资源简介

10.1　平方根和立方根
1.平方根
第1课时　平方根
课题 第1课时　平方根 授课人
教 学 目 标 1.了解平方根的概念,会求一个简单的数的平方根. 2.了解平方根的性质. 3.在概念形成过程中,让学生体会知识的来源与发展,提高学生的思维能力.在合作交流等活动中,培养他们的合作精神和创新意识. 4.能用平方根的概念及性质解决有关问题. 5.让学生积极参与教学活动,培养他们对数学的好奇心和求知欲.
教学 重点 　　了解平方根的概念、性质.
教学 难点 　　利用平方根的定义和性质求解一些问题.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 学校要举行金秋美术作品比赛,小欣很高兴,他想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布,画上自己的得意之作用来参加比赛,这块正方形画布的边长应是多少分米呢 (多媒体出示正方形图片) (1)学生独立思考,可适当提醒学生,能不能找到一个有理数的平方等于25. (2)也可以用列方程的形式解决问题,归结为求x2=25中的x. (3)还有没有其他有理数的平方也等于25呢 　　通过熟悉的问题情境,求正方形的边长,这是小学问题的引申,后面的追问涉及本节的重要内容,由此引出本课时知识较为自然.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 平方根的概念 (多媒体出示) 总结:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根. 常用表示:若x2=a(a≥0),则x叫做a的平方根. 【探究2】 平方根的性质 问题:一个正数有几个平方根 0的平方根是多少 -4是否有平方根 学生讨论得出:一个正数有两个平方根,它们互为相反数,0的平方根是0,负数没有平方根. 　　通过学生的自主学习及回答问题,引导学生形成“平方根”的概念,并让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化.教师应关注学生能否准确地用语言表达平方根的概念,以此培养学生自学、观察、分析的能力及归纳总结的能力.
【应用举例】 例1　求100的平方根. 变式　求下列各数的平方根: (1)0;(2)81;(3)0.01;(4)1. 　　运用理论知识,结合实践进行解题训练.利用两者的结合,指导学生学以致用.
【拓展提升】 例2　根据平方根的意义,求下列各式中x的值. (1)x2=0.25;(2)x2-144=0;(3)4x2=49;(4)25x2-36=0. 分析:(1)∵(±0.5)2=0.25,∴x=±0.5;(2)可以转化为x2=144;(3)可以转化为x2=;(4)可以转化为x2=.然后依照(1)的形式进行计算,在变形的时候可以类比解一元一次方程的变形. 例3　已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的平方根是±4,求a和b的值. 例4　自由下落的物体的高度h(米)与下落时间t(秒)的关系式为h=4.9t2.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落,到达地面需要多长时间 　　使学生通过所学的这部分知识,在原来的基础上拓宽、提升,并结合已学的知识,达到综合应用的目的.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标检测】 1.下列各数中,哪些有平方根 并说出它们的平方根各是什么. (1)64;(2)0;(3);(4);(5)-16;(6). 2.给出下列各数:49,,0,-4,-,-,-,其中有平方根的数共有 (　　) A.3个　　　B.4个　　　C.5个　　　D.6个 　　当堂检测,及时反馈学习效果.
活动 三: 课堂 总结 反思 3.如果一个正数的两个平方根分别为a+1和2a-7,请你求出这个正数. 4.在户外活动中,刺激度排名榜首的是“蹦极”(如图10-1-1所示).“蹦极”就是跳跃者站在高约40米以上(相当于10层楼高)的跳台上,把一端固定的长长的橡皮条绑牢跳下,跳跃者在空中享受“自由落体”(已知自由下落物体的高度s(米)与下落时间t(秒)的关系式为s=4.9t2).如果“蹦极”运动起跳点的高度为44.1米,那么跳跃者在空中能享受多长时间的“自由落体” 图10-1-1
【知识网络】 平方根 　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 要想让学生正确、牢固地树立平方根的概念,需要由浅入深、不断深化.概念是由具体到抽象、由特殊到一般,经过分析、综合去掉非本质特征,保持本质属性而形成的.概念的形成过程也是思维过程,加强概念形成过程的教学,对提高学生的思维水平是很有必要的.概念教学过程中要做到:讲清概念,加强训练,逐步深化. ②[讲授效果反思] 这节课的重点是平方根的概念教学和用求平方的运算求平方根,在讲解概念时应注意概念的自然引导和对概念的解释,特别是在x2=a中,x是a的平方根,这一点一定要强调清楚. ③[师生互动反思] 通过师生间频繁的互动,使学生深刻理解平方根的概念,准确表述,并通过练习巩固掌握. ④[习题反思] 好题题号　 错题题号　 　　反思,更进一步提升.
