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11.3　乘法公式
1.两数和乘以这两数的差
课题 1.两数和乘以这两数的差 授课人
教 学 目 标 1.会推导平方差公式,并且懂得运用平方差公式进行简单计算. 2.经历探索特殊形式的多项式乘法的过程,发展学生的符号感和推理能力,使学生逐渐掌握平方差公式. 3.探究平方差公式的应用,并熟练地应用于多项式乘法之中. 4.通过合作学习,体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性,体验数学活动充满着探索性和创造性.
教学 重点 　　平方差公式的推导和运用以及对平方差公式的几何背景的了解.
教学 难点 　　平方差公式的应用.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 在前面我们学习了多项式乘以多项式.大家回顾一下它的计算方法,并完成下面的练习. 计算: (1)(x+2)(x+3);(2)(x-1)(x+2);(3)(x+2)(x-2); (4)(x+5)(x+5);(5)(x-5)(x-5);(6)(x2+2x+3)(2x-5). 　　学生回忆并回答.通过计算练习题为本节课做知识储备.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 计算: (1)(x+2)(x-2);(2)(1+3a)(1-3a); (3)(x+5y)(x-5y);(4)(y+3z)(y-3z). 完成之后,观察以上算式及运算结果,你能发现什么规律 再举两个例子验证你的发现. 　　从学生已有的知识出发,利用多媒体,激发学生强烈的好奇心和求知欲.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 平方差公式 [学生活动] 分四人小组合作学习,获得以下结果: (1)(x+2)(x-2)=x2-4; (2)(1+3a)(1-3a)=1-9a2; (3)(x+5y)(x-5y)=x2-25y2; (4)(y+3z)(y-3z)=y2-9z2. [教师活动] 请一位学生上台演示,然后引导学生仔细观察以上算式及其运算结果,寻找规律. [学生活动] 讨论. [教师引导] 刚才同学们从上述算式中找到了这一组整式乘法的结果的规律,这些是一类特殊的多项式乘法,那么如何用字母表示刚才同学们所归纳出来的特殊多项式相乘的规律呢 [学生回答] 可以用(a+b)(a-b)表示左边,那么右边就可以表示成a2-b2了,即(a+b)(a-b)=a2-b2. 用语言描述就是:两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差. [教师活动] 表扬学生的探索精神,引出课题——平方差公式,并说明这是一个平方差公式和公式中的字母含义. 关键:弄清平方差公式的结构特点,左边:(1)两个二项式的积;(2)两个二项式的其中一项相同,另一项互为相反数.右边:(1)二项式;(2)两个因式中相同项的平方减去互为相反数的项的平方. 【探究2】 了解平方差公式的几何意义 观察图11-3-2,用等式表示图中图形面积的运算: 图11-3-2 　　1.由特殊到一般,让学生学会归纳,同时培养学生的合作意识. 2.教学中注意培养学生的数形结合思想:认识平方差公式的几何意义.
【应用举例】 例1　计算: (1)(a+3)(a-3);(2)(2a+3b)(2a-3b); (3)(1+2c)(1-2c);(4)(-2x-y)(2x-y). 注意公式的变化形式: (1)(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2. (2)(-a-b)(a-b)=[(-b)-a][(-b)+a] =(-b)2-a2=b2-a2. (3)(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2) =(a2)2-(b2)2=a4-b4. [强化训练] 计算: (1)(2x+)(2x-);(2)(-x+2)(-x-2); (3)(-2x+y)(2x+y);(4)(y-x)(-x-y). 通过做题,应该总结出:在两个因式中,符号相同的一项作a,符号不同的一项作b. 　　1.例1抓住平方差公式的本质特征是正确应用公式计算的关键.
活动 二: 探究 与 应用 例2　计算:1998×2002. [强化训练] 计算: (1)498×502;(2)999×1001. 例3　如图11-3-3,街心花园有一块边长为a m的正方形草坪(a>2),经统一规划后,南北向增加2 m,东西向减少2 m.改造后得到一块长方形草坪.求这块长方形草坪的面积. 图11-3-3 [强化训练] 用一定长度的篱笆围成一个长方形区域,小明认为围成一个正方形区域可使面积最大,而小亮认为不一定,你认为如何 说说你的道理. 　　2.例2运用平方差公式计算可使运算简便. 3.例3运用平方差公式解决实际问题,注意结果要带单位.
【拓展提升】 例4　计算: (1)(y+x)(x-y); (2)(-x-0.7a2b)(x-0.7a2b); (3)(2a-3b)(2a+3b)(4a2+9b2)(16a4+81b4). 例5　运用乘法公式计算:7×8. [思路点拨] 因为7可改写为8-,8可改写成8+,这样可用平方差公式计算. [教师活动] 边讲解边引导学生学会应用平方差公式. 例6　计算:×…×. [教师活动] 教师引导学生进行探索,必要时进行适当的启发和提示. 　　1.知识的综合与拓展,提高学生的应考能力. 2.及时巩固拓展新知识点,同时引出公式的广泛用途.
