资源简介

教学设计
课题 第 2 章 圆锥曲线 2.1.1 椭圆及其标准方程 第 7 周 第 1 节
了 解 学 情 明 确 目 标 “三情”（教情、学情、考情）分析：
教情： 1. 教材内容分析 本节课选自北师大版（2019）数学必修第二册第2 章“ 圆锥曲线 ”的第 1 节“椭圆及其标准方程 ”（第 1 课时）。本节通过动手画椭圆的实践抽象出椭圆定义，再用坐标法推导其标准方程，是“ 曲线与方程 ”思想的核心载体，也是双曲线、抛物线学习的基础。椭圆的实际应用（如卫星轨道、建筑设计）体现了数学的实用性，其定义与方程推导承载了解析几何“几何直观→代数表达 ”的核心方法。 2. 基于课程标准的分析 《普通高中数学课程标准》要求：“了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程 ”。本节通过“操作→抽象→ 推导→应用 ”的过程，发展学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理与数学运算核心素养。 学情： 学生已具备平面直角坐标系、距离公式等知识，已掌握圆的定义与方程，具备“定点+动点+距离 ”的轨迹概念基础，但对“两定点+一动点+距离和 ”的轨迹抽象、标准方程的推导化简、焦点位置与方程形式的关联感觉吃力。 考情： 椭圆的定义、标准方程是高考重点考查内容，常与轨迹问题、方程求解及实际应用结合命题。
学习目标（课程思政）：
1.通过 GeoGebra 动态演示和 AI 视频展示，理解圆锥曲线的概念（椭圆是圆锥面的截线之一）和椭圆在实际生产生活中的应用，培养直观想象的数学核心素养；同时让学生感受椭圆在航天、工业等领域的应用，感受数学的实用价值与科学魅力，激发探索科学、服务社会的责任感。 2.通过动手画椭圆的实践，认识椭圆的几何本质，从而形成并理解椭圆的定义，培养学生数学抽象的核心素养；理解推导标准方程的过程，让学生感受椭圆的对称美，提升学生逻辑推理与数学运算能力。
3.结合“东方红一号 ”卫星轨道等例题，体会“几何与代数相结合 ”的解析几何思想；掌握椭圆标准方程，感受椭圆在航天等领域的应用价值，激发科技报国的家国情怀。
学习重点难点：
学习重点：椭圆的定义；焦点在 x 轴、y 轴上的椭圆标准方程。 学习难点：椭圆标准方程的推导过程；a,b,c 几何意义及关系的理解。 教学策略分析： 1.动手实践+ 问题驱动：通过“细绳画椭圆 ”的操作，引导学生观察轨迹特征， 以“笔尖满足什么几何条件？ ”“常数的范围有何要求？ ”“平面内三字能否去掉？ ”等问题推进概念抽象。 2.类比迁移+分步推导：类比圆的“定点+动点+距离 ”定义，迁移到椭圆的“两定点+动点+距离和 ”；将方程推导分解为“建→设→ 限→代→化→检（一般可省略）”步骤，降低代数运算难度。 3.直观感知+析式归纳：从直观感知（几何）和理论分析（代数）两个维度得出焦点在y 轴上的标准方程；区分焦点在 x 轴、y 轴上的方程的异同点，强化特征识别。 教学资源： 1.教具与学具 （1） 教师教具： 演示工具：无弹性细绳（用于课堂演示椭圆绘制）； 多媒体设备：几何画板（动态演示椭圆生成、焦点位置变化）。 （2）学生学具： 两人一套：细绳、硬纸板、铅笔、直尺（动手绘制椭圆和建系）。 2.多媒体资源 （1）课件资源： 椭圆的生产生活实例图片（如行星轨道、建筑穹顶、椭圆形工艺品等）； 动画视频：椭圆绘制的动态演示。 （2）数字工具： 在线交互工具：下载 GeoGebra 软件并制作圆锥曲线截线演示素材。 3.拓展资源 历史资料：阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》中椭圆的研究（数学史拓展）。
教 学 过 程
