资源简介

(共20张PPT)
5.2 任意角的三角函数 第一课时
一 用比值定义三角函数
一
用比值定义三角函数
　　如图5.2-1，在平面上建立直角坐标系．以锐角 α 的顶点为原点O，角α的始边为x轴的非负半轴．在α的终边OM上任取不同于原点O的点P(x，y)，则OP的长度为　
　　过点P作x轴的垂线，垂足为D，则在
Rt△OPD中，三边OP，OD，DP之长分别
为r，x，y.
　　由锐角三角函数的定义有：
图5.2-1
一
用比值定义三角函数
　　若在角α的终边OM上另取一点P′(x′，y′)，按照同样的方法构造直角三角形，由相似三角形的知识可以知道：对于确定的角α，上述三个比值不会随点P在α的终边上的位置的变化而变化.因此，把锐角放在直角坐标系中，锐角的三角函数（正弦、余弦、正切）可以用终边上不同于原点的任意一点的坐标来表示.
　　图5.2-2是否可以把这种思想推广到
直角坐标系中任意角的三角函数呢？
图5.2-2
一
用比值定义三角函数
　　如图5.2-2，设α是一个任意角，在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P，利用点P的坐标(x，y)定义：
　　以上三个比值分别称为角α的正弦、余弦、正切．
一
用比值定义三角函数
　　依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的比值 　和 　 与之对应，故正弦和余弦都是角α的函数. 当OM在y轴上，也就是　　　　　(k∈Z)时，x＝0，这时　无意义.除此之外，对于每一个确定的角α，都有唯一确定的比值　与之对应，故正切也是角α的函数．y=sin α， y=cos α， y=tan α 分别叫作角 α 的正弦函数、余弦函数、正切函数.以上三种函数都称为三角函数.由于引入弧度制后，角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，因此三角函数可以看成以实数为自变量的函数.在弧度制下，正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表：
一
用比值定义三角函数
一
用比值定义三角函数
　　　　如图5.2-3，已知角α的终边经过点P(4，－3)，求α的正弦、余弦和正切值．
　解　x＝4，y＝－3，则r＝　　　　　 ＝5，
　所以　　　　　　　　　，
　　　　　　　　　，
例
1
图5.2-3
一
用比值定义三角函数
　　　　求角　 的正弦、余弦和正切值．
　解　在平面直角坐标系中作　　　　　（如图5.2-4），在终边OB上取点P，使OP的长为1.
　　由于点P在第四象限，OP与x轴正方向的夹角
为　　　　　，因此可得点P的坐标为
　　因为r=OP=1，
　　所以
例
2
图5.2-4
一
用比值定义三角函数
　　1.已知角α的终边经过点P(－12，－5)，求α的正弦、余弦和正切值．
　　2.利用三角函数的定义求下列各角的正弦、余弦和正切值．
　　(1) 　；　 (2) π； 　(3) ；　 (4) ；　 (5) ．
练 习
返回目录
二 用有向线段表示三角函数
二
用有向线段表示三角函数
　　在三角函数的定义式中，正弦sin α＝　与余弦cos α＝　的分母都是r.为了简单起见，我们可以取r＝1，即让点P(x，y)在单位圆上，则sin α＝y，cos α＝x. 而x， y都可以作线段来表示.具体作图方法如下：
　　如图5.2-5，设单位圆的圆心为直角
坐标系的原点O，角α的终边与单位圆交
于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D.
(1)
(2)
(3)
(4)
图5.2-5
二
用有向线段表示三角函数
　　由三角函数的定义可知，三角函数值sin α＝y，cosα＝x有正负之分，若仅用线段DP，OD来分别表示它们还不够，需引入方向. 为此，我们规定：
　　将DP看作有方向的线段，D为起点，P为终点：当它指向y轴的正方向时，取正实数值y；当它指向y轴的负方向时，取负实数值y；当它的长度为0时，取零值．在所有的情况下都有
DP＝y＝sin α.
　　由于直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关，以坐标轴的方向来规定有向线段的方向，使得它们的取值与点P的坐标一致.
二
用有向线段表示三角函数
　　同理，我们将OD看作有方向的线段，O为起点，D为终点：当OD指向x轴的正方向时，取正实数值x；当OD指向x轴的负方向时，取负实数值x；当它的长度为0时，取零值．在所有这些情况下都有
OD＝x＝cos α.
