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11.5　因式分解
第1课时　因式分解及提公因式法
课题 第1课时　因式分解及提公因式法 授课人
教 学 目 标 1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系. 2.能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式. 3.使学生经历探索寻找多项式各项公因式的过程,依据数学化归思想方法进行因式分解. 4.掌握用提公因式法把多项式分解因式. 5.增进学生的合作交流意识,主动积极地积累确定公因式的初步经验,体会其应用价值.
教学 重点 　　掌握用提公因式法把多项式分解因式.
教学 难点 　　整式乘法与因式分解之间的关系.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 请同学们回忆单项式乘多项式的运算法则并完成下面的题目. 1.计算-3x2(4x-3)等于 (　　) A.-12x3+9x2　　　　B.-12x3-9x2 C.-12x2+9x2 D.-12x2-9x2 2.下列计算正确的有 (　　) A.(6xy2-4x2y)·3xy=18xy2-12x2y B.(-x)·(2x+x2-1)=-x3-2x2+1 C.(-3x2y)·(-2xy+3yz-1)=6x3y2-9x2y2z2-3x2y D.(an+1-b)·2ab=an+2b-ab2 　　学生回忆并回答.温故知新.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 [问题牵引] 请同学们探究下面的两个问题: 问题1:720能被哪些数整除 谈谈你的想法. 问题2:当a=102,b=98时,求a2-b2的值. 丰富联想,展示思维. 探索:你会做下面的填空吗 1.ma+mb+mc=(　　　)·(　　　). 2.x2-4=(　　　)·(　　　). 3.x2-2xy+y2=(　　　)2. [师生共识] 把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做多项式的因式分解,也叫做分解因式.导出课题:12.5因式分解. 　　从学生已有的知识出发,利用多媒体,激发学生强烈的好奇心和求知欲.
活动 二: 探究 与 应用 【探究】 因式分解的概念 [师生交流] 下列从左到右的变形是否是因式分解,为什么 (1)2x2+4=2(x2+2);(2)2t2-3t+1=(2t3-3t2+t); (3)x2+4xy-y2=x(x+4y)-y2;(4)m(x+y)=mx+my; (5)x2-2xy+y2=(x-y)2. 问题:多项式mn+mb中各项含有相同的因式吗 多项式4x2-x和xy2-yz-y呢 请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式,并说明理由. [教师归纳] 我们把多项式中各项都有的公共的因式叫做这个多项式的公因式,如在mn+mb中各项的公因式是m,在4x2-x中各项的公因式是x,在xy2-yz-y中各项的公因式是y. 导出小课题——今天我们首先学习因式分解的第一种方法:提公因式法. 概念:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式的乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法. [教师提问] 多项式4x2-8x6,16a3b2-4a3b2-8ab4中各项的公因式分别是什么 [师生共识] 提公因式的方法是先确定各项的公因式,再将多项式除以这个公因式得到另一个因式,找公因式一看系数、二看字母,公因式的系数取各项系数的最大公约数;字母取各项相同的字母,并且各字母的指数取最低的. 　　1.通过动手操作:培养学生从一般到特殊的转化思想. 2.教师引导学生进行探索,必要时进行适当的启发和提示.
【应用举例】 例1　把下列多项式分解因式: (1)-5a2+25a;(2)3a2-9ab. 例2　分解因式:8a3b+12ab3c. 例3　把2a(b+c)-3(b+c)分解因式. 学生活动:学生利用提公因式的定义尝试独立完成,然后与同伴交流解题心得. 教师活动:教师出示投影片后深入到学生中去发现问题,并对有困难的学生进行适时地引导与启发,最后师生共同评析、总结. 变式一　把下列多项式分解因式: (1)a2+a;(2)4ab-2a2b. 变式二　把下列多项式分解因式: (1)6(p+q)2-2(p+q); (2)2(x-y)2-x(x-y); (3)2x(x+y)2-(x+y)3. 变式三　先分解因式,再求值: (1)x(a-x)(a-y)-y(x-a)(y-a),其中a=3,x=2,y=4; (2)-ab(a-b)2+a(b-a)2-ac(a-b)2,其中a=3,b=2,c=1. 变式四　利用提公因式法计算: 0.582×8.69+1.236×8.69+2.478×8.69+5.704×8.69. [教师活动] 引导学生观察并分析怎样计算更为简便. 　　通过例题教学,让学生一方面学会应用新知识,另一方面注意分解因式时的细节.