合 作 探 究 交 流 展 示 课前作业： 第一项：分小组完成以下 2 个问题： 1.什么是圆锥曲线？ 2.实际生产生活中椭圆的应用有哪些？ 第二项：全体同学完成： 准备画椭圆的工具（要求：细绳可活动）. 备 注
导入新课：（从何而来，作何之用） （一）复习旧知，衔接新知 教师活动：教师引导学生复习“用坐标法研究直线和圆及其位置关系 ”，并引出用同样的方法研究一类更普遍有趣的曲线——圆锥曲线。 设计意图：以“坐标法研究直线、圆 ”的旧知为衔接， 自然引出圆锥曲线的研究方法，实现知识迁移。 （二）理解概念，软件辅助 问题 1 ：什么是圆锥曲线呢？ 师生活动： 教师引导学生理解圆锥曲线的概念 ，并让一名擅长GeoGebra 软件操作的学生动态演示。教师简单介绍圆锥曲线的核心人物——古希腊数学家：阿波罗尼奥斯。 工具准备：教师提前教会学生学习GeoGebra 软件工具，提前尝试用“平面截圆锥 ”的模拟功能。 设计意图：通过 GeoGebra 软件动态演示与核心人物介绍，形象具体理解圆锥曲线概念，降低抽象知识的理解难度。 （三）聚焦椭圆，联系实际 小组展示：从实际生产生活出发，领略椭圆的多元应用。 师生活动：教师引导：今天我们先深入学习圆锥曲线里最常见的一种——椭圆，提前让学生小组合作，完成 AI 制作的椭圆应用视频，并选出一则优秀的视频播放。 设计意图：以“椭圆的实际应用 ”为切入点，结合学生作答、小组AI 视频展示，既联系知识与实际，又调动学生参与度，激发学习兴趣。 呈现目标，明确思路： 师生活动：教师 PPT 展示本节课所要达成的核心目标，学生齐读学 习 目标。同时，教师引导学生明确本章用坐标法研究曲线的整体思路：现实背景——曲线的概念——曲线的方程——曲线的性质——曲线的应用，强调本节课主要解锁前三个核心步骤。 设计意图：让学生从宏观上把握知识体系，清楚本节课在整个知识
链条中的位置与重点（解锁前三个核心步骤），让学生带着清晰的目标和思路开展学习，提升学习的针对性与有效性。 探究一：椭圆的定义 1.绘制椭圆，直观感知 两人一组操作：取出准备好的画具，两人合作， (1)保证细绳长度大于两定点 F1 、F2 的距离； (2)套上笔，用笔尖(P)拉紧细绳，慢慢移动，观察(P)的轨迹图形。 师生活动：教师手持细绳模拟圆的形 成，并引发学生思考：细绳的两端固定，绳长大于两端点间的距离，套上笔，拉紧细绳，笔尖(P)形成的图形是什么？学生拿出画具尝试，画出图形并作答。教师展示学生的成果。 预设答案：笔尖(P)的轨迹图形是椭圆。 设计意图：让学生在亲身实践中直观感受椭圆的形成过程，学生自主探索并发现笔尖(P)的轨迹图形为椭圆。这种方式不仅能激发学生的学习兴趣与探究欲望，还能帮助学生从实践操作的感性体验出发，逐步理解椭圆的定义，同时也培养了学生的合作能力与动手实践能力。 2. 由形到数，提炼本质 组内探究：在操作过程中，笔尖(P)满足的几何条件是什么？ 师生活动：教师提出问题，必要时引导学生理解；学生适时作答。 预设答案： PF1 + PF2 = 常数。 设计意图：通过引导学生思考操作过程中笔尖(P)满足的几何条件，促使学生从直观的动手操作体验，深入到对椭圆本质几何特征的理性探究，为形成椭圆的定义奠定基础。 3. 类比概括，形成定义 问题：你能用精确的语言描述椭圆的定义？ 师生活动：教师和学生一起回忆圆的定义，并分析圆的三个关键要素：定点 C、动点 P、|PC|=常数；回归对应到椭圆：定点 F1、F2 、动点P、绳长不变：|PF1 | + |PF2 | =常数，引导类比圆的定义得出椭圆的定义。并引导学生发现常数大于|F1F2 |且“平面内 ”不能去掉（否则是椭球）；学生根据教师的引导适时作答。 预设答案：平面内到两定点 F1、F2 的距离之和为常数（>|F1F2 |）的