第2课时　算术平方根
课题 第2课时　算术平方根 授课人
教 学 目 标 1.了解算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根. 2.了解算术平方根的性质. 3.了解开平方运算. 4.计算器的使用. 5.在概念形成过程中,让学生体会知识的来源与发展,提高学生的思维能力.在合作交流等活动中,培养他们的合作精神和创新意识. 6.经历算术平方根及其性质的产生过程,能用概念及性质解决有关问题. 7.通过实际问题的解决,让学生体验数学与生活实际是紧密联系的. 8.通过探究活动,培养学生的动手能力,锻炼学生克服困难的意志,建立自信心,提高学习热情. 9.通过学习算术平方根,建立初步的数感和符号感,发展抽象思维,培养学生运用逆向思维的方法去解决实际问题的能力.
教学 重点 　　了解算术平方根的概念、性质,会用根号表示一个正数的算术平方根.
教学 难点 　　对算术平方根的概念和性质的理解.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 请同学们回答: 1.什么数的平方是49 2.平方得81的数有几个 分别是多少 3.一对互为相反数的数的平方有什么关系 4.什么叫平方根 平方根有什么性质 　　复习平方根的概念,为引出算术平方根做准备.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 问题:13的平方根是多少 教师在学生思考后可提示:是否存在这样的有理数,它的平方等于13 　　没有这样的有理数,只好引入新的记号,为引入算术平方根做铺垫.
活动 二: 探究 与 应用 【探究】 算术平方根的概念 (多媒体出示)问题1:你能根据132=169说出169的算术平方根是什么吗 记作什么 若122=144,则144的算术平方根是什么呢 记作什么 问题2:你能根据x2=7说出7的算术平方根是什么吗 记作什么 在y2=11中,y所表示的数又是什么呢 总结:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根,记为“”,读作“根号a”.a的另一个平方根是的相反数,即-.因此,正数a的平方根可以记为±,其中a称为被开方数. 　　学生根据定义和乘方算式能说出一个正数的算术平方根,体会算术平方根的概念,并初步感知平方运算和求非负数的平方根的运算是互逆的.
【应用举例】 例1　求下列各数的算术平方根: (1)900;(2)1;(3);(4)14;(5)29;(6). 解:(1)因为302=900,所以900的算术平方根是30,即=30. (2)因为12=1,所以1的算术平方根是1,即=1. (3)因为()2=,所以的算术平方根是,即=. (4)14的算术平方根是. (5)29的算术平方根是. (6)因为()2=,所以的算术平方根是. 问题:你们现在会求x2=2,y2=3,z2=5中的x,y,z的值了吗 归纳:算术平方根的性质: 一个正数的算术平方根是　　　　数;0的平方根只有一个,也叫做0的算术平方根,记作,即=0;　　　　数没有算术平方根. 变式一　求下列各式的值: ,,,. 变式二　如果一个数的算术平方根是,那么这个数是　　　　. 变式三　(-6)2的算术平方根是 (　　) A.-6　　　　　B.36　　　　　C.±6　　　　　D.6 变式四　如果=1.5,那么y的值是 (　　) A.2.25 B.22.5 C.2.55 D.25.5 　　1.体验求一个正数的算术平方根的过程,利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法,让学生明白有些正数的算术平方根可以开出来,有些正数的算术平方根只能用根号表示,如14的算术平方根是. 2.变式练习旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况,以便调整教学进程.练习注意了问题的梯度性,由浅入深,一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识.
