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第十八章 分式
18.2 分式的乘法与除法
（第1课时）
1．掌握分式的乘法法则，能进行分式的乘法运算．
2．掌握分式的除法法则，能进行分式的除法运算．
1．什么是分式的约分？
2．什么是最简分式？
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分．
分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式．
与学习了整式的概念后要学习整式的运算类似，学习了分式的概念，接下来也要学习分式的运算．分式与分数具有类似的形式，我们可以类比分数的运算法则认识分式的运算法则．
思考：你还记得分数的乘除法法则吗？类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？
分数的乘法法则：分数乘分数，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，能约分的要先约分．
分数的除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．
分式乘法法则
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
分式除法法则
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
用式子表示为
，
．
例1：计算．
（1）； （2）．
解：（1）＝＝；
（2）
＝
＝．
运算结果应化为最简分式．
分式乘、除本一家，一变一倒求除法
分式的除法运算抓住“一变一倒”，即变除法为乘法，把除式的分子、分母颠倒位置．如果除式是整式，应先把它的分母看成1，再把分子、分母颠倒位置．
例2：计算．
（1）； （2）．
分析：分子、分母是多项式时，通常先分解因式，再约分．
解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝．
例3：如图所示，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am(a＞1)的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a－1)m的正方形，两块试验田都收获了500kg小麦．
（1）哪种小麦的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
因为a＞1，
所以(a－1)2－(a2－1)＝(a2－2a＋1)－(a2－1)＝－2(a－1)＜0，
即(a－1)2＜a2－1．
解：（1）“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2－1)m2，单位面积产量是kg/m2；“丰收2号”小麦的试验田面积是(a－1)2m2，单位面积产量是kg/m2．
因为a＞1，
所以(a－1)2＞0，a2－1＞0．
由图可得(a－1)2＜a2－1．
所以．
所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量高．
（2）．
所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍．
【知识技能类练习】必做题：
1．计算：（ ）
A．1 B．a C． D．
D
【知识技能类练习】必做题：
2．长春公园为美化校园种植了一批树苗，已知树苗总数为棵，若平均分给个班级，则每个班级分得的树苗数为（ ）
A． B． C． D．
B
【知识技能类练习】必做题：
3．计算：
(1)； (2)．
解：（1）原式；
（2）原式．
【知识技能类练习】选做题：
4．先化简：，再从1，2，3中选择一个恰当的数作为x的值代入求值．
解：原式，
要使分式有意义，
，且，
所以且，所以只能取，
当时，原式．
【综合拓展类练习】
5．正数范围内定义一种运算“”，其规律是，则 ．
解：根据题意得：
．
故答案为：．
分式的乘法与除法
分式的除法法则
分式的乘法法则
【知识技能类作业】必做题：
1．在下列四个算式中：
①；②；③；④；
最后计算结果是分式的是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．③④
A
【知识技能类作业】必做题：
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
D
【知识技能类作业】必做题：
3．计算：
(1)；(2)；(3)．
解：（1）原式 ；
（2）原式 ；
（3）原式 ．
【知识技能类作业】选做题：
4．在化简后，要求在，1，0，2中取一个数再求值，只能取 ．
2
解：
∵，
∴，
在化简过程中，消去了，
因此．因此，只能取2．
【综合拓展类作业】
5．警犬日常训练中在跑一段山坡，上山速度是80米/分，到达山顶后再下山，下山的速度是上山速度的3倍，如果上、下山的路程相同，那么警犬跑这段山路的平均速度是 __________.
