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第2讲 整式的乘法
一、核心知识点
（一）幂的乘方
1. 定义
概念：一个幂的乘方，即底数是幂的形式（如），再对其进行乘方运算（如），表示“个相乘”。
示例：表示2个相乘，表示5个相乘，表示3个相乘。
2. 运算法则
文字表述：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
符号表示：对于任意底数（，若，需注意的非负整数次幂性质），以及正整数、，有：
法则推导（依据乘方的意义和同底数幂乘法法则）：
以为例，（2个相乘），再根据同底数幂乘法法则“底数不变、指数相加”，得，验证法则成立。
3. 法则延伸
多个幂的乘方叠加：（、、均为正整数）。
示例：。
底数为多项式：将多项式看作一个整体，仍适用法则。
示例：。
（二）积的乘方
1. 定义
概念：两个或多个因式的积的乘方（如、），表示“个积相乘”。
示例：表示2个相乘，表示4个相乘，表示3个相乘。
2. 运算法则
文字表述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
符号表示：对于任意因式、（、），以及正整数，有：
法则推导（依据乘方的意义和乘法交换律、结合律）：
以为例，，验证法则成立。
3. 法则延伸
多个因式的积的乘方：（为正整数）。
示例：。
与科学记数法结合：当因式含10的幂时，可利用积的乘方简化计算。
示例：（结果化为科学记数法）。
4. 法则逆用
逆用公式：（用于简化计算，将两个幂的乘积转化为积的乘方）。
示例：计算时，逆用公式得。
（三）三种幂运算的核心区别（对比同底数幂乘法）
运算类型 法则核心 指数运算方式 示例
同底数幂乘法 底数不变，指数相加 加法
幂的乘方 底数不变，指数相乘 乘法
积的乘方 各因式分别乘方，再相乘 各因式指数乘
二、常见易错知识
1. 幂的乘方与同底数幂乘法法则混淆
错误表现：将幂的乘方的“指数相乘”误记为“指数相加”，或反之。
示例1：错将计算为（错误，应为指数相乘：）；
示例2：错将计算为（错误，应为指数相加：）。
正确分析：关键区分“运算本质”——同底数幂乘法是“多个相同底数的幂相乘”（指数累加），幂的乘方是“一个幂再乘方”（指数叠加），可结合法则推导过程记忆。
正确计算：，。
2. 积的乘方漏乘某个因式的乘方
错误表现：只对部分因式乘方，忽略常数项、单独字母等因式的乘方。
示例1：错将计算为（错误，漏对常数项3乘方，应为）；
示例2：错将计算为（错误，漏对常数项乘方，应为）。
正确分析：积的乘方的核心是“每一个因式都要乘方”，包括常数项、负数、单独字母（指数为1）等，需逐个因式落实乘方运算。
正确计算：，。
3. 底数含负号时符号判断错误
错误表现：积的乘方中，负数因式的符号判断失误，忽略指数的奇偶性。
示例：错将计算为（错误，底数含负号，指数3是奇数，结果应为负）。
正确分析：当因式为负数时，先判断指数的奇偶性——指数为奇数时，结果符号与原负数一致；指数为偶数时，结果符号为正，再对绝对值部分进行乘方。
正确计算：，。
4. 法则逆用不熟练或错误
错误表现：不会逆用幂的乘方或积的乘方法则，或逆用时符号、指数处理错误。
示例1：已知，求时，无法联想到（幂的乘方逆用）；
示例2：错将逆用为（错误，应为积的乘方逆用：）。
正确分析：逆用法则的关键是“对应法则本质”——幂的乘方逆用是“指数拆分相乘”（），积的乘方逆用是“指数相同的幂相乘转化为积的乘方”（）。
正确计算：，。
5. 混合运算中运算顺序或符号错误
错误表现：在“幂的乘方/积的乘方 + 同底数幂乘法 + 合并同类项”的混合运算中，违背运算顺序，或符号处理混乱。
示例：错将计算为（错误，第一步幂的乘方计算错误：，）。
正确分析：混合运算遵循“先算乘方（幂的乘方、积的乘方），再算同底数幂乘法，最后算加减（合并同类项）”，符号处理需分步落实，避免遗漏负号。
正确计算：。
6. 忽略指数为1的隐含条件
错误表现：单独字母的指数为1，乘方时易遗漏指数1，导致结果错误。
示例：错将计算为（错误，，乘方后应为）。
正确分析：当因式的指数为1时，虽然书写时省略，但乘方运算中需明确指数1，再与乘方的指数相乘。
正确计算：，。
【知识点结合练】
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．计算：（ ）
A． B． C． D．
3．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．计算的结果是（ ）
A．4 B． C． D．
5．规定，若，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．下列计算错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．下列各式中，计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．公园里有一个长为，宽为的长方形花坛，现要在花坛四周放置长椅，如图所示，已知长椅的宽度为，则长椅的面积为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．计算： ．