活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例4　计算:22025-22024. [教师活动] 引导学生观察使用简便方法——提公因式法. 例5　计算: 2-22-23-24-25-26-27-28-29+210. 师生共同分析:注意到210-29=29×2-29×1=29×(2-1)=29,同理,29-28=28,…,23-22=22,即2n+1-2n=2·2n-2n=(2-1)·2n=2n.逆用同底数幂的乘法的运算法则将2n+1化为21·2n. 注意提取的公因式,是指数较小的那个幂. 例6　阅读下列分解因式的过程,再回答所提出的问题: 1+x+x(x+1)+x(x+1)2 =(1+x)[1+x+x(x+1)] =(1+x)2(1+x) =(1+x)3. (1)上述分解因式的方法是　提公因式法　,共应用了　2　次. (2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2024,则需应用上述方法2024次,结果是　(1+x)2025　. (3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数). 归纳:此题由特殊推广到一般,要善于观察思考,注意结果和指数之间的关系. 　　1.知识的综合与拓展,提高学生的应考能力. 2.注意留出时间让学生讨论、交流,引导学生进行归纳、概括.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标检测】 1.下列多项式分解因式正确的是 (　　) A.18x4y+27x3y2=3x3y(6x+9y) B.x3y+x2y2=xy(x2+xy) C.2x3+6x2+2x=2x(x2+3x) D.-4x2y3+6x2y-8xy2=-2xy(2xy2-3x+4y) 2.(1)12m2n2与12mn的公因式是　　　　; (2)πR2-2aπR=πR(　　　　); (3)-4p2+12pq=(　　　　)(p-3q). 3.把下列各式分解因式: (1)x2yz-xy2z+xyz2;(2)-8x4-48x3y; (3)-64x2y2z-32xy3z+48xy2z2;(4)xmyn+1-2x2myn. 4.把下列各式分解因式: (1)6p(p+q)-4p(p+q); (2)(m+n)(p+q)-(m+n)(p-q); (3)(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b); (4)x(x+y)(x-y)-x(x+y)2. 　　1.当堂检测,及时反馈学习效果. 2.及时总结用提公因式法进行因式分解的方法,便于学生记忆和运用. 3.因式分解应注意分解要彻底,也就是说,分解到不能再分解为止.
【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出.
活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 导入过程中注意激发学生的学习兴趣. ②[讲授效果反思] 本节课教师一定要使学生搞清:利用提公因式法进行因式分解,关键是找准公因式.在找公因式时应注意:(1)系数要找各项系数的最大公约数;(2)字母要找各项都有的;(3)指数要找最低的. ③[师生互动反思] 师生互动中教师要因势利导培养学生的逆向思维并渗透化归的思想方法. ④[习题反思] 好题题号　 错题题号　 　　反思,更进一步提升.
第2课时　运用平方差公式分解因式
课题 第2课时　运用平方差公式分解因式 授课人
教 学 目 标 1.会运用平方差公式进行因式分解,发展学生的推理能力. 2.经历探索运用平方差公式进行因式分解的过程,发展学生的逆向思维,感受数学知识的完整性. 3.培养学生良好的互动交流的习惯,体会数学在实际问题中的应用价值.
教学 重点 　　运用平方差公式分解因式.
教学 难点 　　领会因式分解的解题步骤和因式分解的彻底性.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 上节课我们学习了因式分解的概念及提公因式法分解因式.下面的问题你能解决吗 1.填空:(a+b)(a-b)=　　　　; 2.分解因式:6x2y2-3x2y+3xy=　　　　　　　　　　; 3.说出21×19的结果. 　　学生回忆并回答,为本节课做知识储备.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 请同学们计算下列各式: (1)(a+5)(a-5);(2)(4m+3n)(4m-3n). [学生活动] 动笔计算出上面的两道题,并踊跃上台板演. (1)(a+5)(a-5)=a2-52=a2-25. (2)(4m+3n)(4m-3n)=(4m)2-(3n)2=16m2-9n2. [教师活动] 引导学生完成下面的两道题目,并运用数学“互逆”的思想方法,寻找因式分解的规律. 分解因式:(1)a2-25;(2)16m2-9n. 　　从学生已有的知识出发,利用多媒体,激发学生强烈的好奇心和求知欲,增强学生的自信心.