点 P 的轨迹是椭圆。 设计意图：促使学生从直观的动手操作体验，深入到对椭圆本质几何特征的理性探究，培养学生的逻辑思维能力与抽象概括能力，为形成椭圆的定义奠定基础。 归纳小结：平面内到两定点 F1、F2 的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的点 P 的轨迹（集合）是椭圆。其中，定点 F1 ，F2 称之为椭圆的焦点， |F1F2 |称为椭圆的焦距（并用符号语言表示定义）。 4. 概念深化，加强理解 问题 2 ：当 2a = 2c时，点 P 轨迹是什么？ 问题 3 ：当 2a < 2c时，点 P 是否存在轨迹？ 师生活动：教师手持细绳简单演示并分析提出问题，对学生的作答点评；学生两人合作动手尝试，学生代表演示并作答。 预设答案：2a>2c→椭圆；2a < 2c→ 线段 F1F2 ；2a < 2c→ 无轨迹图形。 设计意图：帮助学生全面理解椭圆定义中“绳长（即动点到两定点距离之和）大于两定点间距离 ”这一关键条件，明确不同情况下轨迹的差异，深化对椭圆概念的认识。同时，培养学生的动手实践能力、观察分析能力以及严谨的逻辑思维。 微练习： 填空： 平面内两定点 F1 、F2 间的距离为 10 ，动点到 F1 、F2 的距离之和为 m(m>0) 。当 m 满足条件______时，动点轨迹为椭圆；当 m 满足条件______时，动点轨迹为线段；当 m 满足条件______时，动点轨迹不存在。 师生活动：学生独立思考后作答，教师点评。 预设答案：m>10；m=10；0设计意图：通过教师带领学生梳理求曲线方程的步骤，帮助学生回忆并巩固求曲线方程的一般方法，为后续推导椭圆的标准方程做好方法上的铺垫，使学生能够运用“建—设—限—代—化—（检）”的步骤来构建椭圆的标准方程，培养学生的知识迁移能力和逻辑思维能力。 2.构建方程 思考：直观感受椭圆的形状，想一想怎样建立坐标系可使所得的椭圆方程形式简单 师生活动：教师引导学生类比圆方程形式简单可将圆心建立在坐标原点的思想让学生小组合作，动手尝试建系、展示学生建系的成果图片；学生拿出之前画出的椭圆进行建系并回答建系依据。教师启发学生有没有其他建系方法。 预设答案： 设计意图：让学生深入理解椭圆的对称性等几何特征，还能培养学生的观察能力、类比迁移能力与动手操作能力，为后续推导椭圆的标准方程奠定基础，同时激发学生的探究兴趣，让学生在主动思考与实践中掌握知识。 教师总结：结合画椭圆的过程和椭圆的形状，我们看出椭圆是轴对称图形，对称轴是线段 F1F2 所在直线和其中垂线，同时椭圆也是中心对称图形，其对称中心是线段 F1F2 的中点。我们可以根据椭圆对称性建系，将 x 轴建立在线段 F1F2 所在直线，y 轴建立在线段 F1F2 的中垂线上，这样的话椭圆方程就最简单，就和圆心在原点时方程最简单一样。 3.设点推导 师生活动：教师展示将焦点 F1，F2 建立在 x 轴的一位同学的椭圆画板，引导学生设点（启发学生思考为什么设|PF1 | + |PF2 | =2a； |F1F2 | = 2c？而不是|PF1 | + |PF2 | =a 和 |F1F2 | =b、2b ），写限制条件、代点，启发学生思考化简双根式和为常数的两种思路（直接法和移项法），比较出移项法稍微简便些；学生分组依据移项法思路进行代数运算，教师巡视并对运算困难的小组进行指导（如提醒合并同类项的方法等）。必要时展示学生化简结果；学生在教师纠错提醒下继续化简。教师引导学生理
