资源简介

16.3.1　平方差公式
1．经历公式引入、特征概括、公式推导等步骤，在探究平方差公式的过程中，理解其结构特征和几何背景，进一步发展代数推理能力与几何直观．
2．能理解平方差公式中字母的广泛含义，准确运用公式进行简单的整式乘法运算．
平方差公式的探究和运用．
平方差公式的运用．
新课导入
从前有一个狡猾的地主，他把一块边长x米的正方形土地租给老张种植．有一天，他对老张说：“我把这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”你认为老张吃亏了吗？
【师生活动】教师组织学生交流讨论，得出共识：老张是否吃亏，取决于土地的面积是否有变化．原来土地的面积是x2，现在土地的面积是(x＋5)(x－5)，需要计算(x＋5)(x－5)．
【设计意图】以生活中的趣味数学问题引入, 激发学生的好奇心和求知欲．
新知探究
【问题1】计算下列多项式的积．
（1）(x＋5)(x－5)＝_____；
（2）(m＋2)(m－2)＝______；
（3）(2x＋1)(2x－1)＝______．
【师生活动】学生在学习任务单上作答，教师给出正确答案．
【答案】（1）x2－25；（2）m2－4；（3）4x2－1．
【师生活动】教师回应新课导入环节提出的问题，通过计算得出土地的面积是（x2－25）平方米，在原来的基础上减少了25平方米，老张吃亏了．
【追问1】观察上述算式，你能发现什么规律？相乘的两个多项式有什么共同特点？
【师生活动】学生通过观察，发现：
（1）左边相乘的两个多项式，都是两个数的和与两个数的差的形式，即a＋b与a－b；
右边的计算结果是两个数的平方的差，即a2－b2；
也就是说，这几个算式都可以写成(a＋b)(a－b)＝a2－b2的形式．
【追问2】你能对发现的规律进行推导，得出(a＋b)(a－b)＝a2－b2吗？
【师生活动】学生利用“整式的乘法”相关知识进行推导，教师给出正确答案．
【答案】(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2．
【新知】对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果，即
(a＋b)(a－b)＝a2－b2．
也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
这个公式叫作（乘法的）平方差公式．
【提醒】平方差公式是多项式乘法(a＋b)(p＋q)中p＝a，q＝－b的特殊情形．
【设计意图】通过让学生自主计算、观察、归纳、推导得出平方差公式，培养学生的观察能力和归纳总结能力，让学生在探究的过程中感受数学规律的形成过程，加深对平方差公式的初步认识．
【问题2】你能根据下面图形的面积说明平方差公式吗？
【师生活动】学生独立思考，小组交流，学生代表分享做法，教师点评．若学生感到有困难，教师可以引导学生从以下方面思考．
（1）对于由①、②部分拼成的图形，它的面积可以怎么计算？
方法一：用大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2．
方法二：把不规则图形转化为规则图形，即把②剪下来，旋转后移到③的位置，和①一起，拼成一个长方形，长方形的长是a＋b，宽是a－b，面积为(a＋b)(a－b)．
（2）上述两种方法表示的面积有什么关系？由此能得出什么？
面积相等，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2．
【设计意图】通过几何图形面积的计算，让学生感受到平方差公式直观的几何意义，丰富学生对平方差公式的认识，体会数形结合的数学思想．
例题精讲
【例1】运用平方差公式计算：
（1）(3x＋2)(3x－2)； （2）(－x＋2y)(－x－2y)．
【师生活动】教师先引导学生分析算式的形式是否符合平方差公式的特点，再思考这里的a和b分别是什么．学生在学习任务单上进行解答，学生代表分享做法，教师点评．
【答案】解：（1）(3x＋2)(3x－2)
　　 ＝(3x)2－22
　　 ＝9x2－4；
（2）(－x＋2y)(－x－2y)
　 ＝(－x)2－(2y)2
　 ＝x2－4y2．
【注意】运用(a＋b)(a－b)＝a2－b2这一公式时，要注意公式的结构特征，公式中的字母a和b，可以表示具体的数，也可以表示一个单项式或者一个多项式．
例如，第（1）题中的a表示的是(3x)，b表示的是2；第（2）题中的a表示的是(－x)，b表示的是2y．