　　由单位圆与角α的交点P作出的这条带方向的线段DP，它的方向和长度分别代表了sin α的符号和绝对值，DP代表的实数就是角α的正弦，故DP称为角α的正弦线.同理，我们将有向线段OD称为角α的余弦线.
　　那么，如何用有向线段来表示角α的正切呢？
二
用有向线段表示三角函数
　　由正切函数的定义tan α＝　 可知，只要在角α的终边上取一点T使它的横坐标为1，则纵坐标就等于tan α. 因此，如图5.2-5，过点A(1，0)作单位圆的切线，这条切线垂直于x轴，从而平行于y轴. 如果tan α存在，设该切线与角α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T(1，y1)．
　　根据正切函数的定义与相似三角形的知识，借助有向线段OD，AT，我们有
　　而OA＝1，则有tan α=AT.
　　因此，只要tan α存在，则上述与单位圆相切的有向线段AT代表的实数就是tan α，故AT称为角α的正切线．
　　正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.
二
用有向线段表示三角函数
　　　　利用正弦线、余弦线、正切线研究各象限角的三角函数的符号．
　解　观察图5.2-5中各象限角的三角函数线，可知：
　第一、二象限角的正弦线DP为正向，正弦值为正；第三、四象限角的正弦线DP为负向，正弦值为负．
　第一、四象限角的余弦线OD为正向，余弦值为正；第二、三象限角的余弦线OD为负向，余弦值为负．
　第一、三象限角的正切线AT为正向，正切值为正；第二、四象限角的正切线AT为负向，正切值为负．
例
3
二
用有向线段表示三角函数
　　例3求出的各三角函数在各象限内的符号可用图5.2-6来直观表示：
(1)
(2)
(3)
图5.2-6
　　请用三角函数的定义说明正弦、余弦、正切在各个象限内的符号.
二
用有向线段表示三角函数
　　　　设sin θ <0且tan θ >0，确定θ是第几象限的角.
　解　因为sin θ<0，
　　　所以θ是第三或第四象限的角或终边在y轴负半轴上.
　　　因为tan θ＞0，
　　　所以θ是第一或第三象限的角.
　　　因此满足sin θ<0且tan θ>0的θ是第三象限的角.
例
4
二
用有向线段表示三角函数
　　1．你能从单位圆中的三角函数线得出三角函数的哪些性质？
　　2．作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线．
　　(1) 　； 　　(2) ；　　 (3) ；　　 (4) .
　　3．确定下列各三角函数值的符号：
　　(1) 　　　；　　　　 (2) cos 3；
　　(3) tan 250°；　　 　 (4)
练 习
返回目录
谢谢观看5.2 任意角的三角函数 第1课时 教学设计
【教学目标】
了解任意角三角函数定义形成的过程，掌握任意角三角函数的定义，能够根据其定义求某一角度的三角函数值；
在探究三角函数概念形成的过程中，体会三角函数对于描述周期运动、建立三角函数模型的过程；
在探究过程中，体会知识的产生与发展，体会知识与知识之间的联系，培养学生对于数学的兴趣。
【教学重点】 任意角三角函数的概念，运用定义求三角函数值
【教学难点】 体会任意三角函数与锐角三角函数的联系与区别
【教学方法】 情景教学法、问题驱动教学法、小组讨论法
【教学手段】 教学课件、多媒体、板书
【核心素养】 数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算
【教学过程】
创设情境，引入课题
前面我们学习了角的概念的推广，我们知道，角的大小可以为任意大小，那么任意大小的角的三角函数值会有怎样的特征呢？这节课我们要研究的内容是：任意角的三角函数。
初中阶段，我们是如何定义锐角三角函数的呢？如图，在中，的正弦、余弦、正切值如何表示？
若将放在平面直角坐标系中，则我们有OP所在直线，为终边所在的直线，点P为角的终边上的一点，点P有其相应的坐标（x,y），设，类比锐角三角函数，我们有这样的表达方式：
