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12.4　逆命题和逆定理
1.互逆命题和互逆定理
课题 1.互逆命题和互逆定理 授课人
教 学 目 标 1.了解互逆命题、互逆定理的概念,知道原命题(定理)与逆命题(定理)的关系. 2.在探索逆命题、逆定理概念的过程中,体会研究问题的方法,感受抽象数学概念的过程. 3.能写出一个命题(定理)的逆命题,并判断真假. 4.以问题的解决为中心,树立学生在探索中正确表达自己观点的信心.
教学 重点 　　对互逆命题、互逆定理概念的理解.
教学 难点 　　判断一个命题(定理)的逆命题(定理)的真假.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　命题是由哪两部分组成的 如何判断一个命题的真假 (师生共同举例分析) 　　回顾旧知识,为讲解新知识做铺垫.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 　　仔细阅读表中的四个命题并填表: 命题条件结论真假(1)两直线平行,同位角相等(2)同位角相等,两直线平行(3)如果a=b,那么a2=b2(4)如果a2=b2,那么a=b
思考:命题(1)和命题(2),命题(3)和命题(4)的条件和结论分别有什么关系 学生活动:比较这两对命题的共同点和不同点,引入新课. 　　创设情境,激发学生兴趣,引出本节要讨论的内容.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 互逆命题 1.师生共同活动:结合上面的表格,得出互逆命题的概念. 在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的逆命题. 例1　“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是　锐角三角形是等边三角形　.
活动 二: 探究 与 应用 例2　命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是　两角的平分线相等的三角形是等腰三角形　. 说明: ①互逆命题是指两个命题之间的一种关系,即条件、结论相反,任何命题都有逆命题; ②互逆命题是相对的,称其中一个命题为原命题,另一个命题就是这个原命题的逆命题; ③写一个命题的逆命题时,不能机械地把条件、结论生硬地交换,还应注意语言的表达方式,使叙述的逆命题语句完整、表意正确. 2.举例说明:原命题是真命题,它的逆命题是真命题吗 原命题是假命题,它的逆命题是假命题吗 结论:互逆命题的真假与原命题的真假无关. 【探究2】 互逆定理 根据互逆命题的概念,你能类似地得出互逆定理的概念吗 写出下列定理的逆定理: 两直线平行,内错角相等. 师生共同举例,得出互逆定理的概念: 如果一个定理的逆命题也是定理,那么这两个定理叫做互逆定理,其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理. 理解互逆定理应注意: ①互逆定理是指两个定理之间的一种关系,即条件、结论互换; ②互逆定理都是正确的命题,其正确性是经过证明的,同时也可以用来证明其他命题; ③任何命题都有逆命题,但不是所有定理都有逆定理,一个定理的逆命题,只有经过证明它的正确性后,才能上升为原定理的逆定理. 　　了解互逆命题的概念,互逆定理的概念.
【应用举例】 例1　先指出下列各命题的条件和结论,再写出它们的逆命题,并判断其真假: (1)如果一个三角形是直角三角形,那么它的两个锐角互余; (2)等边三角形的每个角都等于60°; (3)全等三角形的对应角相等; (4)如果a=b,那么a3=b3. 要求学生制成“课堂引入”中时的表格完成上面的题目,使其更具条理性. 例2　已知下列命题:①若a>b,则a2>b2;②若x>0,则|x|=x;③两直线平行,内错角相等;④直角三角形的两锐角互余.其中原命题与逆命题均为真命题的有 (B) A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个 [解析] 先分析各命题的结构,交换命题的条件、结论可得原命题的逆命题,再判断逆命题的真假. ①逆命题:若a2>b2,则a>b,这是一个假命题. ②逆命题:若|x|=x,则x>0,这是一个假命题. ③逆命题:内错角相等,两直线平行,这是一个真命题. 　　1.要求学生分清命题的两个部分:条件和结论. 2.写逆命题时注意语言组织要合理.
(续表)
活动 二: 探究 与 应用 ④逆命题:两锐角互余的三角形是直角三角形,这是一个真命题. 所以原命题正确的有②③④,逆命题正确的只有③④,故原命题与逆命题均为真命题的有2个.故选B. 教师小结:判定一个命题的逆命题是否为真命题,有两种手段:一是举反例否定它的正确性;二是用推理、证明的方法说明它的正确性.
