资源简介

15.3.1　等腰三角形（第1课时）
1．经历观察、猜想、归纳、论证等研究过程，探究等腰三角形的特殊性质，体会从轴对称等图形变化的视角研究图形，能更好地认识和把握图形的本质，并在此过程中积累数学实践活动的经验．
2．经历应用等腰三角形的性质解决问题的过程，发展空间观念与推理能力．
探索并证明等腰三角形的性质定理．
应用等腰三角形的性质解决问题．
知识回顾
【思考】有些几何图形是轴对称图形，利用它们的轴对称性，可以帮助我们研究图形的性质．我们学习过的几何图形中，有哪些是轴对称图形？
【师生活动】学生指出等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、圆等几何图形都是轴对称图形．
【问题】这节课，我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形，想一想，你对等腰三角形有哪些认识？
【师生活动】学生交流对等腰三角形的已有认识，老师利用课件展示等腰三角形的定义、图形、组成元素（腰、底、顶角、底角），并指出将一般三角形的组成元素“边”特殊化可以得到等腰三角形，从等腰三角形的定义出发，可以说“两条边相等”既是等腰三角形的性质，也可以用它判定一个三角形是不是等腰三角形．
【设计意图】通过回顾等腰三角形的已有知识，帮助学生找准认知起点，并在此基础上深化对定义的理解，为等腰三角形性质的探究作好铺垫．
新知探究
【问题1】如图，在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来．将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开．你能找出其中重合的线段和角吗？
【师生活动】学生动手操作后找出其中重合的线段和角，并记录在学习任务单上．
【答案】重合的线段：AB与AC，BD与CD．
重合的角：∠B与∠C，∠ADB与∠ADC，∠BAD与∠CAD．
【设计意图】让学生通过动手操作（画、剪、对折、展开），充分观察，结合轴对称的知识，找出重合的线段和角，从而发现等腰三角形组成元素之间的关系，体会研究几何图形性质的一般思路与方法．
【问题2】由上述这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想．
【师生活动】学生独立思考后小组交流，得出如下发现：
（1）由∠B与∠C重合，能得到等腰三角形的两个底角相等；
（2）由BD＝CD可知AD为底边上的中线；由∠ADB＝∠ADC＝90°可知AD为底边上的高；由∠BAD＝∠CAD可知AD为顶角平分线，因此等腰三角形的底边上的中线、高及顶角平分线重合．
师生进一步归纳出等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等；
（2）等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合．
【设计意图】通过实践操作、直观观察、归纳与猜想等系列活动，让学生经历探究与发现几何图形性质的过程，积累探究活动经验的同时，帮助学生更好地认识和把握等腰三角形的性质．
【问题3】如何证明等腰三角形的这些性质？你们还记得证明几何命题的一般步骤吗？
【师生活动】学生回顾所学，指出证明几何命题的一般步骤：（1）明确已知和求证；
（2）画出图形，用数学符号表示已知和求证；（3）经过分析，写出证明过程．
学生根据猜想的性质，画出图形，写出已知、求证，并在折纸的启发下获得证明思路，即要证明两个底角相等，只需证明这两个角所在的三角形全等即可，由前面的操作可以得到启发，作出底边上的中线．一名学生板书，其他学生在学习任务单上书写出证明过程，教师进行点评讲解，再次提醒学生“证明三角形全等是证明角相等的常用方法”．
【答案1】已知：在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线．
求证：（1）∠B＝∠C；（2）∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC．
证明：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线．
在△ABD和△ACD中，
∴ △ABD≌△ACD（SSS）．
∴ ∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，∠BDA＝∠CDA＝90°，即AD⊥BC．
【追问】在上面的证明方法中，我们先作出了底边BC上的中线，再证明这条中线也是三角形的角平分线和高．你还能想到其他的证明方法吗？
【师生活动】学生尝试用多种方法证明等腰三角形的性质，如先作出“底边上的高（顶角的平分线）”，再证明这条高（角平分线）也是三角形的中线和角平分线（高），然后全班交流．
【答案2】已知：在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高线．
求证：（1）∠B＝∠C；（2）∠BAD＝∠CAD，BD＝CD．
证明：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高线．
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）．
∴ ∠B＝∠C．
