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第1讲 幂的乘除
一、核心知识点
1. 同底数幂的定义
概念：形如（是底数，是正整数，且）的式子叫做幂；若两个幂的底数相同（底数可以是数字、字母，也可以是多项式），则这两个幂叫做同底数幂。
示例：
正确：与（底数都是）、与（底数都是）、与（底数都是多项式），均为同底数幂。
错误：与（底数分别是和，不同）、与（底数分别是和，不同），不是同底数幂。
2. 同底数幂的乘法法则
文字表述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
符号表示：对于任意底数（，若，则的正整数次幂为，需注意后续运算），以及正整数、，有：
法则推导（依据乘方的意义）：
以为例，（3个2相乘），（5个2相乘），因此：
，验证法则成立。
3. 法则的延伸与特殊情况
多个同底数幂相乘：法则可推广到3个及以上同底数幂相乘，即（、、均为正整数）。
示例：。
底数为多项式的情况：将多项式看作一个整体（即“整体思想”），仍适用法则。
示例：。
与10的幂结合（联系科学记数法）：若底数为10，相乘后可直接用科学记数法表示结果。
示例：。
二、常见易错知识
1. 底数不同时误用法则
错误表现：看到“幂相乘”就直接加指数，忽略“同底数”前提。
示例：错将计算为（错误，底数2≠3，不能用同底数幂法则）。
正确分析：底数不同的幂相乘，不能直接用“底数不变、指数相加”，需先判断底数是否相同，若不同，需先化简底数（如能化为相同底数则化简，否则直接保留原式或计算具体值）。
正确计算：。
2. 忽略指数为1的情况
错误表现：单独的字母（或数字）的指数是1，而非0，学生易遗漏指数1，导致计算错误。
示例：错将计算为（错误，，指数应为1）。
正确分析：当幂的指数为1时，通常省略不写，但计算时需补全指数1。
正确计算：。
3. 底数含负号时符号判断错误
错误表现：底数为负数时，未先确定底数的符号，直接套用法则，导致结果符号错误。
示例：错将计算为（错误，底数是，而非2）。
正确分析：底数为负数时，先观察底数的符号，再根据“负数的奇次幂为负，偶次幂为正”判断结果符号，同时保持底数不变、指数相加。
正确计算：（指数7是奇数，结果为负）。
4. 法则逆用不熟练
错误表现：只会正向用“”，不会逆用“”解决求值问题。
示例：已知，，求时，无法联想到逆用法则，导致无法求解。
正确分析：同底数幂法则的逆用是高频考点，需明确“指数相加”对应“幂相乘”。
正确计算：。
5. 混合运算中运算顺序错误
错误表现：在“同底数幂乘法+合并同类项”的混合运算中，先算加法，再算乘法，违背“先乘后加”的运算顺序。
示例：错将计算为（错误，运算顺序混乱）。
正确分析：混合运算需遵循“先算同底数幂乘法，再算加减（合并同类项）”的顺序。
正确计算：（先分别算乘法，再合并同类项）。
【知识结合练】
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．据报道，最新的人工智能助手在其发布后的前18天内下载量达到万次数据万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．的相反数是（ ）
A．9 B． C．19 D．
4．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
5．若，，则等于（　　）
A． B． C． D．
6．若，，则等于（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
7．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．已知，则的值为（ ）
A．2 B．或1 C．或1或2 D．或2
二、填空题
9．计算： ．
10．电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，好评如潮，截至2025年4月22日，总票房已超157亿元，再次刷新中国电影票房纪录．将数据157亿用科学记数法表示为
11．齐齐哈尔市龙沙动植物园是东北地区最大的动植物园，国家级旅游景区，占地面积约平方米．将用科学记数法表示为 ．
12．若，则的值为 ．
13．计算：的结果是 ．
14．计算： ．
15．已知，为正整数，则 ．
16．已知，，，试比较a，b，c的大小，用“>”将它们连接起来： ．
三、解答题
17．用科学记数法表示下列各数．
(1)600400；
(2)．
18．计算：
(1)___________；
(2)___________；
(3)___________；
(4)___________．
19．计算下列各题．
(1)；
(2)；
20．计算：
21．计算：．
22．已知，，求
(1)；
(2)．
试卷第4页，共5页
试卷第3页，共5页第1讲 幂的乘除
一、核心知识点
1. 同底数幂的定义
概念：形如（是底数，是正整数，且）的式子叫做幂；若两个幂的底数相同（底数可以是数字、字母，也可以是多项式），则这两个幂叫做同底数幂。
示例：
正确：与（底数都是）、与（底数都是）、与（底数都是多项式），均为同底数幂。
错误：与（底数分别是和，不同）、与（底数分别是和，不同），不是同底数幂。
2. 同底数幂的乘法法则
文字表述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
符号表示：对于任意底数（，若，则的正整数次幂为，需注意后续运算），以及正整数、，有：
法则推导（依据乘方的意义）：
以为例，（3个2相乘），（5个2相乘），因此：
，验证法则成立。
3. 法则的延伸与特殊情况
多个同底数幂相乘：法则可推广到3个及以上同底数幂相乘，即（、、均为正整数）。
示例：。
底数为多项式的情况：将多项式看作一个整体（即“整体思想”），仍适用法则。
示例：。
与10的幂结合（联系科学记数法）：若底数为10，相乘后可直接用科学记数法表示结果。
示例：。
二、常见易错知识
1. 底数不同时误用法则
错误表现：看到“幂相乘”就直接加指数，忽略“同底数”前提。
示例：错将计算为（错误，底数2≠3，不能用同底数幂法则）。
正确分析：底数不同的幂相乘，不能直接用“底数不变、指数相加”，需先判断底数是否相同，若不同，需先化简底数（如能化为相同底数则化简，否则直接保留原式或计算具体值）。
正确计算：。
2. 忽略指数为1的情况
错误表现：单独的字母（或数字）的指数是1，而非0，学生易遗漏指数1，导致计算错误。
示例：错将计算为（错误，，指数应为1）。
正确分析：当幂的指数为1时，通常省略不写，但计算时需补全指数1。
正确计算：。
3. 底数含负号时符号判断错误
错误表现：底数为负数时，未先确定底数的符号，直接套用法则，导致结果符号错误。
示例：错将计算为（错误，底数是，而非2）。
正确分析：底数为负数时，先观察底数的符号，再根据“负数的奇次幂为负，偶次幂为正”判断结果符号，同时保持底数不变、指数相加。
正确计算：（指数7是奇数，结果为负）。
4. 法则逆用不熟练
错误表现：只会正向用“”，不会逆用“”解决求值问题。
示例：已知，，求时，无法联想到逆用法则，导致无法求解。
正确分析：同底数幂法则的逆用是高频考点，需明确“指数相加”对应“幂相乘”。
正确计算：。
5. 混合运算中运算顺序错误
错误表现：在“同底数幂乘法+合并同类项”的混合运算中，先算加法，再算乘法，违背“先乘后加”的运算顺序。
示例：错将计算为（错误，运算顺序混乱）。
正确分析：混合运算需遵循“先算同底数幂乘法，再算加减（合并同类项）”的顺序。
正确计算：（先分别算乘法，再合并同类项）。
【知识结合练】
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了积的乘方运算，利用积的乘方运算法则计算即可，掌握积的乘方运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
2．据报道，最新的人工智能助手在其发布后的前18天内下载量达到万次数据万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可．