活动 二: 探究 与 应用 问题:负数有平方根吗 引出开平方的概念:求一个非负数的平方根的运算,叫做开平方. 例2　将下列各数开平方: (1)49;(2). 例3　用计算器求下列各数的算术平方根: (1)529;(2)44.81(精确到0.01). 　　3.让学生知道平方的逆运算是开平方. 4.例3是了解用计算器求算术平方根.
【拓展提升】 例4　的算术平方根为　　　　;的算术平方根是　　　　. 例5　若=2,则(m+2)2=　　　　. 例6　算术平方根等于它本身的数为　　　　. 例7　若已知+=0,则x-y的算术平方根为　　　　. 　　使学生通过所学的新知识,在原来的基础上有所拓宽和提升,并能与过去的知识相结合,达到综合应用的目的.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标检测】 1.求下列各数的算术平方根:36,,15,0.64,. 2.已知+=0,求yx的算术平方根. 　　当堂检测,及时反馈学习效果.
【板书设计】 区别平方根算术平方根定义不同如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根个数不同正数有两个平方根正数的算术平方根只有一个表示方法不同±结果不同正数的平方根一正一负,互为相反数正数的算术平方根只有一个,为正数
　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念,需要由浅入深、不断深化.概念是由具体到抽象、由特殊到一般,经过分析、综合去掉非本质特征,保持本质属性而形成的.概念的形成过程也是思维过程,加强概念形成过程的教学,对提高学生的思维水平是很有必要的.在教学过程中要做到:讲清概念,加强训练,逐步深化. ②[讲授效果反思] 这节课的重点是算术平方根的概念教学和正数的算术平方根的求法,在讲解概念时应注意对概念的自然引导和对概念的解释,注意平方根与算术平方根的区别与联系,这里一定要强调清楚. ③[师生互动反思] 通过师生间频繁的互动,使学生深刻理解算术平方根的概念,准确表述,并通过练习巩固掌握. ④[习题反思] 好题题号　 错题题号　 　　反思,更进一步提升.
2.立方根
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课题 2.立方根 授课人
教 学 目 标 1.了解立方根的概念,会用根号表示一个数的立方根. 2.会用立方运算求一个数的立方根,了解开立方与立方互为逆运算. 3.了解立方根的性质,并学会用计算器去计算一个数的立方根的近似值. 4.区分立方根与平方根的不同. 5.领会并掌握采用类比的方法去学习平方根和立方根的思想. 6.通过对立方根的探究过程,学会解决有关立方根问题的一些基本方法和策略. 7.通过对立方根概念及其性质的探究,培养学生分类讨论的思想和逆向思维的能力. 8.在立方根概念、符号、运算及性质的探究过程中,培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神. 9.学生通过对实际问题的解决,体会数学的实用价值.
教学 重点 　　立方根的概念和性质,会求某些数的立方根.
教学 难点 　　立方根的求法,立方根与平方根的联系与区别.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 提问:(1)平方根的概念是什么 如何用符号表示数a(a≥0)的平方根 (2)正数的平方根有几个 它们之间的关系是什么 负数有没有平方根 0的平方根是什么 (3)平方和开平方运算有何关系 (4)算术平方根和平方根有何区别和联系 强调:一个正数的平方根有两个,它们互为相反数;负数没有平方根;0的平方根是0. 　　通过让学生回顾平方根的相关内容,为进一步研究立方根的概念及性质做好铺垫,因为平方根和立方根有很多相似之处,让学生学会利用类比的方法学习立方根.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 　　羊村慢羊羊村长中秋节想送一些月饼给包包大人和附近的邻居,让小羊们制作一种体积为27 dm3的正方体包装礼盒,它的棱长要取多少 你是怎么求出来的 　　利用学生感兴趣的动画事物引入立方根的概念,提高学生的学习兴趣,激发学生的求知欲,同时也为概念引入做准备,并渗透从特殊到一般的规律.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 立方根的定义 如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的　　　　. 因为33=27,所以　　　　是27的立方根;-是-的　　　　. 【探究2】 开立方的定义 问题1:什么叫开平方 问题2:类似开平方的定义,你能给出开立方的定义吗 求一个数的立方根的运算,叫做开立方. 【探究3】 立方根的性质 问题1:2的立方等于多少 是否有其他的数,它的立方也等于2的立方 问题2:-3的立方等于多少 是否有其他的数,它的立方也等于-3的立方 问题3:0的立方等于多少 0有几个立方根 问题4:正数有几个立方根 0有几个立方根 负数有几个立方根 归纳:正数有一个正的立方根,负数有一个负的立方根,0的立方根是0. 【探究4】 立方根的表示 如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根.数a的立方根,记作,读作“三次根号a”. 　　1.学生独立思考后小组内进行讨论,对比归纳得出立方根的性质.