【拓展提升】 例3　推理能力都很强的甲、乙、丙站成一列,丙可以看见甲、乙,乙可以看见甲但看不见丙,甲看不见乙、丙.现有5顶帽子,3顶白色,2顶黑色,老师分别给每人戴上一顶帽子(在各自不知道颜色的情况下).老师先问丙是否知道头上帽子的颜色,丙回答说不知道;老师再问乙是否知道头上帽子的颜色,乙也回答说不知道;老师最后问甲是否知道头上帽子的颜色,甲回答说知道.请你说出甲戴什么颜色的帽子,并写出推理过程. 解:甲戴的白帽子.理由如下: 由于丙说不知道,说明甲、乙中至少有一个人戴白帽子(如果甲、乙都戴黑帽子,那么丙马上知道自己戴的是白帽子). 由于乙也说不知道,说明甲戴的是白帽子(如果甲戴黑帽子,甲、乙中至少有一个人戴白帽子,那么乙马上知道自己戴的是白帽子). 　　发展学生的合情推理能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂小结】 1.同学们想一想,今天学习了哪些知识 2.一个命题的逆命题的真假与这个命题的真假有必然的联系吗 　　回顾与反思,起到把握整节课重要概念的作用.
【达标检测】 1.说出下列命题的逆命题,并判断其真假: (1)等边三角形是锐角三角形; (2)两个直角必互余; (3)若a>b,则ac>bc. 2.命题:①对顶角相等;②两直线平行,内错角相等;③全等三角形的对应边相等.其中逆命题为真命题的个数为 (　　) A.0　　　　　B.1　　　　　C.2　　　　　D.3 3.下列命题的逆命题是假命题的是 (　　) A.同位角相等 B.等腰三角形是等边三角形 C.等腰三角形的两个底角相等 D.三边对应相等的两个三角形全等 　　当堂检测,及时反馈学习效果,巩固命题的概念及构成.
【板书设计】 互逆命题 互逆定理真命题 　　提纲挈领,重点突出.
活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 主要是从实例出发得到互逆命题与互逆定理的概念,发展学生的推理能力. ②[讲授效果反思] 本节课主要是关注两个概念,互逆命题与互逆定理,把前面所学过的一些命题或定理找出来让学生进行练习,达到巩固概念的目的.判定命题的真假可以举反例或推理证明. ③[师生互动反思] 本节课以学生活动为主,教师给出命题,学生写出逆命题,然后判断命题的真假. ④[习题反思] 好题题号　 错题题号　 　　反思,更进一步提升.
2.线段垂直平分线
课题 2.线段垂直平分线 授课人
教 学 目 标 1.掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理,能够利用这两个定理解决一些简单的问题. 2.能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理. 3.通过探索、猜测、证明的过程,进一步拓展学生的推理证明意识和能力. 4.通过作图,让学生发现线段的垂直平分线的性质,再引导学生进行证明、总结和归纳,从而探究解决问题的一般策略,了解科学探究的过程,建立解决问题的数学模型. 5.通过设置一系列与学生生活密切相关的数学问题,运用动手操作和课件,激发学生学习数学的兴趣.
教学 重点 　　理解并掌握线段垂直平分线的性质,并能利用线段垂直平分线的性质解决有关问题.
教学 难点 　　能探究出线段垂直平分线的性质定理及判定定理.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件、直尺、圆规
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 [温故知新] 线段是轴对称图形吗 如果是轴对称图形,那么它有几条对称轴 [教师点拨] 线段有两条对称轴,一条是线段所在的直线,另一条是线段的垂直平分线. 　　引导学生回忆轴对称图形的有关知识,从而引入新课.
