资源简介

25.1 投影
1.了解平行投影和中心投影的概念.
2.能够判断某种投影现象是平行投影还是中心投影.
3.理解平行投影和中心投影的区别.
4.了解正投影的含义.
5.能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影.
【教学重点】
1.平行投影、中心投影的概念.
2.正投影的概念.
3.根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影.
【教学难点】
1.通过作图确定是平行投影还是中心投影.
2.归纳正投影的性质.
【教学方法】
1.直观教学法.
2.多媒体辅助.
3.演示法.
【课时安排】
两个课时
1.平行线：在同一个平面内，不相交的两条直线叫平行线.
2.相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，对应角相等.
3.相似三角形的判定之一：两角分别相等的两个三角形相似.
知识点一 投影与平行投影
1.物体的投影
一个物体放在阳光下或者灯光前，就会在地面上或者墙面上留下它的影子，这个影子称为物体的投影.投影从某个侧面反映出这个物体的形状.
2.平行投影的定义
由于太阳的光线可看作是平行的，我们称这种由平行的光线所形成的投影为平行投影.
3.平行投影的结论
类型 结论 图示
同一时刻 等高的物体垂直于地面放置时，它们在太阳光下的影子一样长
等长的物体平行于地面放置时，它们在太阳光下的影子一样长，并且都等于物体本身的长度
不等高的物体垂直于地面放置时，它们在太阳光下的影长与物高成正比，即 （其理论依据是相似三角形的对应边成比例）
不同时刻 方向变化 在北半球冬季的一天中，影子方向变化：正西→正北→正东
长度变化 一天中，影子长度变化：长→短→长
应用 （1）根据阳光下物体影子的大小、位置的变化判断不同的时刻； （2）已知一物体及其在阳光下的影子，可作出同一时刻另一物体在阳光下的影子； （3）根据物高与影长的关系求物高或影长
【例1】 某一时刻，身高 的小明在阳光下的影长为，同一时刻、同一地点，测得某旗杆的影长为，则该旗杆的高度是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】如图所示， 为小明的身高， 为小明的影长， 为旗杆的高度， 为旗杆的影长.易证，，即， .
【答案】C
【迷津指点】一般来说，太阳光线可看作是平行光线，在平行投影中，同一时刻下物体的长度与影子成正比，这是解这一类问题的常用方法.
知识点二 中心投影
1.中心投影的定义
由于灯光的光线可看作是从一点发出的，我们称这种由一点（点光源）发出的光线所形成的投影为中心投影.
2.中心投影的结论
结论 图示
在灯光下，等高的物体垂直于地面放置时，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长
等长的物体平行于地面放置时，一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度短
物体上任何一点与其影子上对应点的连线一定经过光源所在的点
【例2】下列不属于中心投影的是 ( )
A. 日晷在灯光下的影子
B. 小明在灯光下的身影
C. 用手在台灯下做出的狼头的影子
D. 月光下深巷里瘦长的人影
【解析】，， 中的光源都是点光源，因此是中心投影，月亮的光线可以看作是平行线，因此是平行投影.
【答案】D
【迷津指点】本题要注意 选项，日晷是一种物体，而 选项中说的是日晷在灯光下的影子，不要误认为是日晷在太阳光下的影子.
知识点三 正投影
1.正投影的定义
在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影称为正投影.
2.线段、平面图形、立体图形的正投影
类别 内容
线段的正投影 （分三种情况） (1)当线段 平行于投影面时，它的正投影是线段，这时；(2)当线段 倾斜于投影面时，它的正投影是线段，这时；(3)当线段 垂直于投影面时，它的正投影是一个点
平面图形的正投影（分三种情况） (1)当平面图形平行于投影面时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；(2)当平面图形倾斜于投影面时，平面图形的正投影的形状、大小发生变化，会缩小，但不一定相似；(3)当平面图形垂直于投影面时，它的正投影是一条线段
几何体的正投影 一般地，一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形.一个几何体在一个平面上的正投影叫做这个几何体的视图
特别提示：由于投射线的方向及投影面的不同，一个几何体的视图一般有多个，这些视图分别从不同的角度反映这个几何体的形状和大小.
【例3】一张正方形的硬纸板在太阳光下的影子不可能是 ( )
A. 正方形
B. 长方形
C. 一条线段
D. 三角形
【解析】正方形硬纸板平行于地面、倾斜于地面、垂直于地面的投影分别为，， .
【答案】D
【例】亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图所示，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部 、颖颖的头顶 及亮亮的眼睛 恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置，，然后测得两人之间的距离，颖颖与楼之间的距离 (，， 在一条直线上)，颖颖的身高，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离 .你能根据以上测量数据帮助他们计算出住宅楼的高度吗
【解析】此题属于实际应用题，解此题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答.此题需要转化为相似三角形的问题，利用相似三角形的判定与性质求解即可.
【解】如图所示，过点作交 于点，交于点 .
由已知可得，，，.
又，
， ，
即，
解得，
.
住宅楼的高度是 .
【迷津指点】本题是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比列出方程，通过解方程求出住宅楼的高度，体现了转化的思想.
见课本课后练习相应章节的练习部分.
利用物体在阳光或灯光照射下在地面或墙面上形成的影子抽象出投影、投射线、投影面等概念；同时结合物理知识（太阳光是平行光、灯光是点光源），了解平行投影和中心投影的区别；再经过操作与观察、演示与想象、直观与推理等过程，讨论、归纳正投影的规律.
少数学生空间观念不强，对正投影的含义没有完全理解，不能正确描述一个物体的投影.

展开更多......

收起↑