∴ ∠BAD＝∠CAD，BD＝CD．
【答案3】已知：在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线．
求证：（1）∠B＝∠C；（2）BD＝CD，AD⊥BC．
证明：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线．
在△ABD 和△ACD中，
∴ △ABD≌△ACD（SAS）．
∴ ∠B＝∠C，BD＝CD，∠BDA＝∠CDA＝90°，即AD⊥BC．
【新知】等腰三角形的性质：
性质1　等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；
性质2　等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”）．
【设计意图】让学生感受通过观察实验猜想性质后要利用推理证明论证性质，逐步实现由实验几何到论证几何的过渡，同时，引导学生将对折等腰三角形所形成的折痕想象为从不同角度、用不同方法添加的辅助线，在用不同方法证明命题的过程中，培养思维的深刻性与广阔性，进一步发展空间观念与推理能力．
【追问】在等腰三角形性质的探索和证明过程中，“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发现等腰三角形具有什么特征吗？
【师生活动】学生独立思考后进行课堂交流，师生达成共识：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角的平分线、底边上的高）所在直线是它的对称轴．
【设计意图】让学生进一步理解等腰三角形的轴对称性，并体会它在探索和证明等腰三角形性质中的重要作用．
例题精讲
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD．求△ABC各角的度数．
【师生活动】教师引导学生分析条件，明确思路：本题共出现三个等腰三角形（△ABC，△DAB，△BCD），根据等腰三角形的性质，可以得到一系列的角的关系．在这种情况下，我们可以假设某一个角为x，其他的角用x表示出来，想办法找出数量关系，即可求解。
如，设∠A＝x，可以利用等腰三角形的“等边对等角”性质和三角形外角的性质，得到∠BDC＝2x；利用等腰三角形的“等边对等角”性质，可知∠C＝∠BDC＝2x；再利用等腰三角形的“等边对等角”性质，可知∠ABC＝∠C＝2x；由三角形的内角和定理即可列出关系式，求出△ABC各角的度数．学生在学习任务单上完成解题过程，一名学生板书，教师点评讲解．
【答案】解：∵ AB＝AC，BD＝BC＝AD，
∴ ∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD（等边对等角）．
设∠A＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，
从而∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x．
在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°．
∴ 在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°．
【归纳】等腰三角形的性质在解决两个角相等、两条线段相等以及线段垂直关系等问题中有很多应用，在解决问题的过程中，经常会和三角形的内角和定理相配合．
【设计意图】通过逻辑推理和方程思想求出等腰三角形中角的度数，让学生了解到等腰三角形的性质是证明两个角相等、两条线段相等、线段垂直关系的较为常见的途径和方法．
课堂练习
1．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°．求∠B和∠C的度数．
【师生活动】学生完成学习任务单上的练习，全班交流，教师讲评．
【答案】解：在△ABD中，
∵ AB＝AD，∠BAD＝26°，
∴ ∠B＝∠ADB＝×(180°－26°)＝77°．
在 △ADC 中，
∵ AD＝DC，
∴∠C＝∠DAC．
又 ∠ADB ＝∠C＋∠DAC＝2∠C，
∴ ∠C＝∠ADB＝×77°＝38.5°．
2．如图，△ABC是等腰直角三角形（AB＝AC，∠BAC＝90°），AD是底边BC上的高．标出∠B，∠C，∠BAD，∠DAC的度数，并写出图中所有相等的线段．
【师生活动】学生完成学习任务单上的练习，全班交流，教师讲评．
【答案】解：∠B＝∠C＝∠BAD＝∠DAC＝45°．
AB＝AC，BD＝AD＝CD．
3．求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
【师生活动】学生完成学习任务单上的练习，全班交流，教师讲评．
【答案】已知：如图，在△ABC中，AD为BC上的中线，且AD＝BC．
求证：△ABC是直角三角形．
证明：∵ AD为BC上的中线，且AD＝BC，
∴ AD＝BD＝CD．
∴ ∠B＝∠BAD，∠C＝∠DAC．
∴ ∠BAC＋∠B＋∠C
＝∠BAD＋∠DAC＋∠B＋∠C
＝2(∠BAD＋∠DAC )
＝2∠BAC＝180°，
∴ ∠BAC＝90°，
∴ △ABC是直角三角形．