活动 二: 探究 与 应用 【探究】 运用平方差公式分解因式 [学生活动] 从逆向思维入手,很快得到下面的答案: (1)a2-25=a2-52=(a+5)(a-5). (2)16m2-9n2=(4m)2-(3n)2=(4m+3n)(4m-3n). [教师活动] 引导学生完成a2-b2=(a+b)(a-b)的同时,导出课题:运用平方差公式分解因式. 平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b). 评析:教学中还要强调一下,平方差公式中的字母a,b可以是具体的数(正数或负数),也可以是单项式或多项式等式子. 　　1.通过问题,培养学生的逆向思维能力. 2.通过思考、交流,归纳出公式.
【应用举例】 例1　分解因式:25x2-16y2. 例2　分解因式:3x3-12xy2. 变式　分解因式:(1)4x2-9;(2)(x+p)2-(x-p)2; (3)x4-y4;(4)a3b-ab. [教师活动] 启发学生运用平方差公式进行因式分解,请学生上讲台板演. [学生活动] 分小组,合作探究. [强化训练] 教材P51练习第1(2)题,第2(3)(4)题. 　　通过多媒体课件演示,充分发挥例题的作用,培养学生对整体思想的认识.
【拓展提升】 例3　判断下列说法是否正确,并说明理由:若n是正整数,则n3-n的值一定是6的倍数. 例4　判断下列说法是否正确,并说明理由:两个连续偶数的平方差能被一个奇数整除. 教师应注意提醒学生例4应怎样去设.学生合作交流探究这两道题的解法. 　　知识的综合与拓展,提高学生的应考能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂小结】 谈谈本节课的收获吧! 当公因式与平方差公式的形式在同一个题中出现时,要先考虑提公因式,再考虑运用平方差公式分解因式,并且每个因式都要分解彻底. 　　通过总结,可以让学生对因式分解有更进一步的理解.
【达标检测】 1.填空:81x2-　　　　=(9x+y)(9x-y); x2-0.25y2=　　　　　　　　　　. 　　1.当堂检测,及时反馈学习效果.
活动 三: 课堂 总结 反思 2.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是 (　　) A.a2+(-b)2　　　　　　 B.5m2-20mn C.-x2+y2 D.x2+9 3.利用因式分解计算:2012-1992=　　　　. 4.把下列各式分解因式: (1)1-16a2;(2)9a2x2-b2y2; (3)49(a-b)2-16(a+b)2. 5.分解因式:81a4-b4=　　　　　　　　　　. 　　2.通过练习,理解平方差公式的结构特征,从而提高学生灵活应用公式进行因式分解的能力.
【板书设计】 运用平方差公式分解因式: a2-b2=(a+b)(a-b) 多项式整式的积 　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 导入时教师要提醒学生如果多项式是二项式,通常考虑应用平方差公式;如果多项式中有公因式可提,应先提取公因式,而且还要“提”得彻底. ②[讲授效果反思] 运用平方差公式分解因式,首先应注意多项式的特征.分析多项式的次数和项数,然后再确定用哪个公式. ③[师生互动反思] 教师出示幻灯片后要放手让学生独立思考求解,然后师生共同讨论,纠正学生解题中可能犯的错误,并对各种错误进行评析. ④[习题反思] 好题题号　 错题题号　 　　反思,更进一步提升.
第3课时　运用完全平方公式分解因式
课题 第3课时　运用完全平方公式分解因式 授课人
教 学 目 标 1.领会运用完全平方公式进行因式分解的方法,发展推理能力. 2.选择合适的方法分解因式. 3.经历探索运用完全平方公式进行因式分解的过程,培养学生的逆向思维能力,掌握因式分解的基本步骤. 4.培养良好的推理能力,体会“化归”与“换元”的思想方法,形成灵活的应用能力. 5.培养严谨的推理能力,以及自主合作的精神.
教学 重点 　　理解运用完全平方公式分解因式的方法,并学会应用.
教学 难点 　　灵活地运用公式法进行因式分解.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 上节课我们学习了运用平方差公式分解因式,同学们能解决下面的题目吗 分解因式: (1)-9x2+4y2;(2)(x+3y)2-(x-3y)2;(3)x2-0.01y2. 　　学生回忆并回答,复习巩固前一节的内容.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 计算下列各式: (1)(m-4n)2;(2)(m+4n)2; (3)(a+b)2;(4)(a-b)2. [教师活动] 引导学生完成上面四道题,并运用数学“互逆”的思想,寻找因式分解的规律. 　　直接利用复习引入新课,重点突出!