10．已知，则代数式的值为 ．
11．，则 ．
12．若，则的值为 ．
14．对定义一种新运算：．如：．计算： ．
15．若，，则 ．
16．若，则 ．
三、解答题
17．计算：．
18．计算：
19．计算：
(1)
(2)
20．如图是在一片长方形空地上设计一个长方形花圃的设计方案，已知空地的长比宽的2倍少1米，周边的道路是等宽的．
(1)设空地的宽是米，周边道路的宽度是米，请表示出花圃的面积；
(2)在（1）的条件下，若要求花圃的宽是米，请用表示出花圃的面积．
21．阅读：已知，求的值．
分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入．
解：
．
你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！
(1)已知，求的值；
(2)已知，求代数式的值．
22．计算：．
23．计算．
24．阅读并解决问题：分解因式．
解：设，则原式．
这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．请用“换元法”对下列多项式进行因式分解：
(1) ；
(2) ．
试卷第6页，共6页
试卷第5页，共6页第2讲 整式的乘法
一、核心知识点
（一）幂的乘方
1. 定义
概念：一个幂的乘方，即底数是幂的形式（如），再对其进行乘方运算（如），表示“个相乘”。
示例：表示2个相乘，表示5个相乘，表示3个相乘。
2. 运算法则
文字表述：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
符号表示：对于任意底数（，若，需注意的非负整数次幂性质），以及正整数、，有：
法则推导（依据乘方的意义和同底数幂乘法法则）：
以为例，（2个相乘），再根据同底数幂乘法法则“底数不变、指数相加”，得，验证法则成立。
3. 法则延伸
多个幂的乘方叠加：（、、均为正整数）。
示例：。
底数为多项式：将多项式看作一个整体，仍适用法则。
示例：。
（二）积的乘方
1. 定义
概念：两个或多个因式的积的乘方（如、），表示“个积相乘”。
示例：表示2个相乘，表示4个相乘，表示3个相乘。
2. 运算法则
文字表述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
符号表示：对于任意因式、（、），以及正整数，有：
法则推导（依据乘方的意义和乘法交换律、结合律）：
以为例，，验证法则成立。
3. 法则延伸
多个因式的积的乘方：（为正整数）。
示例：。
与科学记数法结合：当因式含10的幂时，可利用积的乘方简化计算。
示例：（结果化为科学记数法）。
4. 法则逆用
逆用公式：（用于简化计算，将两个幂的乘积转化为积的乘方）。
示例：计算时，逆用公式得。
（三）三种幂运算的核心区别（对比同底数幂乘法）
运算类型 法则核心 指数运算方式 示例
同底数幂乘法 底数不变，指数相加 加法
幂的乘方 底数不变，指数相乘 乘法
积的乘方 各因式分别乘方，再相乘 各因式指数乘
二、常见易错知识
1. 幂的乘方与同底数幂乘法法则混淆
错误表现：将幂的乘方的“指数相乘”误记为“指数相加”，或反之。
示例1：错将计算为（错误，应为指数相乘：）；
示例2：错将计算为（错误，应为指数相加：）。
正确分析：关键区分“运算本质”——同底数幂乘法是“多个相同底数的幂相乘”（指数累加），幂的乘方是“一个幂再乘方”（指数叠加），可结合法则推导过程记忆。
正确计算：，。
2. 积的乘方漏乘某个因式的乘方
错误表现：只对部分因式乘方，忽略常数项、单独字母等因式的乘方。
示例1：错将计算为（错误，漏对常数项3乘方，应为）；
示例2：错将计算为（错误，漏对常数项乘方，应为）。
正确分析：积的乘方的核心是“每一个因式都要乘方”，包括常数项、负数、单独字母（指数为1）等，需逐个因式落实乘方运算。
正确计算：，。
3. 底数含负号时符号判断错误
错误表现：积的乘方中，负数因式的符号判断失误，忽略指数的奇偶性。
示例：错将计算为（错误，底数含负号，指数3是奇数，结果应为负）。
正确分析：当因式为负数时，先判断指数的奇偶性——指数为奇数时，结果符号与原负数一致；指数为偶数时，结果符号为正，再对绝对值部分进行乘方。
正确计算：，。
4. 法则逆用不熟练或错误
错误表现：不会逆用幂的乘方或积的乘方法则，或逆用时符号、指数处理错误。
示例1：已知，求时，无法联想到（幂的乘方逆用）；
示例2：错将逆用为（错误，应为积的乘方逆用：）。
正确分析：逆用法则的关键是“对应法则本质”——幂的乘方逆用是“指数拆分相乘”（），积的乘方逆用是“指数相同的幂相乘转化为积的乘方”（）。
正确计算：，。
5. 混合运算中运算顺序或符号错误
错误表现：在“幂的乘方/积的乘方 + 同底数幂乘法 + 合并同类项”的混合运算中，违背运算顺序，或符号处理混乱。
示例：错将计算为（错误，第一步幂的乘方计算错误：，）。
