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绝对值专题提优
绝对值是数学中的一个基本概念，也是数学中的一个重要概念，它是学习相反数、有理数运算、二次根式的基础.这一概念与其他概念结合还会生成许多新的问题，如绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等.绝对值在代数式化简、解方程、解不等式等方面也有着广泛的应用.
一、绝对值的意义
1.绝对值的代数意义：
2.绝对值的几何意义：
是数轴上表示数的点到原点的距离；表示数、数的两点间的距离.
二、绝对值的基本性质
① ；② ；③ ；④ .
三、典例选析
例1. 已知，，且，求的值.
分析：要求的值，根据绝对值的代数意义和已知条件求出、的值即可.
解：因为，，所以，.
又因为，所以即.
有两种情况：
①当，时，.
②当，时，.
综上所述，的值为或.
例2. 已知，其中，，那么的最小值是多少？
分析：结合已知条件判断每一个绝对值符号内式子的正负性，再去掉绝对值符号.
解：因为，所以，，，
所以 。
又因为 ，所以 。
所以 。
当 时， 的最小值是50。
例3.（1）已知 ，求 。
（2）若 ，， 均为整数，且 ，求 的值。
分析：对于（1），由非负数的性质先导出 ， 的值；对于（2），1写成两个非负整数的和的形式又有几种可能？
解：（1）因为 ，，，
所以 ，。
所以 ，，所以 。
所以原式
。
（2）因为 ，， 为整数，且 ，
所以 ， 或 ，。
当 ， 时，，，原式 。
当 ， 时，，，原式 。
例4.（1）当 取何值时， 有最小值？这个最小值是多少？
（2）当 取何值时， 有最大值？这个最大值是多少？
（3）求 的最小值。
（4）当 的值最小时，求 的最大值。
分析：对于（1）（2）可利用绝对值的基本性质 求解；对于（3）可先运用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再求最小值；也可利用绝对值的几何意义，即在数轴上找一表示 的点，使之到 ， 的点的距离和最小；（4）先根据条件得到 的取值范围，再去掉绝对值符号可求。
解：（1）当 时， 有最小值，最小值是0。
（2）当 时， 有最大值，最大值是7。
（3）当 时， 的最小值为8。
（4）当 有最小值时，，
所以 ，
当 时， 的最大值为0。
同步练习
1. 如果 ， 一定是（ ）
A．正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数
2. 如果 ，则 的取值范围是（ ）
A． B.
C. D.
3. 绝对值不大于5的整数有（ ）
A．11个 B．12个 C．22个 D．23个
4. 若 ，则 .
5. 若 ，则 .
6. 时，.
7.观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与，3与5，与，与3.并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？
(2)若数轴上的点A表示的数为，点B表示的数为，则A与B两点间的距离可以表示为。
（3）结合数轴求得 的最小值为 ，取得最小值时 的取值范围为 。
（4）满足 的 的取值范围为 。
8. 已知 、、 是非零有理数。
（1）求 的最小值 ；
（2）若 ，，且 ，试求代数式 的值。
同步练习参考答案：
1.C. 因为 ， 所以 不可能为正数，那么必为负数或零，故C选项正确。
2.D. 因为 ，，所以 不可能为正数，那么必为负数或零，故D选项正确。
3.A.因为整数由负整数、零、正整数三个部分组成，所以绝对值不大于5的整数包括、、、、、0、1、2、3、4、5一共11个，故A选项正确。
4.26. 因为 ，所以 ，， 则 ，，，所以 。
5.2. 因为 ，所以 。
6. 。因为 ，所以 。
7. 分析：利用绝对值的几何意义和数形结合的思想是解决本题的关键。
解：（1）所得距离与这两个数的差的绝对值相等。
（2）。
（3）5；由绝对值的几何意义得 ，所以 的最小值为5。
（4） 或 ，当 时， 有最小值3，所以 或 时，，故 的取值范围为 或 。
8. 解：（1）对 、、 三个非零有理数，可按三个正数、两正一负、两负一正三个负数四种情况加以讨论，由于式子具有轮换性，不妨按下列情况讨论：
①当 ，， 时，原式 。
②当 ，， 时（其它两种情况结果相同），
原式 。
③当 ，， 时（其它两种情况结果相同），
原式 。
④当 ，， 时，原式 。
综上，所求的最小值为 。
（2）由 ，知 、、 中，有一个负数或三个全为负数，又由 ，故 、、 不能全为负数，所以 、、 中有一个负数，两个正数，根据字母的轮换性，不妨设 ，，，则 。
因此，代数式 的值为 。

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