解引入b2 的合理性。 设计意图：通过引导学生理解“设|PF1 | + |PF2 | =2a 、 |F1F2 | =2c ”的符号设定，帮助学生建立椭圆定义与代数表示的关联；通过思考两种化简双根式的思路并对比优劣，培养学生的代数运算策略选择能力；结合纠错环节，强化学生对二次平方等运算细节的关注，提升代数化简的严谨性。 问题 5 ：你能从图中找出 a 、c 、b 的线段么？ y P F1 O F2 x 师生活动：教师启发学生发现勾股定理的代数关系，引导学生在直角三角形中逐步发现 c 、a 、b ，引进特征三角形的概念; 学生根据老师的引导适时作答。 设计意图：引导学生借助勾股定理，在直角三角形中明确椭圆里 a、 b 、c 的几何意义与数量关系。 教师总结：焦点在 x 轴的椭圆方程： 代数量 a,b,c 的几何意义：直角三角形OPF2 三边长，满足a2 = b2 + c2 ；双根式和是常数的一般化简思路。 问题 6 ：若焦点在y 轴上，则椭圆的标准方程又是什么呢？你能不做具体的推导，给出结果吗？ 师生活动：学生思考后作答；教师从几何和代数两个方向引导学生得出焦点在y 轴的椭圆的标准方程，强调a 和J(y + c)2 + x2 + J(y - c)2 + x2 = 2a 是同构的，化简过程一致，无须重复，并对学生的作答进行点评。 设计意图：帮学生类比迁移，完善椭圆标准方程的知识体系；借几何和代数引导，强化椭圆本质理解与数形结合思维。
教师总结：焦点在y 轴的椭圆方程： 操作活动：教师利用 GeoGebra 动态演示焦点在 x 和y 轴上不同 a、 b 的椭圆，让学生加强对两种方程的直观区分。 4.归纳提升 师生活动：教师展示表格里椭圆（焦点在 x 轴、y 轴上）的不同点与相同点，引导学生观察表格内容，着重让学生思考交流a2 、b2 、c2 之间的关系以及焦点位置的判断方法；学生分享想法。 预设答案：a2 、b2 、c2 之间的关系：a2 = b2 + c2 ；焦点位置的判断方法：x ,y 分母哪个大，焦点就在对应的坐标轴上。 设计意图：通过表格归纳对比，帮助学生系统梳理椭圆（焦点在不同坐标轴上）的知识，强化对a2 、b2 、c2 的关系以及焦点位置判断方法的理解与掌握，提升学生的归纳总结和知识整合能力。
启 思 促 联 精 例题 1970 年 4 月24 日，长征一号运载火箭成功将我国第一颗人造卫星“东方红一号 ”送入预定轨道，轨道近似为椭圆。为了方便计算，科学家们模拟地球球心（其中一个焦点）在(0,－2)点，另一个焦点是(0,2)，太空中某一时刻“东方红一号 ”的位置坐标为 P ( 3/2,5/2)，且将它的运行轨道看成是椭圆。现在需要确定其运行轨道（椭圆）的标准方程。 备 注
师生活动：教师展示例题并要求学生尝试用不同方法解答，投影学
讲 点 拨 生代表的作答过程；学生独立思考动手完成。 设计意图：巩固椭圆定义、标准方程等核心知识，培养学生用数学解决实际问题的能力，同时通过尝试不同方法，加深对定义法和待定系数法求椭圆标准方程的理解与掌握。 教师总结：强调求椭圆标准方程的两种方法：定义法和待定系数法。 变式提升 已知椭圆的标准方程为 ，P 是椭圆上一点，根据本节课所学知识，你能发现哪些结论？（接龙作答） 师生活动：教师展示题目，说明是接龙作答，鼓励学生积极发言。若学生思维受阻，教师可引导学生逐步拓展思考焦点三角形的周长、点P 分别到原点 O 、焦点的距离最值等。 预设答案： 1. a2 = 25，b2 = 16，c2 = 9 ； 2.椭圆的焦距是 6； 3.椭圆的焦点坐标是（－3 ，0）、（3 ，0）；
4.|PF1 | + |PF2 | =10； 5.连接 PF1 、 PF2 ，三角形 PF1F2 的周长是 16； 6.延长 PF2 使其与椭圆相较于 Q 点，，三角形 PF1Q 的周长是20；延长 PF1 使其与椭圆相较 M 点，三角形 PMF2 的周长也是20（教师引导学生概括一般结论）； 7.教师启发学生思考角 P 的变化、点 P 分别到 F1 和 O 的距离的最值、以及三角形 PF1F2 面积这些问题，可以不做出判断。 设计意图：变式训练通过接龙形式激发课堂活力，全面覆盖椭圆知识的探究并进行拓展。