活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂小结】 本节课的内容是两数和与这两数差的积,公式指出了具有特殊关系的两个二项式积的性质.运用平方差公式的关键是找出公式中的a,b. 　　通过总结可以让学生更深刻地理解公式,体会公式中的a,b分别表示什么.
【达标检测】 1.用平方差公式计算: (1)(-9x-2y)(-9x+2y); (2)(-0.5y+0.3x)(0.5y+0.3x); (3)(8a2b-1)(1+8a2b);(4)20152-2016×2014. 2.计算:(a+b)(a-b)-(3a-2b)(3a+2b). [教师活动] 请部分学生上讲台“板演”,然后组织学生交流. [学生活动] 先独立完成课堂演练,再与同伴交流. 3.计算:(1)105×95;(2)1.97×2.03. [教师活动] 组织学生进行课堂演练,并适时归纳. [学生活动] 先独立完成上面的演练题,再与同伴交流. 4.计算:(1+)(1+)(1+)(1+)+. 　　采用“精讲、精练”分层递推的教学方法,让学生在训练中熟练掌握平方差公式的特征.
活动 三: 课堂 总结 反思 【板书设计】 (a+b)(a-b)=a2-b2
(□+△)(□-△)=□2-△2 　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 引导学生用自己的语言叙述所发现的规律,允许学生之间互相补充,教师不要急于概括. ②[讲授效果反思] 平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式,在教学中首先应让学生思考:你能发现什么吗 让学生经历观察、比较、归纳、提出猜想的过程. ③[师生互动反思] 教学中教师要帮助学生对照公式找特点,注意培养学生的观察能力. ④[习题反思] 好题题号　 错题题号　 　　反思,更进一步提升.
2.两数和(差)的平方
课题 2.两数和(差)的平方 授课人
教 学 目 标 1.会推导完全平方公式,并能运用公式进行简单的运算,形成推理能力. 2.利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义,推导出完全平方公式.掌握完全平方公式的计算方法. 3.会正确地运用完全平方公式解决问题. 4.培养学生观察、类比、发现的能力,体验数学活动充满着探索性和创造性.
教学 重点 　　完全平方公式的推导和应用.
教学 难点 　　完全平方公式的应用.
授课 类型 新授课 课时
教具 边长为a和b的正方形以及长为a,宽为b的长方形纸板以及多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 上节课我们学方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,你能利用它解决下面的问题吗 解不等式:(3x+4)(3x-4)<9(x-2)(x+3). 　　学生回忆并回答.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 自主探究:计算下列各式,你能发现什么规律 (1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=　　　　; (2)(m+2)2=　　　　; (3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=　　　　; (4)(m-2)2=　　　　; (5)(a+b)2=　　　　; (6)(a-b)2=　　　　. 大家可以用语言叙述自己发现的规律吗 其实我们还可以从几何角度去解释完全平方公式.(出示投影片) 你能根据图①和图②中的面积说明完全平方公式吗 图11-3-5 　　采用自主探究的教学方法,让学生在所创设的数形结合的情境中领会完全平方公式的内涵.
活动 二: 探究 与 应用 【探究】 完全平方公式 [学生活动] 独立完成以下练习. (1)(2x-3)2=　4x2-12x+9　; (2)(x+y)2=　x2+2xy+y2　; (3)(m+2n)2=　m2+4mn+4n2　; (4)(2x-4)2=　4x2-16x+16　. [教师活动] 组织学生通过观察上面的运算结果中的每一项,猜测它们的共同特点. [学生活动] 分四人小组讨论,发现规律如下:(1)右边第一项是左边第一项的平方,右边最后一项是左边第二项的平方,中间一项是它们两个乘积的2倍.(2)左边如果为“+”号,右边全是“+”号,左边如果为“-”号,它们两个乘积的2倍就为“-”号,其余都为“+”号. [教师提问] 我们利用简单的(a+b)2与(a-b)2进行验证,请同学们利用多项式的乘法以及幂的意义进行计算. [学生活动] 计算出(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2,完成后,一位学生上讲台板演. [教师活动] 利用学生的板演内容,引出本节课的教学内容——完全平方公式. [归纳] 完全平方公式: (a+b)2=a2+2ab+b2; (a-b)2=a2-2ab+b2. 语言叙述:两数和(或差)的平方,等于这两数的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍. 为了让学生直观理解公式,可做下面的拼图游戏. [拼图游戏] (1)现有图11-3-6①所示的三种规格的硬纸片各若干张,请你根据二次三项式a2+2ab+b2,选取相应种类和数量的硬纸片,拼出一个正方形,并探究所拼出的正方形的代数意义. 图11-3-6 (2)你能根据图②,谈一谈如何得到(a-b)2=a2-2ab+b2吗 [课堂活动] 第(1)题由小组合作,在互动中完成拼图游戏,比一比,哪个小组快 第(2)题可以借助多媒体课件,直观地演示面积的变化,帮助学生联想到(a-b)2=a2-b2-2b(a-b)=a2-2ab+b2. 　　1.通过独立完成练习,使学生进一步熟练掌握公式的结构特征. 2.从多项式与多项式相乘入手,推导出完全平方公式,利用几何模型和割补面积的方法来验证公式的正确性. 3.数学思想是数学的灵魂,教学中适当地渗透数形结合思想很有必要.
