资源简介

九年级·RJ版
27.2.1　相似三角形的判定
第1课时　平行线分线段成比例
1．理解相似三角形的概念及相似比的 定义．
2．掌握平行线分线段成比例的基本事实以及利用平行线法判定三角形相似．
3．应用平行线分线段成比例的基本事实及平行线法判定三角形相似来解决问题．
重点：理解掌握平行线分线段成比例的基本事实及应用．
难点：掌握平行线分线段成比例的基本事实的应用．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
梯子是我们生活中常见的工具(如图①)．如图②是一个生产过程中不合格的左右不对称的梯子的简图，经测量，AB＝BC＝CD，AA1∥BB1∥CC1∥DD1，那么A1B1和B1C1相等吗？
探究点一　相似三角形的有关概念　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例1】如图所示，已知△OAC∽△OBD，且OA＝4，AC＝2，OB＝2，∠C＝∠D.求△OAC和△OBD的相似比．
【解析】由△OAC∽△OBD及∠C＝∠D，可找到两个三角形的对应边，即可求出相似比．
【解】∵△OAC∽△OBD，∠C＝∠D，
∴线段OA与线段OB是对应边，
则△OAC与△OBD的相似比为＝＝.
探究点二　平行线分线段成比例
类型一　平行线分线段成比例的基本事实
【例2】如图，直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3.已知EF∶DF＝5∶8，AC＝24.
(1)求AB的长；
(2)当AD＝4，BE＝1时，求CF的长．
【解析】(1)根据l1∥l2∥l3，推出＝，代入求出BC即可求出AB；(2)根据l1∥l2∥l3，得出＝，求出OB，OC，再由＝即可求出CF.
【解】(1)∵l1∥l2∥l3，EF∶DF＝5∶8，AC＝24，
∴＝＝，即＝，∴BC＝15，
∴AB＝AC－BC＝24－15＝9.
(2)∵l1∥l2∥l3，∴＝＝，
即＝，∴OB＝3，
∴OC＝BC－OB＝15－3＝12.
又∵＝＝，即＝，
∴CF＝4.
【方法总结】运用平行线分线段成比例的基本事实时，一定要注意正确书写对应线段的位置．
类型二　平行线分线段成比例的基本事实的推论
【例3】如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC.
(1)若AD＝5，DB＝6，EC＝12，求AE的长；
(2)若AB＝10，AD＝4，AE＝6，求EC的长．
【解析】根据平行线分线段成比例的基本事实的推论列出比例式，代入计算得到答案．
【解】(1)∵DE∥BC，
∴＝，即＝，解得AE＝10.
(2)∵DE∥BC，
∴＝，即＝，解得AC＝15，
∴EC＝AC－AE＝15－6＝9.
【方法总结】解题的关键是深入观察图形，准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式．
探究点三　利用相似三角形的传递性判定三角形相似
【例4】如图，在 ABCD中，E为AB延长线上的一点，AB＝3BE，DE与BC相交于点F.请找出图中所有的相似三角形，并求出相应的相似比．
【解析】由平行四边形的性质可得BC∥AD，AB∥CD，进而可得△EFB∽△EDA，△EFB∽△DFC，再进一步求解即可．
【解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，AB∥CD，
∴△EFB∽△EDA，△EFB∽△DFC，
∴△DFC∽△EDA.
∵AB＝3BE，
∴相似比分别为1∶4，1∶3，3∶4.
【方法总结】求相似比不仅要找准对应边，还需要注意两个三角形的先后顺序．
1．如图，直线a∥b∥c，AB＝BC.若DF＝9，则EF的长度为 (　　)
A．9 B．5
C．4 D．3
如图，已知AB∥EF∥CD，AD与BC相交于点O.
(1)如果CE＝3，EB＝9，DF＝2，求AD的长；
(2)如果BO∶OE∶EC＝3∶4∶2，AB＝3，求CD的长．
第1课时　平行线分线段成比例
1．相似三角形的定义及有关概念
(1)定义：三个角分别相等，三条边成比例，我们就说这两个三角形相似．对应边的比就叫做两个三角形的相似比．
(2)表示：△ABC与△A′B′C′相似记作“△ABC∽△A′B′C′”，读作“△ABC相似于△A′B′C′”．
注意：对应顶点写在对应的位置上．
(3)性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
2．平行线分线段成比例的基本事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
3．推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．
4．预备定理(利用平行线证明三角形相似)
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
本节课学习相似三角形的概念与表示，知道了平行线分线段成比例的基本事实，学会了平行线分线段成比例在三角形中的应用，还掌握了利用平行线证明三角形相似：“A”型和“X ”型．
本节的难点是平行线分线段成比例的基本事实．平行线分线段成比例的基本事实的变式较多，学生在找对应线段时常常出现错误；另外在研究平行线分线段成比例时，常用到代数中列方程的方法，利用已知比例式或等式列出关于未知数的方程，求出未知数．在授课过程中要根据学生的个体差异，注意因材施教、分层教学．
答案
课堂训练
1．B
2．解：(1)∵CE＝3，EB＝9，∴BC＝CE＋EB＝12.
