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反比例函数的图象与性质
课标要求
结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式.
能画反比例函数的图象，根据图象和表达式探索并理解和时图象的变化情况.知道当和时反比例函数图象的整体特征（2022版课标调整）.
能用反比例函数解决简单实际问题.
知识·要点梳理
知识点1反比例函数的概念
定义：形如① （是常数，）的函数叫反比例函数.
特别提示：自变量的取值范围是② .
三种解析式：（1）；（2）；（3）.
知识点2反比例函数的图象与性质
解析式
图象
所在象限 第③____象限 第④____象限
增减性 在每个象限内，随的增大而⑤____ 在每个象限内，随的增大而⑥____
教材链接
（人教九下P8习题T2变式）下列关系式中，是的反比例函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
（教材整合）（1）函数的图象的两个分支分布在第____象限，在每个象限内，随的增大而____；
（2）函数的图象的两个分支分布在第____象限，在每一个象限内，随的减小而____.
渐进
趋势 左、右方向无限接近⑦______轴，上、下方向无限接近⑧______轴（图象无限接近坐标轴，但与坐标轴不相交）
对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形，两条对称轴是直线⑨______，对称中心是⑩______
画法 （1）列表：表示几组x与y的数对；
（2）描点：以表中各数对为坐标，描出各点；
（3）连线：用平滑的曲线顺次连接这些点即可
知识点3反比例函数中k的几何意义
如图所示，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作x轴，y轴的垂线PM，PN，则所得矩形PMON的面积为 ________
拓展1：如图所示，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作x轴（或y轴）的垂线，则所得三角形的面积= ________
拓展2：如图所示，点P与其对称点是反比例函数的图象上两点，过点P作x轴（或y轴）的垂线，则= _____
温馨提示
一般反比例函数与几何图形（三角形、四边形）结合，可直接利用k的几何意义求面积，若图形为不规则图形，则先将其分割，然后求其面积之和.
（3）如图，有反比例函数和的图象和一个以原点为圆心，2为半径的圆，则=____.
3.（北师大版九上P155想一想拓展）
(1)如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y=图象上的一点，分别过点P作轴于点A，轴于点B.若四边形PAOB的面积为5，则k的值是（ ）
A.10 B.
C.5 D.
(2)如图，过反比例函数的图象上一点A作轴于点B，连接AO.若，则k的值为（ ）
A.2 B.3
知识点4反比例函数解析式的确定
设函数解析式为（k）是常数，（k0）；
根据图象经过点的坐标或已知的对应关系列方程；
解方程，求出待定系数k；
将k代入确定解析式.
知识点5反比例函数的实际应用
利用反比例函数解决实际问题，关键是建立函数模型.建立函数模型的思路主要有两种：
已知函数类型，直接设出函数的解析式，根据题目提供的信息求得\（k\）的值；
题目本身未明确表明变量间的函数关系，此时需通过分析，先确定变量间的关系，再求解析式.
反比例函数实际应用中的常见等量关系：
，，
，，
，.
温馨提示
列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.
C.4
D.5
4.（人教版九下P8练习T1变式）已知正比例函数与反比例函数（）的一个交点是，则另一个交点是（，），反比例函数解析式为.
5.(人教版九下P15练习T2变式)小凡驾驶汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为240km，设小汽车的行驶时间为h，行驶速度为，且全程速度限定为不超过.
（1）则关于的函数解析式为；（并写出自变量的取值范围）
（2）小凡上午9点驾驶小汽车从A地出发，需在当天12点之前（含12点）到达B地，汽车行驶速度的取值范围为.
思考·考点突破
考点1 反比例函数的图象与性质
【典例1】（2024·贵州贵阳二模）若，是函数图象上的两点，下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
方法点拨
比较反比例函数值大小的方法：
（1）直接代入求解：将各自对应的横坐标值代入反比例函数解析式中，求出值，直接比较；
（2）利用函数图象判断：先根据反比例函数的值确定反比例函数的增减性，再看两点是否在同一分支上，若不在同一分支上则可直接判断；若在同一分支上则利用增减性判断.
变式训练
1.（2024·贵州铜仁三模）若点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则，，大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
考点2
反比例函数中比例系数的几何意义
【典例2】 （2024·贵州六盘水二模）如图，点在反比例函数的图象上，点的坐标是，点的坐标是，则的面积是（ ）
A.30 B.3 C.60 D.6
易错警示
（1）忽略图象所在的象限而导致的符号出错；（2）弄错矩形或三角形面积与的倍数关系.
变式训练
2.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点，直角顶点在轴上，双曲线经过边的中点.若，则_____.
考点3
反比例函数中的图象共存问题
【典例3】 （2024·贵州黔东南一模）已知二次函数的图象与轴的正半轴相交，其对称轴在轴的右侧，则反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
变式训练
3. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
考点4反比例函数的实际应用
【典例4】（2024·贵州贵阳一模）某天水温和室温均为，智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降。在水温下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系，时水温下降到室温，水温与通电时间之间的关系如图所示。
（1）当时，求出与之间的函数关系式；
（2）求饮水机自动停止加热到水温降到室温的时间。
【典例5】如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点.
（1）求，两点的坐标；
（2）将直线向下平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点. 若，求的值.