【应用举例】 例1　计算: (1)(2x+3y)2;(2)(2a+)2. 例2　计算: (1)(3x-2y)2;(2)(-m+1)2.
活动 二: 探究 与 应用 [第(2)小题解题思路] 处理方法之一:把式子变形为==,再用公式计算[反思得=;=];方法二:把式子变形为:=(1-m)2后直接用公式计算;方法三:把式子变形为=后直接用公式计算.在此处应注意添括号的法则. 变式　计算: (1)(x+2y-3)(x-2y+3);(2)(a+b+c)2. [解题思路] (1)利用添括号法则(在此应讲解一下添括号的法则)适当变形,然后利用平方差公式及完全平方公式即可解决.(2)可先变形为或或者,再进行计算. 例3　运用完全平方公式计算: (1)1022;(2)992. 　　1.适时、恰当地安排例题教学,能起到巩固所学知识(公式等)的目的,使学生掌握解题的步骤. 2.对乘法公式的最初运用是模仿套用,套用的前提是确定是否具备使用公式的条件,关键是正确确定“两数”,即“a”和“b”.
【拓展提升】 一、改变公式的结构 例4　运用公式计算:(1)(x+y)(2x+2y);(2)(a+b)(-a-b). [方法归纳] 本例中所给的均是二项式乘以二项式,表面看外观结构不符合公式特征,但仔细观察易发现,只要将其中一个因式做适当变形就可以了.观察到两个因式的系数有倍数关系是正确变形并利用公式的前提条件. 二、利用完全平方公式的变形进行代数式求值(简单的配方法) 例5　已知a+b=-6,ab=8,求:(1)a2+b2的值;(2)(a-b)2的值. [方法归纳] 利用完全平方公式可以使一些计算简便.对于一些形式上不符合公式的可进行适当的转化,使之符合公式的形式.完全平方公式的变形如下表: 完全平方公式变形(a+b)2=a2+2ab+b2①a2+b2=(a+b)2-2ab②2ab=(a+b)2-(a2+b2)(a-b)2=a2-2ab+b2①a2+b2=(a-b)2+2ab②2ab=(a2+b2)-(a-b)2③(a-b)2=(a+b)2-4ab④(a+b)2=(a-b)2+4ab
　　灵活运用公式主要是指既要熟练地正用公式,又要掌握公式的逆用,还要根据题目特点善于对公式进行变式使用.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标检测】 1.计算: (1)(x+3)2;(2)(2x+y)2. 2.计算: (1)(x-3)2;(2)(2m-3n)2. 3.计算: (1)(-2m+n)2;(2)(-2m-n)2. 4.一个正方形的边长为a cm,若边长减少6 cm,则这个正方形的面积减少了多少
活动 三: 课堂 总结 反思 5.下面的计算是否有错误 如有错误,请改正. (1)(x+y)2=x2+y2;(2)(-m+n)2=-m2+n2; (3)(-a-1)2=-a2-2a-1. 6.计算:(a+b+c)2. 7.小兵计算一个二项式的平方时,得到的正确结果是4x2　　　　+25y2,但其中一部分被墨水污损了,则被污损部分的内容是 (　　) A.+10xy　　B.+20xy　　C.±10xy　　D.±20xy 8.运用乘法公式计算: (1)(x+1)(x-1)(x2-1);(2)(x+3)(x-3)(x2-9); (3)(x+2)2-(x-2)2;(4)(x+y+z)(x-y-z); (5)(a+2b+c)2;(6)(2a+b+1)(2a+b-1). 9.已知a+b=4,ab=-2,求:(1)a2+b2的值;(2)(a-b)2的值. 　　1.当堂检测,及时反馈学习效果.通过完成练习,使学生进一步熟练掌握公式的结构特征. 2.教师引导学生进行探索,必要时进行适当的启发和提示.
【知识网络】 完全平方公式 首平方、尾平方,2倍乘积在中央 　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 让学生带着原有的知识背景、生活体验和理解走进学习活动,并通过自己的主动探索,与同学合作交流、反思等,归纳知识并能熟练运用. ②[讲授效果反思] 教师在此立足于强化新知识的同时,着眼于激发学生的学习兴趣,培养学生的科学猜测能力.本节课在中学代数中占据着非常重要的位置,一定要使学生熟悉这个公式及它的各种变形. ③[师生互动反思] 在整个教学过程中充分运用探究学习与合作学习,有学生之间的交流,也有师生之间的交流,在课堂中构建和谐、自由的气氛.对于作业习题的布置打破传统的模式,针对各成绩水平的学生布置符合其水平的作业,使不同层面的学生都得到发展. ④[习题反思] 好题题号　 错题题号　 　　反思,更进一步提升.

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