∵AB∥EF，∴＝，∴＝.
又∵EF∥CD，∴＝，∴＝，∴＝，
即＝，∴AF＝6，∴AD＝AF＋FD＝6＋2＝8.
(2)∵AB∥EF，∴BO∶OE＝AB∶EF.
又∵BO∶OE＝3∶4，AB＝3，∴EF＝4.
∵EF∥CD，∴＝.
又∵OE∶EC＝4∶2，∴＝，∴＝，∴CD＝EF＝6.
第2课时　相似三角形的判定定理1
1．理解“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理．
2．会用相似三角形的判定定理1来判断、证明及计算．
3．通过对判定定理的探索，发展学生思维的灵活性，进一步培养逻辑推理能力．
重点：对相似三角形的判定定理1的理解与掌握．
难点：判定定理的推导及运用．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？
探究点一　在网格图中利用定理判定两个三角形相似　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例1】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．
【解析】首先由勾股定理，求得△ABC和△DEF的各边的长，即可得＝＝，然后由三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可判定△ABC和△DEF相似．
【解】△ABC和△DEF相似．理由如下：
由勾股定理，得AB＝2，AC＝，BC＝5，DE＝4，DF＝2，EF＝2.
∵＝＝＝＝，∴△ABC∽△DEF.
【方法总结】判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等．计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应．
探究点二　利用三边成比例判定两个三角形相似
【例2】已知在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠C＝90°，∠C ′＝90°，且＝＝1.5.求证：△A′B′C ′∽△ABC.
【解析】表示出A′B′，B′C′，然后求出＝1.5，从而得到＝＝，再根据三边对应成比例，证明两个三角形相似．
【解】∵＝＝1.5，
∴A′B′＝1.5AB，B′C′＝1.5BC，
∴＝＝＝1.5，
∴＝＝，
∴△A′B′C ′∽△ABC.
【方法总结】利用三边的比判定两个三角形相似时，应先将两个三角形的三边按大小顺序排列，然后分别计算它们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似．
探究点三　利用相似三角形的判定定理解决探究性问题
【例3】要制作两个形状相同的三角形教具，其中一个三角形教具的三边长分别为50 cm，60 cm，80 cm，另一个三角形教具的一边长为20 cm，请问怎样选料可使这两个三角形教具相似？想想看，有几种解决方案．
【解析】要使两个三角形相似，已知一个三角形的三边和另一个三角形的一边，则我们可以采用三边分别对应成比例的两个三角形相似来解决问题．
【解】①当长为20 cm的边的对应边为50 cm时．
∵50∶20＝5∶2，且第一个三角形教具的三边长分别为50 cm，60 cm，80 cm，
∴另一个三角形对应的三边分别为 20 cm，24 cm，32 cm；　
②当长为20 cm的边的对应边为60 cm时．
∵60∶20＝3∶1，且第一个三角形教具的三边长分别为50 cm，60 cm，80 cm，
∴另一个三角形对应的三边分别为 cm，20 cm， cm；
③当长为20 cm的边的对应边为80 cm时．
∵80∶20＝4∶1，且第一个三角形教具的三边长分别为50 cm，60 cm，80 cm，
∴另一个三角形对应的三边分别为 12.5 cm，15 cm，20 cm.
故有三种解决方案．
【方法总结】解答此题的关键在于分类讨论，当对应比不确定时，采用分类讨论的方法可避免漏解．
1．在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，AC＝6，DE＝2.4，EF＝1.2，FD＝1.6，那么这两个三角形能否相似的结论是________，理由是________________．
2．如图，已知AB∶AD＝BC∶DE＝AC∶AE，找出图中相等的角(对顶角除外)，并说明你的理由．
第2课时　相似三角形的判定定理1
1．三边成比例的两个三角形相似．
几何语言：
如图所示，∵＝＝，
∴△ABC∽△A′B′C ′.