正确分析：混合运算遵循“先算乘方（幂的乘方、积的乘方），再算同底数幂乘法，最后算加减（合并同类项）”，符号处理需分步落实，避免遗漏负号。
正确计算：。
6. 忽略指数为1的隐含条件
错误表现：单独字母的指数为1，乘方时易遗漏指数1，导致结果错误。
示例：错将计算为（错误，，乘方后应为）。
正确分析：当因式的指数为1时，虽然书写时省略，但乘方运算中需明确指数1，再与乘方的指数相乘。
正确计算：，。
【知识点结合练】
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘、积的乘方、单项式的乘法，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据幂的乘方、同底数幂相乘、积的乘方、单项式的乘法的运算法则，逐项分析即可得出答案．
【详解】解：A、，故此选项计算不正确，不符合题意；
B、，故此选项计算正确，符合题意；
C、，故此选项计算不正确，不符合题意；
D、，故此选项计算不正确，不符合题意；
故选：B．
2．计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了单项式乘以单项式，由单项式乘以单项式法则计算即可．
【详解】解：，
故选：B．
3．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了整式的混合运算，原式利用积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘单项式法则计算即可求出值．
【详解】解：，
故选：B．
4．计算的结果是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查整式混合运算，熟练同底数幂乘法和合并同类项法则是解题的关键．先按同底数幂乘法法则计算，再合并同类项即可．
【详解】解：
，
故选：B．
5．规定，若，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查了新定义的整式运算．
根据新定义即可求出的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
故选：B．
6．下列计算错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的运算法则分别计算即可判断求解，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：、，该选项正确，不合题意；
、，该选项错误，符合题意；
、，该选项正确，不合题意；
、，该选项正确，不合题意；
故选：．
7．下列各式中，计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法和单项式乘以单项式，根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意．
故选：C．
8．公园里有一个长为，宽为的长方形花坛，现要在花坛四周放置长椅，如图所示，已知长椅的宽度为，则长椅的面积为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查多项式乘多项式，单项式乘单项式的实际应用，正确记忆相关知识点是解题关键．用增加长椅后的面积减去改变前的面积即可．
【详解】解：长方形花坛放置长椅后的长为，宽为，
花坛放置长椅后的面积为，
而花坛原来的面积为
所以长椅的面积为，
故选：C．
二、填空题
9．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式的法则是解题的关键．根据单项式的乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
10．已知，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】直接去括号、合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查单项式乘多项式，合并同类项，求代数式的值．正确将原式变形是解题关键．
11．，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了单项式乘多项式运算、解一元一次方程等知识点，掌握单项式乘多项式运算法则成为解题的关键．
先根据单项式乘多项式运算法则计算，然后解关于m的方程求解即可．
【详解】解：，
，
，
．
故答案为：．
12．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了求代数式的值、整式的混合运算，由题意可得，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：．
13．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查代数式求值，将原式进行正确地变形是解题的关键．