【详解】解：万，
用科学记数法表示为．
故选：B．
3．的相反数是（ ）
A．9 B． C．19 D．
【答案】B
【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，相反数的含义，先计算，再求相反数即可.
【详解】解：∵，
∴的相反数是.
故选B
4．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了乘方的运算，积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先利用乘方的定义得出，再利用积的乘方的逆运算法则计算即可．
【详解】解：
,
故选：A．
5．若，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了幂的乘方逆用，同底数幂的乘法逆用，根据幂的乘方逆用，同底数幂的乘法逆用运算法则进行求解即可，掌握幂的乘方和同底数幂的乘法法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
6．若，，则等于（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识．
根据同底数幂的乘法法则的逆运算变形后，把，代入即可求值．
【详解】解：∵，，
∴．
故选B．
7．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂乘除，合并同类项，积的乘方，根据同底数幂乘除，合并同类项，积的乘方运算法则逐一排除即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意；
、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：．
8．已知，则的值为（ ）
A．2 B．或1 C．或1或2 D．或2
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的乘方，零指数幂，熟练掌握以上知识点是解题的关键．分情况讨论，第一种情况为时；第二种情况根据任何不等于0的数的0次幂都等于1可知且，即可得出答案．
【详解】解：
第一种情况：时，
解得，
第二种情况：且时，，
解得，
或时，，
故选：D．
二、填空题
9．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了幂的乘方，掌握是解题关键．根据幂的乘方法则进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
10．电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，好评如潮，截至2025年4月22日，总票房已超157亿元，再次刷新中国电影票房纪录．将数据157亿用科学记数法表示为
【答案】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：157亿，
故答案为：．
11．齐齐哈尔市龙沙动植物园是东北地区最大的动植物园，国家级旅游景区，占地面积约平方米．将用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表现形式是，其中，为整数，用科学记数法表示数需要确定和，确定时要看小数点移动的位数，当原数的绝对值，为正整数；当原数的绝对值，为负整数；熟练掌握科学记数法的表示方法是解决问题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，先求出，再把所求式子变形为，进一步变形为，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
13．计算：的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘：底数不变，指数相加，熟练掌握运算法则是解题关键．
根据同底数幂乘法的运算法则计算即可得．
【详解】解：．
故答案为：．
14．计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：a．
15．已知，为正整数，则 ．
【答案】
【分析】本题考查同底数幂相乘和幂的乘方的逆用．解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则．
先逆向运用同底数幂的乘法法则，再逆用幂的乘方法则解答即可．
【详解】解：，
故答案为：．
16．已知，，，试比较a，b，c的大小，用“>”将它们连接起来： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数比较大小，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则得到，，，据此可得答案．
【详解】解：，，，
∵，
∴，
故答案为：．
三、解答题
17．用科学记数法表示下列各数．
(1)600400；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定n与a的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，它等于原数的整数数位与1的差．
（1）按照科学记数法的要求表示即可；
（2）按照科学记数法的要求表示即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
18．计算：
(1)___________；
(2)___________；
(3)___________；
(4)___________．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)9
【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，熟记是解题的关键；
（1）根据计算即可；
（2）根据计算即可；
（3）根据计算即可；
（4）根据计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
19．计算下列各题．
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）先根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则计算，再合并同类项即可；
（2）先根据同底数幂的除法法则、幂的乘方与积的乘方法则计算，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．计算：
【答案】
【分析】本题主要考查了幂的混合运算，分别计算积的混合运算，幂的混合运算，然后早计算同底数幂的除法，最后再计算合并同类项．
【详解】解：
．
21．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂的乘除运算，掌握相关运算法则是解题关键．
根据同底数幂的乘除运算法则求解即可．
【详解】解：
．
22．已知，，求
(1)；
(2)．
【答案】(1)241
(2)5400
【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）根据幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得；
（2）先根据同底数幂乘法的逆用可得，再根据幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得．
【详解】（1）解：∵，，
∴
．
（2）解：∵，，
∴
．
试卷第2页，共11页
试卷第3页，共11页

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