2．相似三角形的判定定理1的运用
本节课主要学习了相似三角形的判定定理1，会用相似三角形的判定定理1来判断、证明及计算．
本节课通过类比三角形全等的判定定理(SSS)，引导学生推导并证明相似三角形的判定定理1，并使学生熟练掌握这种判定三角形相似的方法．通过对判定定理的探索，发展学生思维的灵活性，进一步培养学生的逻辑推理能力．
答案
课堂训练
1．相似　三组对应边的比相等
2．解：相等的角有∠BAC＝∠DAE，
∠B＝∠ADE，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CAE.理由如下：
在△ABC和△ADE中，
∵AB∶AD＝BC∶DE＝AC∶AE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，∠C＝∠E，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE.
故图中相等的角有∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CAE.
第3课时　相似三角形的判定定理2
1．理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示．
2．会运用“两边成比例且夹角相等”判定两个三角形相似，并进行相关计算与推理．
3．培养学生的观察、发现、比较、归纳能力，感受两个三角形相似的判定定理．
重点：两个三角形相似的判定定理2及其应用．
难点：探究两个三角形相似判定定理2的过程．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
在准备好的方格纸上，任意画一个三角形，再画一个三角形，使∠A＝∠A′，和都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B′C′的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B′，∠C与∠C′是否相等？
探究点一　利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例1】根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．
∠A＝120°，AB＝7 cm，AC＝14 cm；∠A′＝120°，A′B′＝3 cm，A′C′＝6 cm.
【解析】∠A＝∠A′，再证出＝，即可得出相似．
【解】△ABC∽△A′B′C′.理由如下：
∵＝，＝＝，
∴＝.
又∵∠A＝∠A′＝120°，∴△ABC∽ △A′B′C′.
【方法总结】利用两边对应成比例且夹角相等判定三角形相似时，一定要注意必须是两边对应的夹角才行，还要注意一些隐含条件，如公共角、对顶角等．
探究点二　利用三角形相似求线段的长度
【例2】如图，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB边上，且＝＝，BC＝6.求DE的长．
【解析】本题利用三角形相似的知识进行解答，根据题意求出△ADE和△ABC相似，从而求出DE＝3.
【解】∵∠A为公共角，＝，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝.
又∵BC＝6，∴DE＝BC＝×6＝3.
探究点三　利用三角形相似求角
【例3】如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且＝.求证：∠ACB＝90°.
【解析】利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似判定△ACD∽△CBD，从而得到对应角相等，即∠A＝∠DCB，再由∠A＋∠ACD＝90°，则可得到∠ACB＝90°.
【解】∵CD是边AB上的高，∴∠CDA＝∠CDB＝90°.
又∵＝，∴△ACD∽△CBD，∴∠A＝∠DCB.
∵∠A＋∠ACD＝90°，∴∠DCB＋∠ACD＝90°，
即∠ACB＝90°.
【方法总结】解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等．
1．如图，在正方形网格上有5个三角形(三角形的顶点均在格点上)：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG.在②至⑤中，与①相似的三角形是 (　　)
②④ B．②⑤
C．③④ D．④⑤
2．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在CD上，且CD＝4DF，连接EF，BE.求证：△ABE∽△DEF.
第3课时　相似三角形的判定定理2
1．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
几何语言：
如图所示，∵＝，∠A＝∠A′，
∴△ABC∽△A′B′C′.
2．相似三角形的判定定理2的运用
本节课主要学习了相似三角形的判定定理2及其运用，用到的数学思想方法是类比的方法，即类比三角形全等的判定方法．
本节课主要结合上节课学习的相似三角形的判定方法，通过类比三角形全等的判定定理(SAS)，引导学生推导并证明相似三角形的判定定理2，使学生熟练掌握判定三角形相似的方法，充分发挥学生主观能动性，培养学生类比迁移思想，培养学生的观察、发现、比较、归纳能力．
答案
课堂训练
1．A　【解析】由图可知，在①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°.
又∵＝＝＝，
∴＝，＝，
∴△ABC∽△ADE∽△HFA.
2．证明：设AB＝4.
在正方形ABCD中，
AB＝AD＝CD＝4，∠A＝∠D＝90°.
∵CD＝4DF，E是AD的中点，
∴DF＝1，AE＝ED＝2，∴＝，
∴△ABE∽△DEF.