120米/分
解：设上山的路程为，
则由题意得，平均速度为(米/分)，
故答案为：120米/分．中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 18.2 分式的乘法与除法（第1课时） 单元 第十八章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．掌握分式的乘法法则，能进行分式的乘法运算． 2．掌握分式的除法法则，能进行分式的除法运算．
重点 分式乘除法的法则及其应用．
难点 分子、分母是多项式的分式乘除运算．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．什么是分式的约分？ 2．什么是最简分式？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助分数的乘除法的运算法则，研究分式的乘除法运算法则。 思考：你还记得分数的乘除法法则吗？类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？ 归纳：类似于分数，分式有： 分式乘法法则： 分式乘分式，用分子的______作为积的______，分母的_____作为积的______． 分式除法法则： 分式除以分式，把除式的分子、分母_______位置后，与被除式______． 用式子表示为： ， ． 例1：计算． （1）； （2）． 注意：运算结果应化为最简分式． 归纳：分式乘、除本一家，一变一倒求除法 分式的除法运算抓住“一变一倒”，即变除法为乘法，把除式的分子、分母颠倒位置．如果除式是整式，应先把它的分母看成1，再把分子、分母颠倒位置． 例2：计算． （1）； （2）． 分析：分子、分母是多项式时，通常先__________，再________． 例3：如图所示，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am(a＞1)的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a－1)m的正方形，两块试验田都收获了500kg小麦． （1）哪种小麦的单位面积产量高？ （2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．计算：（ ） A．1 B．a C． D． 2．长春公园为美化校园种植了一批树苗，已知树苗总数为棵，若平均分给个班级，则每个班级分得的树苗数为（ ） A． B． C． D． 3．计算： (1)； (2)． 选做题： 4．先化简：，再从1，2，3中选择一个恰当的数作为x的值代入求值． 【综合拓展类练习】 5．正数范围内定义一种运算“”，其规律是，则 ．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在下列四个算式中： ①；②；③；④；最后计算结果是分式的是（ ） A．①④ B．①③ C．②④ D．③④ 2．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 选做题： 4．在化简后，要求在，1，0，2中取一个数再求值，只能取 ． 【综合拓展类作业】 5．警犬日常训练中在跑一段山坡，上山速度是80米/分，到达山顶后再下山，下山的速度是上山速度的3倍，如果上、下山的路程相同，那么警犬跑这段山路的平均速度是____________.
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分课时教学设计
第四课时《18.2 分式的乘法与除法（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 分式的乘法与除法是分式的核心运算内容，承接上一节分式的概念，是分式运算体系的基础，也为后续分式的加减、乘方及分式方程的学习奠定运算基础．
学习者分析 学生已掌握分数乘除法法则和整式运算，具备“数→式”的认知迁移基础，能通过类比理解分式乘除法的核心逻辑．但学生对多项式因式分解的熟练度存在差异，部分学生可能在处理分子分母为多项式的分式运算时，出现因式分解不完整或约分不彻底的问题；同时，分式除法中“颠倒除式分子分母”的转化步骤易被忽略，符号处理也易出错．此外，学生虽有一定的数学应用意识，但将实际问题转化为分式运算模型的能力仍需引导．
教学目标 1．掌握分式的乘法法则，能进行分式的乘法运算． 2．掌握分式的除法法则，能进行分式的除法运算．
教学重点 分式乘除法的法则及其应用．
教学难点 分子、分母是多项式的分式乘除运算．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．掌握分式的乘法法则，能进行分式的乘法运算． 2．掌握分式的除法法则，能进行分式的除法运算．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．什么是分式的约分？ 答案：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分． 2．什么是最简分式？ 答案：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式． 导言：与学习了整式的概念后要学习整式的运算类似，学习了分式的概念，接下来也要学习分式的运算．分式与分数具有类似的形式，我们可以类比分数的运算法则认识分式的运算法则．学生活动2： 学生积极回答老师提出的问题活动意图说明： 通过复习分式的约分及最简分式的概念，为学习分式的乘除法运算做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 思考：你还记得分数的乘除法法则吗？