资源简介

24.8 综合与实践 进球线路与最佳射门角
了解圆的有关知识在实际生活中的应用.
【教学重点】
经历探索圆的有关知识在实际生活中的应用的过程，树立正确的数学应用意识.
【教学难点】
综合运用所学知识灵活地解决实际问题.
【教学方法】
1.演示法.
2.多媒体辅助.
【课时安排】
一个课时
1.三角形的外角定理
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和.
2.圆周角
（1）圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角.
（2）圆周角定理的推论
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.
（3）直线与圆的三种位置关系：相离、相切、相交.
知识点 圆外角、圆周角和圆内角之间的关系
1.概念
圆外角：顶点在圆外，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆外角，如图①所示， 是圆外角.
圆内角：顶点在圆内，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆内角，如图②所示， 是圆内角.
2.圆外角、圆周角和圆内角的关系
在弦的同侧，同弦所对的圆外角 、圆周角 和圆内角 的大小关系为 .
如图所示，在 中，在弦 的同侧，弦 所对的圆外角、圆周角 和圆内角 的大小关系为 .
【例】在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门 进攻，当甲带球冲到点 处时，乙已跟随冲到点处（如图所示）.此时甲自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好
【解析】在真正的足球比赛中情况会很复杂，这里仅用数学方法从两点（把， 两处看作两点）的静止状态加以考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键是看这两个点分别对球门 的射门角的大小.一般来说，当射门角较小时，则球容易被对方守门员拦截，射门进球的可能性就越小；当射门角较大时，射门进球的可能性就越大.因此只要比较与 的大小即可.
【解】考虑过， 两点以及，中的任一点作圆，这里不妨过，， 三点作圆，点在该圆外，设交圆于点，则，而， .
因此，甲应该将球回传给乙，让乙射门.
【迷津指点】此类问题实质上是比较在同一条弦的同一侧的圆周角与圆外角的大小.本题体现了数学建模的思想：从选择射门位置的实际问题中抽象出比较圆周角与圆外角的大小问题.
【例】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁.如图所示，， 表示灯塔，暗礁分布在经过， 两点的—个圆内， 表示一个危险临界点， 就是“危险角”，当船 与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁.
当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？
当船与两个灯塔的夹角 小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？
【解析】船所处区域有三种情况：①在上；②在内；③在外.分三种情况逐一讨论，便可说明.
【解】（1）当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，船位于暗礁区域内（内）.理由如下：①假设船在上，则，这与 矛盾， 船不可能在上；②假设船在外，如图所示，则，又，即，这与 矛盾， 船不可能在外.综上所述，船只能在内.
（2）当船与两个灯塔的夹角 小于“危险角”时，船位于暗礁区域外.理由如下：①假设船在上，则有，这与 矛盾， 船 不可能在上；②假设船在 内，如图所示，延长交于点，连接，则 .，，这与 矛盾， 船不可能在内.综上所述，船只能在外.
【迷津指点】运用“在同圆中，同弧所对的圆周角相等”是解决此题的关键.另外，在说明两个“为什么”的时候，都使用了反证法.注意：在假设结论不成立后，由于结论反面情况不止一种，务必逐一否定，从而证明结论正确.
见课本课后练习中相应章节的练习部分.
综合有关圆的知识，比较圆外角、圆周角、圆内角之间的大小关系，进行实践活动，灵活地解决实际问题.
一些学生对不同的进球线路，最佳射门角的大小理不清.

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