由题意易得且，然后将原式变形为后两边同乘以即可求得答案．
【详解】解：，
且，，
将两边同乘以得，
故答案为：．
14．对定义一种新运算：．如：．计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，先根据新定义计算出，再根据新定义计算可得，据此计算求解即可．
【详解】解：
，
∴
，
故答案为：．
15．若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查代数式求值，根据可得，将变形为，再将整体代入计算即可．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．若，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可．
【详解】解：，
则，，
解得：，，
那么，
故答案为：2．
三、解答题
17．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
．
18．计算：
【答案】
【分析】本题考查的是多项式乘法，根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可．
【详解】解：
．
19．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，是解题的关键：
（1）根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可；
（2）根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解原式．
20．如图是在一片长方形空地上设计一个长方形花圃的设计方案，已知空地的长比宽的2倍少1米，周边的道路是等宽的．
(1)设空地的宽是米，周边道路的宽度是米，请表示出花圃的面积；
(2)在（1）的条件下，若要求花圃的宽是米，请用表示出花圃的面积．
【答案】(1)平方米
(2)平方米
【分析】本题考查了列代数式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，空地的长比宽的2倍少1米，设空地的宽是米，则分别表示出花圃的宽和长，再根据面积公式列式，即可作答．
（2）由（1）得花圃的面积为平方米，先整理得，然后代入计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，空地的长为米，
∵周边道路的宽度是米，
∴花圃的宽是米，花圃的长是米，
∴花圃的面积为平方米；
（2）解：∵花圃的宽是米，且要求花圃的宽是米，
∴，
则，
∴花圃的面积为平方米．
21．阅读：已知，求的值．
分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入．
解：
．
你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！
(1)已知，求的值；
(2)已知，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)22
【分析】本题考查了单项式乘以多项式运算，积的乘方逆运算，代数式求值．
（1）先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再利用积的乘方逆运算变形，然后代入求值；
（2）先将原式变形为，再整体代入求值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：因为，
所以．
所以
．
22．计算：．
【答案】．
【分析】本题考查了单项式与单项式相乘，积的乘方，幂的乘方，根据积的乘方和幂的乘方法则，单项式与单项式相乘的乘法，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：
．
23．计算．
【答案】
【详解】本题考查整式的乘法，根据多项式乘多项式的运算法则，单项式乘多项式的运算法则计算，然后再合并同类项即可．
【解答】解：
．
24．阅读并解决问题：分解因式．
解：设，则原式．
这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．请用“换元法”对下列多项式进行因式分解：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了换元法、公式法进行因式分解，多项式乘多项式．熟练掌握换元法、公式法进行因式分解是解题的关键．
（1）利用换元法、公式法进行因式分解即可；
（2）先换元，然后多项式乘多项式，最后利用公式法进行因式分解即可．
【详解】（1）解：，
设，则原式，
∴；
（2）解：，
设，则原式
；
∴．
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试卷第3页，共14页

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