【设计意图】通过练习，帮助学生巩固对等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等相关知识的理解，在解决问题的过程中增强学生对知识的应用能力．
课堂小结
【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并记录在学习任务单上．
1．我们是如何研究等腰三角形的性质的？接下去还将研究等腰三角形的哪些内容？
2．你是如何理解等腰三角形的性质“三线合一”的？请举例说明．
3．本节课你学到了哪些证明线段相等或角相等的方法？
【思维导图参考】
【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯．
课后任务
完成教材第84～86页习题15.3第1、3、4、6、8、14、15题．15.3.1　等腰三角形（第2课时）
1．经历猜想和论证等腰三角形判定方法的探究过程，掌握等腰三角形的判定定理，体会从“概念—性质—判定—应用”的思路展开的研究几何图形的一般思路与方法，发展几何直观与推理能力．
2．经历应用等腰三角形的性质与判定方法解决问题的过程，培养发现与提出问题、分析与解决问题的能力，发展空间观念与推理能力．
等腰三角形的判定方法的探究和应用．
等腰三角形的性质和判定方法的区别与联系．
知识回顾
【问题】通过上节课的学习，你对等腰三角形有了哪些新的认识？请你画出一个等腰三角形，结合图形来说一说．
【师生活动】学生回顾等腰三角形的相关知识：等腰三角形是指有两条边相等的三角形，它是轴对称图形，具有“等边对等角”“三线合一”等性质．
【追问1】我们是如何研究等腰三角形的性质的？
【师生活动】学生回顾研究方法：通过动手操作的方式，从定义出发，探究等腰三角形的元素（边、角）以及 “三线”之间特殊的不变关系，从而发现和论证性质．
【追问2】根据你们对图形的研究经验，了解了等腰三角形的性质之后，接下来，我们还要探索等腰三角形的哪些知识？
【师生活动】学生明确：还需要研究等腰三角形的判定方法．
【设计意图】通过回顾等腰三角形的性质的相关知识及研究方法，找准认知起点，为本节课“等腰三角形的判定”的探究作好铺垫．
新知探究
【思考】怎样判断一个三角形是不是等腰三角形呢？
【师生活动】学生明确：可以根据定义来判断，有两条边相等的三角形是等腰三角形．
【追问1】大家根据定义，从“边”的角度得到了等腰三角形的判定方法．我们知道，边和角都是三角形非常重要的元素，那么，是否可以从“角”的角度进行判定呢？
【师生活动】学生进行交流讨论，结合前面学过的一些性质和判定方法，从性质与判定方法的互逆关系中猜想得出等腰三角形的判定方法：如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形．
【追问2】你能试着证明一下吗？
【师生活动】学生根据问题，写出已知、求证．教师提示可以参照等腰三角形性质的证明方法，通过作角平分线、高、中线等辅助线来证明．学生在教师的提示下，独立思考并尝试在学习任务单上进行证明．教师请学生代表分享做法，并进行点评讲解．
已知：在△ABC中，∠B＝∠C．
求证：AB＝AC．
方法1 证明：如图，作△ABC顶角∠BAC的平分线AD，则∠1＝∠2．
在△ABD和△ACD中，
∴ △ABD≌△ACD（AAS）．
∴ AB＝AC．
方法2 证明：如图，作△ABC底边BC上的高AD．
在△ABD和△ACD中，
∴ △ABD≌△ACD（AAS）．
∴ AB＝AC．
方法3 证明：如图，作△ABC底边BC的中线AD，则BD＝CD．
作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
在△DBE与△DCF中，
∴ △DBE≌△DCF（AAS）．
∴ DE＝DF．
又 DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠1＝∠2．
在△BAD和△CAD中，
∴ △BAD≌△CAD（AAS）．
∴ AB＝AC．
【新知】等腰三角形的判定方法：
有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）．
【设计意图】将文字语言转化为图形语言和符号语言，并进行推理论证，帮助学生进一步规范并熟悉文字叙述形式的证明题的解题步骤．从性质与判定的互逆关系中提出猜想，再推理论证猜想的正确性，引导学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的全过程，体验数学知识的形成过程，提升问题解决的能力．
【问题2】等腰三角形的性质与判定方法有什么区别与联系？
【师生活动】学生思考后小组交流讨论，教师适时点拨，学生完成学习任务单上的相关任务．
联系：等腰三角形的性质与判定方法是互逆命题，它们都揭示了特殊三角形中，组成元素（边、角）之间存在的关系．
区别：等腰三角形的性质是已知三角形是等腰三角形，从“两边相等”出发，推出其他元素（角和“三线”）的特殊性；等腰三角形的判定是从“两角相等”出发，推出两边相等，从而说明这个三角形是等腰三角形．
【提醒】“等角对等边”“等边对等角”都是指同一个三角形中的边角关系．
【追问】你认为等腰三角形的判定方法有什么作用？
【师生活动】学生交流后达成共识：可以用来判断一个三角形满足什么条件时为等腰三角形，由此解决一个三角形中与线段相等有关的问题．