其中，
归纳探索，形成概念
若在终边OP上再任取一点P撇，函数值会如何？
请问，你能发现什么规律？
对于某一确定的角，在其终边上任取一点，都可以借助这点的坐标来表示该角的函数值，点的位置不会影响函数值，函数值为定值。
我们学习了角的扩充，那么，不同大小的角，其三角函数值会有怎样的变化吗？观察图中，请你猜测，如何求该角的三角函数值？
角的大小不同，函数值自然也会有区别，我们可以借助不同点的坐标的正负和大小定义任意角的三角函数。
因此，我们有如下定义：
我们由几个特殊角发现，任意角的正弦值和余弦值都是可以存在的，但是，当角度为或时，其横坐标为0，此时，根据正切定义，角的正切无意义。推广的更多的角度，当角度为时，正切值无意义。
由此我们完善了三角函数的定义域：
这就是任意角三角函数的定义，我们类比初中的锐角三角函数的定义，推广到高中的任意角的三角函数，确定了可以借助点的坐标来刻画角的三角函数值，实现了知识从初中到高中的连贯性和升华。
掌握证法，适当延展
下面我们进行实战操作，请看这样的例题
我们刚刚学习了利用点的坐标表示三角函数值，这是从代数的角度给三角函数的一种解释。那么从几何的角度，三角函数值有没有相应的图形可以表示呢？答案是肯定的。
我们知道，对于某一确定的角，在其终边上任取一点，都可以借助这点的坐标来表示该角的函数值，点的位置不会影响函数值，函数值为定值。那么，有没有一些较为特殊的位置可以帮助我们，简化计算，简化函数值呢？我们可以借助单位圆定义三角函数值，设角的终边和单位圆的交点为点P（x,y）,则有
所以，
因此，如图所示，可以借助于线段来表示三角函数值：线段OD表示余弦值，线段DP表示正弦值。
我们规定：过点A（1,0）做单位圆的切线，这条切线垂直于x轴，设该切线与角的终边或其反向延长线相较于点T。则线段AT表示该角的正切值。
是否可以用线段完全表示三角函数值呢？根据定义我们知道，不同大小的角度，不同位置的终边所对应的角有不同的坐标，也就意味着函数值有正有负，如何让线段也带有符号呢？我们规定，用有向线段，表示三角函数值，与x轴或者y轴的正方向同向，则为正值，反之，函数值为负值。如下图：
角的终边与单位圆的交点在第二象限，因此横坐标为负，纵坐标为正，两坐标比值为负。因此，图中有向线段DP表示正弦值，方向与y轴正方向相同，函数值为正；有向线段OD表示余弦值，方向与x轴正方向相反，函数值为负；有向线段AT表示正切值，方向与y轴正方向相反，函数值为负。
根据以上，你会借助三角函数线表示三角函数值了吗？请你标出终边落在第三、四象限的角的三角函数线，并用不同颜色笔标注出来。
因此，我们有三角函数线：
例3：请你根据三角函数线，判断各个象限的三角函数值的符号
四、归纳小结，提高认识
1、本节课你获得了哪些新知识？
2、你认为新知识与旧知识之间的联系与区别是什么？
3、你认为我们可以借助新知识解决哪些问题？
本节课我们借助了点的坐标以及单位圆，从代数的角度，建立了一般三角函数的概念，同时，也从几何的角度，借助三角函数线，定义三角函数值，更加直观明确。
我们知道，在初中的时候，学习的角的范围有限，因此我们只学习了锐角三角函数，而在今天，我们将角扩充到了任意角，知识自然也因此而拓展和迁移，我们利用新的背景，新的方法，定义了任意角的三角函数，知识更加充实，体系更加完整，这就是我们学习知识的过程，不断地扩充和发展。
在学习的过程中，我们类比了初中学习锐角三角函数的内容，加以扩充；我们借助图形帮助我们更加直观的理解基本概念，使用了数形结合的数学方法；我们由特殊角，特殊象限的特征，归纳总结出三角函数的定义以及三角函数线的定义；当然，我们运用定义，计算一些角的三角函数值，不但锻炼了我们转化的能力，还提高了运算能力。
三角函数是一类最典型的周期函数，生活中有很多实例也与之相关，例如，摩天轮，水车，钟摆等等。我们今后还会借助着学习的知识，解决相关的实际问题，实现数学来源于生活，也应用于生活。

展开更多......

收起↑