(续表)
活动 二: 探究 与 应用 【探究】 线段垂直平分线的性质和判定 [思考并交流] 怎样作线段的垂直平分线 [教师点拨] 除了折纸可以得到线段的垂直平分线之外,还可以通过尺规作图的办法作出线段的垂直平分线. 请同学们作线段的垂直平分线. [思维拓展] 为什么尺规作图作出的直线是线段的垂直平分线 你能给出证明吗 [教师点拨] 可借助于三角形全等来给出证明. [小结] 定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. [教师点拨] 用几何语言表示为: 如图12-4-10. 图12-4-10 ∵MN垂直平分线段AB,且点P在MN上, ∴PA=PB. [思考并交流] 你能写出上面定理的逆命题吗 它是真命题吗 如果是真命题,请给出证明. 例1　已知:如图12-4-11,QA=QB. 求证:点Q在线段AB的垂直平分线上. 图12-4-11 [解析] 为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上,可以先过点Q作线段AB的垂线,然后利用“等腰三角形三线合一”,证明该垂线平分线段AB;也可以先平分线段AB,设线段AB的中点为C,然后利用“等腰三角形三线合一”,证明QC垂直于线段AB. 证明:过点Q作MN⊥AB,垂足为C. ∵QA=QB,QC⊥AB, ∴AC=BC(等腰三角形三线合一), ∴点Q在线段AB的垂直平分线上. 于是就有定理:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. [教师点拨] 用几何语言表示为: 如图12-4-12. 图12-4-12 ∵PA=PB, ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 例2　如图12-4-13,已知△ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点P. 求证:点P在边BC的垂直平分线上. [教师点拨] 要证明一个点在线段的垂直平分线上,就要证明该点到线段两端的距离相等.因此,本题的解法是连结PA,PB,PC,然后证明PA=PB=PC. 证明:连结PA,PB,PC. 图12-4-13 ∵△ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点P(已知), ∴PA=PB,PA=PC(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等), ∴PB=PC(等量代换), ∴点P在边BC的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上). [教师点拨] 三角形三边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心,它到三角形的三个顶点的距离相等. 　　本环节通过“思考并交流”“思维拓展”等活动的设计,有效引导学生进行自主探究活动,并通过与同学的讨论交流,探究归纳出线段垂直平分线的性质和判定.例题的设计是对所学知识的巩固与应用,其目的是培养学生运用新知识解决问题的能力.
活动 二: 探究 与 应用 【应用举例】 例　如图12-4-14,已知△ABC的周长为24,BC=10,边BC的垂直平分线分别交AB,BC于点E,D,求△ACE的周长. 图12-4-14 [教师点拨] △ACE的周长=AC+AE+EC,本题的难点是线段AC,AE,EC的长度均无法计算,故应尝试用整体法来解题,考虑到直线DE是线段BC的垂直平分线,这样可知CE=BE,从而可得AC+AE+EC=AC+AE+BE=AC+AB. 解:∵DE是边BC的垂直平分线(已知), ∴CE=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等), ∴△ACE的周长=AC+AE+EC=AC+AE+BE=AC+AB(等量代换). 又∵△ABC的周长为24,BC=10(已知), ∴AB+AC=24-10=14(等式的性质), ∴△ACE的周长=AC+AB=14(等量代换). 　　本环节渗透了整体法和转化法两大数学思想方法,这样不仅进一步巩固了新知识,同时也拓展了学生的解题能力,提高了学生的综合素养.
活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂小结】 1.学生谈谈本节课的收获. 2.本节课的主要内容有: (1)线段垂直平分线的性质定理和判定定理. (2)三角形三边的垂直平分线交于一点. 　　培养学生对数学知识的归纳能力以及对知识点概括的语言表达能力.
【达标检测】 1.如图12-4-15,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连结BE,则∠CBE的度数为 (　　) A.70°　　　　B.80°　　　　C.40°　　　　D.30° 图12-4-15 图12-4-16 2.如图12-4-16,AC=AD,BC=BD,则有 (　　) A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB 3.如图12-4-17,有A,B,C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在 (　　) 图12-4-17 A.AC,BC两边高线的交点处 B.AC,BC两边中线的交点处 C.AC,BC两边垂直平分线的交点处 D.不存在这样的点 　　当堂检测,及时反馈学习效果.
活动 三: 课堂 总结 反思 4.如图12-4-18,在Rt△ABC中,∠B=90°,分别以点A,C为圆心,大于AC长为半径画弧,两弧相交于点M,N,连结MN,与AC,BC分别交于点D,E,连结AE. 图12-4-18 (1)∠ADE=　　　　°; (2)AE　　EC(填“=”“<”或“>”); (3)当AB=3,BC=4时,△ABE的周长=　　　　.