方法点拨
设问形式 解题指导
确定交点坐标 联立两个函数解析式，利用方程思想求解
确定函数解析式 利用待定系数法，先确定交点坐标，再代入函数的解析式求解
变式训练
4. 如图，直线与轴、轴分别相交于点、点，以线段为边在第一象限作正方形. 反比例函数在第一象限内的图象经过点.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将正方形沿轴向上平移几个单位长度能使点落在（1）中所得的双曲线上？
真题·明晰命题
命题1反比例函数的图象
1.（2022·黔西南州）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过的象限是（ ）
A.一、二、三 B.一、二、四 C.一、三、四 D.二、三、四
2.（2022·贵阳）如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上.根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（ ）
A.点P B.点Q C.点M D.点N
命题2反比例函数比例系数k的几何意义
3.（2022·毕节）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴，y轴上，对角线交于点E，反比例函数的图象经过点C，E.若点A（3，0），则k的值是____.
4.（2022·铜仁）如图，点A，B在反比例函数的图象上，轴，垂足为D，.若四边形AOBC的面积为6，，则k的值为____.
命题3反比例函数的图象与性质
5.（2024·贵州）已知点（1，3）在反比例函数的图象上.
（1）求反比例函数的解析式；
(2)点(，a)，(1，b)，(3，c)都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由.
6.(2022·安顺)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为(4，0)，(4，m)，直线与反比例函数的图象交于C，P(，)两点.
（1）求该反比例函数的解析式及m的值；
（2）判断点B是否在该反比例函数的图象上，并说明理由.
命题4反比例函数和一次函数的综合应用
7.（2023·贵州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数的图象分别与AB，BC交于点D（4，1）和点E，且点D为AB的中点.
（1）求反比例函数的解析式和点E的坐标；
（2）若一次函数与反比例函数的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点M可与点D，E重合），直接写出m的取值范围.
8.（2022·贵阳）一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点.
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数值小于反比例函数值的的取值范围.
素养·熟知考向
1.[新考向]（2024·扬州）在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.4
2.[新情境]（2024·山西）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数.已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度.
3.[新考向]（2024·福建）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于，两点，且点，都在第一象限.若，则点的坐标为.
参考答案
反比例函数的图象与性质参考答案
知识点1
1. ① ②
知识点2
③一、三 ④二、四 ⑤减小 ⑥增大 ⑦ ⑧ ⑨ ⑩坐标原点
知识点3

教材链接
1.B
2.（1）二、四 增大 （2）一、三 增大
(3)
3.(1)D(2)C
4.-2，
5.（1）
(2)
思维·考点突破
考点1
【典例1】A
变式训练
1.D
考点2
【典例2】B
变式训练
2.
考点3
【典例3】C
变式训练
3.A
考点4
【典例4】（1）解：（1）设加热过程中函数解析式为，点，在函数图象上，
则有 解得\begin{cases}k = 10, \\ b = 20, \end{cases}
∴当时，与之间的函数关系式为.
（2）∵点在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为，∴，∴反比例函数解析式为，当时，，
∴自动停止加热到水温降到室温的时间为.
答： 自动停止加热到水温降到室温的时间为.
考点5
【典例5】解：（1）∵正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，由，解得，
∴，.
（2）∵直线向下平移个单位长度，∴直线的解析式为.当时，，∴点的
坐标为.如图，过点作轴于点，
，，，
.点在直线上，
，，
点的坐标是.
点在反比例函数的图象上，
，解得（负值舍去），
.
变式训练
4.解：（1）如图， 垂直轴于点.
把代入得，
把代入得，
点，坐标分别为，，，
.，，
，.
在和中，
.
，，，
点坐标为.反比例函数图象
经过点，，.
（2）把代入得，向上平移个
单位长度能使点落在双曲线上.
真题·明晰命题
命题点1
1.B 2.C
命题点2
3.4 4.3
命题点3
5.解：（1）将点代入，得，.
（2）方法一：如图，由图象得；
方法二：将点，，代入，
得，，，.
6.解：（1）把代入得，解
得，
反比例函数的解析式为.
在反比例函数的图象上，
.
反比例函数的解析式为，.
（2）点在反比例函数的图象上，理由
如下：
如图，连接AC，BD交于H.
把，代入，得
解得
直线的解析式是.
在中，令得，.
四边形是菱形，是中点，也是中点. 由，可得，设，
， 解得
，在中，令得，
点在反比例函数的图象上.
命题点4
7.解：（1）四边形是矩形，点为的中点，，
点的纵坐标为2.
反比例函数的图象分别与，交于点和点，
，
反比例函数解析式为.
把代入，得，解得，.
（2）把代入，得，解得，
把代入得，，解得，
的取值范围是.
8.解：（1）一次函数过点，
，
点的坐标为.
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的解析式为.
（2）反比例函数过点，
，解得.
一次函数值小于反比例函数值，
一次函数图象在反比例函数图象的下方，
在轴左侧，一次函数值小于反比例函数值的的取值范围为；
在第四象限内，一次函数值小于反比例函数值的的取值范围为.
一次函数值小于反比例函数值的的取值范围为或.
素养·熟知考向
1.B 2.4 3.

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