【例2】计算：
（1）(x－1)(x＋1)(x2＋1)； （2）(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)；
（3）102×98．
【师生活动】学生在学习任务单上进行解答，教师组织全班交流．
【答案】解：（1）(x－1)(x＋1)(x2＋1)
＝(x2－1)(x2＋1)
＝x4－1；
（2）(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)
＝y2－22－(y2＋4y－5)
＝y2－4－y2－4y＋5
＝－4y＋1；
【注意】教师提醒只有符合平方差公式结构特征的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按整式的乘法法则进行．
（3）102×98
＝(100＋2)(100－2)
＝1002－22
＝10 000－4
＝9 996．
【归纳】教师强调通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算．
【设计意图】通过例题讲解，让学生初步理解运用平方差公式简化运算的方法，明确解题关键和注意事项，帮助学生规范解题过程，提升学生的运算能力．
课堂练习
1．下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
（1）(x＋2)(x－2)＝x2－2；
（2）(－a－2)(a－2)＝a2－4；
（3）(x＋2y)(－x－2y)＝x2－4y2；
（4）(3a＋4b)(3a－4b)＝9a2－4b2．
【师生活动】学生独立思考后，教师请学生回答，并相互补充．
【答案】解：（1）×；原式＝x2－22＝x2－4；
（2）×；原式＝(－2)2－a2＝4－a2；
【注意】教师提醒学生，结合平方差公式的结构特征，这个算式可以改成写（－2＋a）（－2－a）的形式．
（3）×；
原式＝x·(－x)＋x·(－2y)＋ 2y·(－x)＋2y·(－2y)
＝－x2－2xy－2xy－4y2
＝－x2－4xy－4y2；
（4）×；原式＝(3a)2－(4b)2＝9a2－16b2．
【设计意图】通过判断正误并改正的练习，让学生进一步明确运用平方差公式计算时容易出现的错误，加深对公式的理解和掌握，提高学生运用公式的准确性．
2．计算：
（1）(a＋3b)(a－3b)；
（2）(3＋2a)(－3＋2a)；
（3）(xy＋1)(x2y2＋1)(xy－1)；
（4）(3x＋4)(3x－4)－(2x＋3)(3x－2)．
【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评．
【答案】解：（1）(a＋3b)(a－3b)＝a2－(3b)2＝a2－9b2；
（2）(3＋2a)(－3＋2a)＝(2a＋3)(2a－3)＝(2a)2－32＝4a2－9；
（3）(xy＋1)(x2y2＋1)(xy－1)
＝(xy＋1)(xy－1)(x2y2＋1)
＝[(xy)2－12](x2y2＋1)
＝(x2y2－1)(x2y2＋1)
＝ (x2y2)2 －12
＝x4y4－1；
（4）(3x＋4)(3x－4)－(2x＋3)(3x－2)
＝(3x)2－42－(6x2－4x＋9x－6)
＝9x2－16－6x2－5x＋6
＝3x2－5x－10．
3．运用平方差公式计算：
（1）51×49；
（2）．
【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评．
【答案】解：（1）51×49
＝(50＋1)(50－1)
＝502－12
＝2 500－1
＝2 499；
（2）
．
【设计意图】通过独立计算练习，帮助学生进一步巩固平方差公式的运用方法，提高学生的运算准确性，培养学生灵活运用公式解决问题的能力．
课堂小结
【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录．
1．平方差公式是怎样探究得到的
2．平方差公式的几何意义是什么？
3．使用平方差公式有哪些注意事项？
【思维导图参考】
【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯．
课后任务
完成教材第117页习题16.3第1、5题．

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