【板书设计】 1.线段的对称性. 2.线段垂直平分线的性质定理和判定定理. 3.三角形三边的垂直平分线交于一点. 　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课主要复习线段的对称性及利用尺规作图作线段的垂直平分线,然后让学生探究理论依据.利用尺规作图,让学生找到画图的关键是保证半径相等,也就是到线段两端的距离相等,根据理论依据得到点在线段垂直平分线上的判定方法.证明直线为线段的垂直平分线时要同时证明直线上两点都在垂直平分线上. ②[讲授效果反思] 本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法,有效地增强了学生的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因而本节课的教学效果较好,学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的.不足之处是少数学生对线段垂直平分线的判定定理理解不透彻,还需在今后的教学和作业中进行巩固和提高. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号　 错题题号　 　　反思,更进一步提升.
3.角平分线
课题 3.角平分线 授课人
教 学 目 标 1.使学生掌握角平分线的性质定理和判定定理,并会用两个定理解决有关简单问题. 2.通过让学生经历观察演示、动手操作、合作交流、自主探究等过程,培养学生用数学知识解决问题的能力. 3.初步了解角的平分线的性质在生产、生活中的应用;培养学生的数学建模能力. 4.在探究作角平分线的方法及角平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.
教学 重点 　　角平分线的性质定理和判定定理的探索与应用.
教学 难点 　　角平分线的性质定理和判定定理的证明以及两个定理的区别与联系.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 前面我们学习了证明两个三角形全等的方法,请同学们回忆并写出它们的简称. 复分线的定义,教师提出问题:给定一个角,你能画出它的角平分线吗 方法都有哪些 学生思考并回答问题. 　　回顾旧知识,为讲解新知识做铺垫.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 如图12-4-36,有一个简易平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC,将A点放在角的顶点处,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线,为什么呢 图12-4-36 师生探究,说明其中的原理(利用“边边边”证明三角形全等),进而得到利用尺规作角平分线的方法.教师出示作图过程: 如图12-4-37①,已知∠AOB. 图12-4-37 求作:∠AOB的平分线. 解:如图②.(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB于点N.(2)分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部交于点C.(3)作射线OC,射线OC即为所求. 教师提出问题:角的平分线有哪些性质呢 请同学们与我一同来探究一下吧! 　　通过角的平分线的作图引入新课,一方面契合了学生已有的知识经验,有效激发了学生的学习兴趣和探究热情,另一方面也为新课的引入做铺垫.
活动 二: 探究 与 应用 【探究】 角的平分线的性质和判定 如图12-4-38,将∠AOB的两边对折,再折个直角三角形(以第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论 你能利用所学过的知识,说明你的结论的正确性吗 图12-4-38 [学生活动] 学生独立操作,然后观察操作后的图形,进行讨论,经过讨论发现,折痕PD和PE与其他边有着特殊的关系:(1)PD⊥OA,PE⊥OB;(2)PD=PE,最后寻找上述结论成立的理由:(1)由折叠过程可以得到;(2)通过证明Rt△OPD≌Rt△OPE,进而得到PD=PE. [教师活动] 组织学生独立操作、思考,在此基础上进行讨论,鼓励学生大胆发言,并对自己的看法做出判断.
活动 二: 探究 与 应用 最后引导学生归纳角平分线的性质: 角平分线上的点到角两边的距离相等. 图12-4-39 用几何语言表示为: 如图12-4-39.∵OE平分∠AOB,点P在OE上且PD⊥OA,PF⊥OB,∴PD=PF. [探索] 写出角平分线性质定理的逆命题.这个逆命题是真命题吗 如果是真命题,请写出已知、求证,并给出证明. [学生活动] 学生自主探究并与同学进行交流. [教师活动] 组织引导学生进行探究交流活动,并归纳出下列结论: 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用几何语言表示为: 图12-4-40 如图12-4-40.∵QD⊥OA,QE⊥OB且QD=QE, ∴OQ平分∠AOB. [教师点拨] 强调点是“角的内部”的点. 例　已知:如图12-4-41,在△ABC中,∠ABC的平分线BE与∠ACB的平分线CF相交于点O.求证:AO平分∠BAC. 图12-4-41 证明:过点O分别作OG⊥BC,OH⊥AC,OI⊥AB,垂足分别为G,H,I. ∵BE是∠ABC的平分线,点O在BE上,∴OI=OG. 同理可证:OH=OG,∴OI=OH. 又∵OH⊥AC,OI⊥AB,∴AO平分∠BAC. [教师点拨] 从本题的解答中,你能发现什么结论 师生合作交流得到下列结论: 三角形的三条角平分线交于一点,这点到三角形三边的距离相等. 　　1.通过学生自主探究、师生合作交流等活动的设计,引导学生探究出角平分线的性质定理. 2.通过对角平分线性质定理的逆命题的证明,得出角平分线的判定定理,这与垂直平分线的性质定理与判定定理的学习是一致的,可以类比学习. 3.例题的设计是为了巩固所学的新知识.