检 测 巩 固 归 纳 提 升 1.设F1, F2 为定点， F1F2 = 8，动点 M满足 MF1 + MF2 = 6，则M的轨迹是 ( ) A 、椭圆 B 、线段 C 、射线 D 、不存在 2.求满足a = 5，c = 3的椭圆标准方程. 答案：1.D 2. 预设师生活动：学生独立完成检测题，教师公布答案，学生核对。如果时间不够，学生课下完成。 设计意图：检测学生对椭圆定义及标准方程的掌握情况，及时反馈学习效果，巩固重点知识。 小结： 师生活动：学生回顾本节课知识、方法、思想和研究思路等，教师点评并引导完成。 设计意图：通过梳理知识要点，帮助学生系统归纳椭圆的核心知识。提炼类比、数形结合等思想方法。同时，帮助学生感知数学核心素养，实现从知识掌握到能力提升的过渡。 结束语：最后，送给大家华罗庚先生的一句名言：“数无形时少直觉，形少数时难入微 ”。希望大家在今后的解析几何学习中，始终带着“数形结合 ”的思想，遇到代数问题多画一画，看到几何图形多算一算，让“数 ”与“形 ”成为你们解题路上的得力伙伴。 备 注
布 置 作 业 指 导 预 习 必做：完成教材 49 、52 、53 页练习 探究：验证椭圆的对称性；mx2+ny2=1(m, n>0)是椭圆吗？ 拓展：椭圆的应用——折纸游戏 O 是圆心，F 是圆内点（与 O 不重合），C 是圆上动点，折叠纸片使 C 与 F 重合，然后压出折痕，经过数次重复后......得到此图。为什么折痕会形成椭圆？ 设计意图：从知识、能力到素养三个维度，布置分层作业。帮助学生夯核心知识，深化对椭圆几何性质的理解，培养逻辑推理、分类思辨及知识迁移能力；拓展类折纸游戏则让学生在趣味活动中直观感知椭圆的形成原理，渗透数学建模与直观想象素养的培养。 板书设计： (
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) 圆锥曲线 2.1.1 椭圆及其标准方程 一、定义 二、标准方程
(
推导方程：
例题
)
预习：椭圆及其标准方程（第 2 课时） 备 注
课后反思（课程思政）：
优点： 1.本节课思路清晰：以“追根溯源→提炼概念→方程推导→实例应用 ”为核心环节，同时探究过程的环节设置条理清晰，层层递进； 2.通过 GeoGebra 演示圆锥截线和不同方程形式的椭圆，不仅加深对圆锥曲线和椭圆特征的认识，并且锻炼学生的动手操作能力；AI 视频——椭圆的应用让人眼前一亮； 3.整个课程中始终贯穿几何和代数相结合的方式去探究：如焦点在y 轴的椭圆方程的推导、a 、b、c 的理解、课后小结等；整个课堂能让学生展示成果的，教师坚决不替代：如绘制椭圆、概念深化、动手建系等均让给学生实体演示或投影展示；学生不能独立完
成的，教师辅以引导，也尽力让学生参与成果展示：如推导椭圆的标准方程； 4.“东方红一号 ”卫星轨道例题，以情境为载体，激发学生科技报国的家国情怀；变式提升题是一道开放性题目，将本节课的内容拉到一定的高度。 但教学中仍存在可优化之处： 1. 圆锥曲线概念讲解时，部分学生对圆锥面截线的空间想象能力不足，后续可补充实物模型（如圆锥切割演示教具），增强直观感知； 2. 椭圆应用的视频分享环节，学生参与讨论的深度不足，仅停留在“ 了解椭圆应用 ”层面，未来可设计“小组汇报椭圆在不同领域的应用原理 ”任务，推动学生主动探究知 识与实践的关联，强化知识应用与思政感悟的融合。

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