧长公式中， 表示 圆心角的倍数， 和180都不带单位“度.例如，圆的半径，计算 的圆心角所对的弧长时，不要错写成 .
（2）弧长公式中，利用方程思想，已知，， 中的任意两个量，都可以求出第三个量.
（3）要正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧，度数不一定相等.注意：只有在同圆或等圆中，才存在等弧，才有三者的统一.
【例1】在半径为2的圆中，弦 的长为2，则 的长等于 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】由弦长及半径求出弧所对的圆心角的度数为，再代入弧长公式 求解. 弦长和半径都为2， 弦 所对圆心角为， .
【答案】C
【迷津指点】本题考查了弧长的计算，解题的关键是求出弧所对圆心角的度数.在弧长公式 中，当已知圆心角、半径 和弧长 的其中两个时，可求得第三个.
知识点二 扇形面积
1.扇形：两条半径与所夹的弧围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式的推导：在半径为 的圆中， 圆心角为 的扇形的面积就是圆的面积， 圆心角是 的扇形面积等于圆面积的 ，即 ，由此可得圆心角为的扇形面积为，其中 是 的圆心角所对的弧长.
3.扇形的面积公式： .
【例2】在圆心角为 的扇形 中，半径，则扇形 的面积是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】扇形的面积公式有两个： 清楚地反映了变量，， 三者之间的关系，据此可解决相关的“知二求一”问题.而 反映的则是变量 , , 三者之间的关系，据此同样可解决相关的“知二求一”问题.
【答案】C
知识点三 圆锥的侧面积、全面积
在如图①所示的圆锥中，圆锥的底面圆上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，连接顶点与底面圆的圆心的线段叫做圆锥的高.
（1）圆锥的母线 、底面半径 、高 之间满足 .
（2）设圆锥的侧面展开图(即扇形)的圆心角为，母线长为，底面周长为，则三者之间满足 .
把圆锥沿它的任意一条母线剪开，将其侧面展开可以得到一个扇形(如图②所示).可以看出，圆锥侧面展开图中扇形的半径为圆锥的母线长，扇形弧长为圆锥底面圆的周长，因此圆锥的侧面积，圆锥的全面积 .
【例3】如图所示，圆锥的母线长为2，底面圆的周长为3，则该圆锥的侧面积为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】本题考查了圆锥侧面积的计算，解题的关键是掌握圆锥侧面积的计算方法.根据圆锥的侧面展开图是扇形，而圆锥底面周长就是扇形的弧长.圆锥的侧面积=扇形的面积 .
【答案】B
【迷津指点】在选择题中对于圆锥的有关计算的考查主要有下列形式：（1）圆锥的半径、高、母线长中，已知两个求圆锥的侧面积或全面积；（2）知道圆锥的侧面积和底面半径，求母线长或高或圆锥侧面展开图的圆心角；（3）已知圆锥侧面展开图的弧长及圆心角度数，求圆锥的底面半径和高.解此类题的方法就是利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长及勾股定理仔细计算即可.
【例1】如图所示，在 的方格中，每个小正方形的边长为1.若将绕点顺时针旋转 得到，则 的长为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】本题考查了旋转的性质和弧长公式，解题的关键是应用弧长公式.在方格中求出扇形的半径和圆心角，利用弧长公式求出弧长.如图所示，，， .
【答案】D
【例2】如图所示，圆锥的侧面积为，底面半径为3，则该圆锥的高为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】圆锥的侧面展开图是扇形， 可根据圆锥的侧面积求出 的长，再在中，根据勾股定理可求得的长.，，解得 .在 中， .
【答案】B
【迷津指点】圆锥的侧面展开图是扇形，在与圆锥的高有关的计算中，往往要运用直角三角形的勾股定理，这个直角三角形的两直角边分别是圆锥的高和圆锥底面圆的半径，斜边是圆锥的母线.
见课本课后练习中相应章节的练习部分.
利用小学学过的圆的周长与面积的计算公式，直接探究得出弧长及扇形的面积的计算公式，并应用公式解决问题.
极少数学生应用弧长及扇形面积的计算公式解决问题时，感觉很困难，错误较多.

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