【应用举例】 例1　如图12-4-42,已知∠AOB和线段CD,通过作图求一点P,使得点P在∠AOB的平分线上同时又使得PC=PD. 图12-4-42 [教师点拨] 本题的关键是如何使得PC=PD,其办法是作出线段CD的垂直平分线MN,直线MN与∠AOB的平分线OQ的交点就是所求作的点P. [学生活动] 学生在教师的引导下探究出答案. 图12-4-43 解:如图12-4-43,作法: (1)作∠AOB的平分线OQ; (2)作线段CD的垂直平分线MN,交射线OQ于点P. 则点P即为所求作的点.
活动 二: 探究 与 应用 例2　如图12-4-44,某考古队为进行研究,寻找一座古城遗址.根据资料记载,该城在森林附近, 图12-4-44 到两条河岸的距离相等,到古塔的距离是3000 m.根据这些资料,考古队很快找到了这座古城的遗址.你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗 请你试一试.(比例尺为1∶100000) [教师点拨] 古城到两条河岸的距离相等说明古城在两条河岸所形成的夹角的平分线上,到古塔的距离是3000 m反映到图形上就是到古塔的距离为3 cm. [学生活动] 学生自主探究活动并与同学进行交流. 解:如图12-4-45. 图12-4-45 作法:(1)以点C为圆心,以任意长为半径画弧,交两河岸于A,B两点,分别以点A,B为圆心,以大于AB长为半径画弧,两弧交于点O,过点C,O作射线CO. (2)按比例尺计算得图上古塔与点P的距离为3 cm,以古塔为圆心,以3 cm长为半径画弧交CO于点P,则点P即为所求. 　　该环节的目的是进一步巩固和强化所学的新知识,同时也是对学生知识面和解题方法的拓展和提高.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标检测】 1.如图12-4-46所示,AD是△ABC的角平分线,E,F是边AB,AC上的点,则下列关于DE和DF的大小关系的说法正确的是 (　　) 图12-4-46 A.一定相等 B.一定不相等 C.当BD=CD时相等 D.当DE⊥AB,DF⊥AC时相等 2.如图12-4-47所示, 图12-4-47 若DE⊥AB,DF⊥AC,则下列对于∠1和∠2的大小关系说法正确的是 (　　) A.一定相等 B.一定不相等 C.当BD=CD时相等 D.当DE=DF时相等 3.在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O.若∠A=20°,则∠BOC=　　　　. 4.在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D.若DC=7,则点D到AB的距离是　　　　. 5.如图12-4-48所示,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A,B分别为垂足,AB交OM于点N. 求证:∠OAB=∠OBA. 图12-4-48 　　当堂检测,及时反馈学习效果.
活动 三: 课堂 总结 反思 【板书设计】 1.角平分线的性质定理. 2.角平分线的判定定理. 3.三角形的三条角平分线交于一点,这点到三角形三边的距离相等. 　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课由于采用了动手操作、直观模型的观察以及讨论交流等教学方法,有效地增强了学生对角以及角的平分线的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因而本节课的教学效果较好,学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的.不足之处是少数学生在尺规作图上还存在问题,需要在今后的教学与作业中进行巩固和训练. ②[讲授效果反思] 本节课借助于直观的模型引导学生进行观察、猜想、验证等探究活动,从而引导学生在自主探究的基础上,通过与他人的合作交流探究出角平分线的性质定理和判定定理,有效地提高了课堂的教学效果,促进了学生对新知识的理解和掌握.不足之处是少数学生在应用角平分线的性质定理和判定定理解题时,容易忽视“点到角两边的距离”这一条件,需要在今后的教学上和作业中进行巩固和训练. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号　 错题题号　 　　反思,更进一步提升.

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