类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？ 预设：分数的乘法法则：分数乘分数，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，能约分的要先约分． 分数的除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数． 讲解：类似于分数，分式有： 分式乘法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 分式除法法则： 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 用式子表示为： ， ． 例1：计算． （1）；（2）． 解：（1）＝＝； （2） ＝ ＝． 注意：运算结果应化为最简分式． 归纳：分式乘、除本一家，一变一倒求除法 分式的除法运算抓住“一变一倒”，即变除法为乘法，把除式的分子、分母颠倒位置．如果除式是整式，应先把它的分母看成1，再把分子、分母颠倒位置． 例2：计算． （1）；（2）． 分析：分子、分母是多项式时，通常先分解因式，再约分． 解：（1） ＝ ＝ ＝； （2） ＝ ＝． 例3：如图所示，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am(a＞1)的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a－1)m的正方形，两块试验田都收获了500kg小麦． （1）哪种小麦的单位面积产量高？ （2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 解：（1）“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2－1)m2，单位面积产量是kg/m2；“丰收2号”小麦的试验田面积是(a－1)2m2，单位面积产量是kg/m2． 因为a＞1， 所以(a－1)2＞0，a2－1＞0． 由图可得(a－1)2＜a2－1． 所以． 所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量高． （因为a＞1， 所以(a－1)2－(a2－1)＝(a2－2a＋1)－(a2－1)＝－2(a－1)＜0， 即(a－1)2＜a2－1．） （2）． 所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍．学生活动3： 学生先独立思考，然后小组合作探究，班内交流后认真听老师的点评与讲解活动意图说明： 通过思考分数的乘除法法则引导学生类比得出分式乘除法的运算法则，引导学生运用符号语言表达法则，加深学生对法则本身的理解，锻炼学生的数学表达能力．通过例1与例2让学生熟悉分式的乘除法运算，提高学生的运算能力．通过例3锻炼学生用分式乘除法解决生活中的实际问题的能力．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：18.2分式的乘法与除法（第1课时）一、分式的乘法法则 二、分式的除法法则教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．计算：（ ） A．1 B．a C． D． 答案：D 2．长春公园为美化校园种植了一批树苗，已知树苗总数为棵，若平均分给个班级，则每个班级分得的树苗数为（ ） A． B． C． D． 答案：B 3．计算： (1)； (2)． 解：（1）原式； （2）原式． 选做题： 4．先化简：，再从1，2，3中选择一个恰当的数作为x的值代入求值． 解：原式， 要使分式有意义，，且， 所以且， 所以只能取， 当时，原式． 【综合拓展类练习】 5．正数范围内定义一种运算“”，其规律是，则 ． 答案： 解：根据题意得： ． 故答案为：．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在下列四个算式中： ①；②；③；④；最后计算结果是分式的是（ ） A．①④ B．①③ C．②④ D．③④ 答案：A 2．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 3．计算： (1)； (2)； (3)． 解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 选做题： 4．在化简后，要求在，1，0，2中取一个数再求值，只能取 ． 答案：2 解： ∵， ∴， 在化简过程中，消去了， 因此． 因此，只能取2． 故答案为：2． 【综合拓展类作业】 5．警犬日常训练中在跑一段山坡，上山速度是80米/分，到达山顶后再下山，下山的速度是上山速度的3倍，如果上、下山的路程相同，那么警犬跑这段山路的平均速度是 答案：120米/分 解：设上山的路程为， 则由题意得，平均速度为(米/分)， 故答案为：120米/分．
教学反思 本课通过类比分数法则推导分式法则，多数学生能理解核心运算逻辑，但在多项式分式运算中，部分学生因因式分解不熟练导致约分受阻，暴露了前期整式因式分解知识掌握不牢固的问题．此外，分式除法“颠倒除式分子分母”的步骤仍有学生遗忘，符号错误也较常见．实际应用环节，少数学生难以将文字信息转化为分式模型．后续需补充因式分解专项复习，通过对比练习强化除法转化要点，增加实际问题的分步引导，帮助学生突破薄弱环节，提升运算准确性与建模能力．
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