活动 二: 探究 与 应用 【探究】 运用完全平方公式分解因式 分解因式: (1)m2-8mn+16n2;(2)m2+8mn+16n2; (3)a2+2ab+b2;(4)a2-2ab+b2. [学生活动] 从逆向思维的角度入手,很快得到下面的答案: 解:(1)m2-8mn+16n2=(m-4n)2. (2)m2+8mn+16n2=(m+4n)2. (3)a2+2ab+b2=(a+b)2. (4)a2-2ab+b2=(a-b)2. [归纳公式] 完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2. 　　学生先独立思考,再合作交流,在前一节学习运用平方差公式分解因式的基础上,总结运用完全平方公式分解因式的经验.
【应用举例】 例1　把下列多项式分解因式:x2+4xy+4y2. 例2　把下列多项式分解因式:4x3y-4x2y2+xy3. [归纳总结] 先提公因式,再考虑用公式法分解因式. 变式一　分解因式: (1)16x2+24x+9;(2)-x2+4xy-4y2; (3)3ax2+6axy+3ay2;(4)(a+b)2-12(a+b)+36. 变式二　分解因式: (1)x2+4(x+1)=　　　　; (2)x(x-1)-3x+4=　　　　. 例3　分解因式: (1)4x3y-4x2y2+xy3; (2)(a+b)2-4a(a+b)+4a2; (3)m2(n-2)+25(2-n). 　　1.充分发挥例题的作用,让学生熟悉解题步骤与格式. 2.变式一训练的目的是让学生进一步强化公式的结构特点,明白满足哪些条件时,才可以用完全平方公式分解因式. 3.变式二是让学生明白应该先进行整式乘法化简原式,变成最简和的形式,再分解因式. 4.设计例3的目的是让学生灵活选择方法分解因式.
【拓展提升】 例4　已知a2+4a+b2+6b+13=0,求a2+2b的值. 例5　若26+28+2n是一个完全平方数(能写成一个整数的平方),则n=　　　　. 　　知识的综合与拓展,提高学生的应考能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂小结】 由于多项式的因式分解与整式乘法正好相反,因此把整式乘法公式反过来写,就得到多项式运用公式法分解因式的公式,主要有以下三个: a2-b2=(a+b)(a-b); a2±2ab+b2=(a±b)2. [师生讨论] 在运用公式法分解因式时,要注意每个公式的形式与特点,通过对多项式的项数、次数等的总体分析,来确定是否可以用公式法分解因式以及用哪个公式分解因式.通常,当多项式是二项式时,考虑用平方差公式分解因式;当多项式是三项式时,考虑用完全平方公式分解因式;在有些情况下,多项式不一定能直接用公式法,需要进行适当的组合、变形、代换后,才能使用公式法分解因式. 　　结合上节因式分解的方法加以总结,培养学生综合运用多种方法分解因式的能力.注意提醒学生当多项式各项有公因式时,应该首先考虑提公因式,然后再运用公式法分解因式.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标检测】 1.9x2-30xy+　　　　=(3x-　　　　)2. 2.把下列各式分解因式: (1)x2y2-2xy+1;(2)a2+a+; (3)4-12(a-b)+9(b-a)2. 3.若4x2-mx+9是完全平方式,则m的值是 (　　) A.3　　　　B.4　　　　C.12　　　　D.±12 4.把下列各式分解因式: (1)(a2+1)2-4a2; (2)1-x2+4xy-4y2. 　　当堂检测,及时反馈学习效果.
【板书设计】 运用完全平方公式分解因式 a2±2ab+b2=(a±b)2 多项式整式的积 　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 导入时注意引导学生关注公式的结构特征. ②[讲授效果反思] 学生通过例题的学习及练习,总结在综合运用提公因式法和公式法分解因式时要注意的问题和解题步骤,可由一个或几个学生回答,互相补充,教师归纳. ③[师生互动反思] 师生共同讨论后形成共识:(1)如果多项式各项有公因式,应先提公因式,再进一步分解;(2)分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止;(3)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式.即:“一提”“二套”“三查”,特别强调“三查”,检查多项式的每一个因式是否还能继续分解因式,还可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确. ④[习题反思] 好题题号　 错题题号　 　　反思,更进一步提升.

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