【设计意图】引导学生梳理性质与判定方法之间的联系与区别，从而进一步理解与掌握等腰三角形的判定方法及其意义——它既是全等知识的运用和延续，又为证明两条线段相等提供了更为简捷的途径和方法，启发学生在对比中建立知识之间的联系，学会辩证地看问题．
例题精讲
【例1】求证：如果三角形一个外角的角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
【师生活动】学生根据命题在学习任务单上画出图形，写出已知和求证，教师巡视指导，对写得不对或不好的地方进行纠正．
【答案】已知：如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD∥BC．
求证：AB＝AC．
【师生活动】师生共同分析，达成共识：要证明AB＝AC，可先证明∠B＝∠C．根据已有条件∠1＝∠2，AD∥BC，可设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系，从而完成证明．学生根据证明思路在学习任务单上独立完成推理论证过程，教师进行点评，引导学生说出证明过程中每一步的依据．
【答案】证明：∵ AD∥BC ，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C． 　　
又 AD 平分∠CAE，
∴ ∠1＝∠2．
∴ ∠B＝∠C．
∴ AB＝AC．
【设计意图】在应用平行线的性质和等腰三角形的判定方法解决问题的过程中，发展推理能力．同时，再次经历文字叙述形式的命题证明的全过程，提升把文字语言转化为图形语言、符号语言的能力，强化几何证明过程的规范性．
【例2】尺规作图：已知等腰三角形底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形．
【师生活动】学生自主分析作图思路，探索作图方法，教师组织学生交流，师生共同明确作图思路：根据等腰三角形“三线合一”的性质，当底边确定时，等腰三角形底边所对的顶点在底边的垂直平分线上．由此，作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置，即可作出这个等腰三角形．学生在学习任务单上进行作图，教师规范作法．
【作法】如图．
（1）作线段AB＝a；
（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；
（3）在MN上取一点C，使DC＝h；
（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．
【设计意图】让学生经历“图形构思—形成策略—设计流程—实施作图”的过程，积累尺规作图的活动经验，理解尺规作图的原理与方法，增强动手能力，发展几何直观与空间观念，充分发挥尺规作图的育人价值．
课堂练习
1．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°．分别计算∠1，∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形．
【师生活动】学生完成学习任务单上的练习，全班交流，教师点评．
【答案】解：∵ ∠DBC＝36°，∠C＝72°，
∴ ∠1＝180°－∠DBC－∠C＝180°－36°－72°＝72°．
∴ BC＝BD，即△BDC为等腰三角形．
又 ∠1是△ABD的一个外角，
∴ ∠1＝∠A＋∠2．
∴ ∠2＝∠1－∠A＝72°－36°＝36°．
∴ ∠2＝∠A．
∴ DA＝DB，即△ABD为等腰三角形．
∴ ∠ABC＝∠DBC＋∠2＝72°．
∴ ∠ABC＝∠C＝72°．
∴ AB＝AC，即△ABC为等腰三角形．
∴ 图中共有三个等腰三角形，即△ABD，△BDC，△ABC．
2．如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
【师生活动】学生完成学习任务单上的练习，全班交流，教师点评．
【答案】解：是等腰三角形．
如图，∵ 长方形 ABCD 沿对角线折叠，
∴ △BCD≌△BFD．
∴ ∠1＝∠2．
又 四边形 ABCD 是长方形，
∴ AD // BC．
∴ ∠3＝∠2．
∴ ∠1＝∠3．
∴ BE＝DE．
即重合部分△BDE 是一个等腰三角形．
3．如图，AC和BD相交于点O，且AB // CD，OA＝OB．求证OC＝OD．
【师生活动】学生完成学习任务单上的练习，全班交流，教师点评．
【答案】证明：∵ AB // CD，
∴ ∠B＝∠D，∠A＝∠C．
又 OA＝OB，
∴ ∠A＝∠B（等边对等角）．
∴ ∠C＝∠D．
∴ OC＝OD（等角对等边）．
【设计意图】通过练习，巩固学生对等腰三角形判定方法的理解和应用．
课堂小结
【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并记录在学习任务单上．
1．我们是如何研究等腰三角形的判定方法的？
2．比较等腰三角形的性质和判定方法，它们的区别与联系分别是什么？
3．利用等腰三角形的判定方法，能解决哪些类型的问题？
【思维导图参考】
【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯．
课后任务
完成教材第84～86页习题15.3第2、9题．

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