活动 二: 探究 与 应用 【探究5】 平方根与立方根的区别与联系 问题:学方根与立方根的定义,请大家说说它们的联系与区别(填写表格). 平方根立方根定义表示方法性质
(多媒体出示表格) 平方根立方根定义如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根表示方法±(a≥0)性质1.正数a有两个平方根,它们互为相反数.如:4的平方根为+2和-2,即±=±21.正数a只有一个立方根,它仍为正数.如:8的立方根为2,即=22.0的平方根是0, 即=02.0的立方根是0, 即=03.负数a没有平方根3.负数a只有一个立方根,它仍为负数. 如:-8的立方根为-2,即=-2
　　2.表格由学生填写完整,这样可以清晰地看出平方根和立方根的区别. 3.平方根和立方根是两个不同的概念,明确它们的不同是必要的,表格为学生类比平方根研究立方根提供平台.
【应用举例】 例1　求下列各数的立方根: (1);(2)-125;(3)-0.008. 变式一　求下列各数的立方根: (1)-27;(2);(3)3;(4)0.008. 解:(1)因为(-3)3=-27,所以-27的立方根是-3, 即=-3. (2)因为()3=,所以的立方根是, 即=. (3)因为()3==3,所以3的立方根是,即=. (4)因为0.23=0.008,所以0.008的立方根是0.2,即=0.2. 　　让学生进一步理解立方根的概念,规范解题格式,了解用计算器计算立方根,了解用一个有限小数来表示一个数的立方根.
活动 二: 探究 与 应用 变式二　计算:(1);(2);(3)-. 解:(1)==-2. (2)==0.4. (3)-=-=-. 例2　用计算器求下列各数的立方根: (1)1331;(2)9.263(精确到0.01). 变式　计算器按键顺序是,其结果为　　　　.
【拓展提升】 例3　的平方根是　　　　. 例4　计算:=　　　　,()3=　　　　. 例5　若=2,则x=　　　　. 例6　已知某圆柱体的体积V=πd3(d为圆柱的底面直径). (1)用V表示d; (2)当V=110 cm3时,求d的值. 例7　(1)观察下表,你能得到什么规律 n0.0088800080000000.2220200
(2)请你用计算器求出精确到0.001的近似值,并利用这个近似值根据上述规律,求出和的近似值. 　　灵活应用立方根的有关知识解决问题,提升能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标检测】 1.判断正误: (1)-4没有立方根; (　　) (2)1的立方根是±1; (　　) (3)的立方根是; (　　) (4)-5的立方根是-. (　　) 2.求下列各式的值: ;-;. 3.-的立方根是　　　　.(可用计算器辅助计算) 4.求下列各式中x的值: (1)x3=-0.027;(2)3(x-4)3-648=0. 5.已知+|b3-27|=0,求(a+b)b的值. 　　及时获知学生对所学知识的掌握情况,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的.
活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课通过一个有趣的问题引入,让学生感受获取新知识的必要性,激发学生的求知欲望.类比平方根,引导学生探究立方根的相关知识,使学生顺理成章地学习立方根的概念、性质和运算. ②[讲授效果反思] 课堂中给足学生思考、计算的时间,让学生在原有的基础上自主完成新知识的建构.重点理解立方根的概念及其性质,同时注意与平方根的区别与联系. ③[师生互动反思] 从课堂发言和练习来看,学生对立方根的理解比较到位,相对平方根来说较好. ④[习题反思] 好题题号　 错题题号　 　　反思,更进一步提升.

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