第4课时　相似三角形的判定定理3
1．理解“两角分别相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示．
2．会运用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题．
3．掌握判定两个直角三角形相似的方法．
4．培养学生的观察、发现、比较、归纳能力，感受两个三角形相似的判定定理3与全等三角形判定定理(AAS、ASA)的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系．
重点：两个三角形相似的判定定理3及其应用．
难点：探究两个三角形相似判定定理3的过程．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学校为了改善环境，在一片空地上修建一块三角形草地，图纸如图①所示，完工后小明想要确定图②的草坪是否和图纸中的三角形相似，图纸中的三角形只知道角的大小，我们只测量角的大小，能否判定三角形相似？
探究点一　利用两角分别相等判定两个三角形相似　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例1】如图，在等边三角形ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°.
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)若BD＝3，CE＝2，求△ABC的边长．
【解析】(1)由题意，得∠B＝∠C＝60°，利用三角形外角的知识得出∠BAD＝∠CDE，即可证明△ABD∽△DCE；(2)根据△ABD∽△DCE，列出比例式，即可求出△ABC的边长．
【解】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°.
又∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，∠ADC＝∠ADE＋∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE.
(2)设AB＝x，则DC＝x－3.
∵△ABD∽△DCE，∴＝，
即＝，解得x＝9，
∴等边三角形ABC的边长为9.
【方法总结】解答此题的关键是利用三角形的外角的知识得出角相等．
探究点二　添加条件证明三角形相似
【例2】如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为__________________．
【解析】∵∠B＝∠AED，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故添加条件∠B＝∠AED即可求得△ABC∽△AED.同理可得∠ADE＝∠C或＝，都可以得出△ABC∽△AED.
【解】∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或＝.
探究点三　判定两个直角三角形相似的条件
【例3】如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，图中共有哪几对相似三角形？选择其中一对进行证明．
【解析】由CD⊥AB，得∠ADC＝∠CDB＝90°，∴图中共有三个直角三角形，根据直角三角形的两锐角互余，可得∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠ACD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，由同角的余角相等，得∠B＝∠ACD，∠A＝∠BCD，根据两角分别相等的两个三角形相似易得△ACD∽△ABC，△CDB∽△ACB，△ACD∽△CBD.
【解】图中共有三对相似三角形，分别为△ACD∽△ABC，△CDB∽△ACB，△ACD∽△CBD.
(答案不唯一)证明△ACD∽△ABC如下：
∵∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠ACD＝90°，
∴∠B＝∠ACD.
又∵∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴△ACD∽△ABC.
【方法总结】直角三角形相似的判定方法：一个锐角相等或两边对应成比例的两个直角三角形相似．
如图所示，∠ADE＝∠ACD＝∠B，图中相似三角形共有 (　　)
A．1对 　　 　B．2对
C．3对 　　 　D．4对
2．如图所示，等边三角形ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC边上一点．若∠APD＝60°，求CD的长．
第4课时　相似三角形的判定定理3
1．两角分别相等的两个三角形相似．
几何语言：
如图所示，∵∠B＝∠B′，∠A＝∠A′，
∴△ABC∽△A′B′C′.
2．判定两个直角三角形相似的方法
(1)若两个直角三角形满足一个锐角相等或两组直角边成比例或斜边和一条直角边成比例，则这两个直角三角形相似；
(2)直角三角形斜边上的高把直角三角形分成的两个直角三角形与原三角形相似．
3．总结
在有一组对应角相等的情况下，可以从两个方面选择突破口：寻找另一组对应角相等；寻找两个三角形中夹这个已知角的两条边的比相等．
本节课主要学习了相似三角形的判定定理3及其运用，并学会了两种证明直角三角形相似的方法．
本节课是相似三角形判定的最后一个课时，学生已经熟悉了探究方法和思路，学生通过思考、小组合作交流后，类比前面证明三角形相似的方法，完成判定定理3的证明，比较轻松地突破了难点．在探索直角三角形相似的判定方法中，教师应及时提醒学生用类比法完成定理的证明，使学生在课堂上真正成为主人，体验知识的形成过程，培养学习数学的能力，体验成功的快乐．
答案
课堂训练
1．D　【解析】∵∠ADE＝∠ACD＝∠B，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴∠EDC＝∠DCB.
∵∠ACD＝∠B，∴△EDC∽△DCB.
∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD.
∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD，∴△ADE∽△ACD.故共有4对．
2．解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠APC＝∠B＋∠BAP＝60°＋∠BAP.
∵∠APC＝∠APD＋∠CPD＝60°＋∠CPD，
∴∠BAP＝∠CPD.
又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABP∽△PCD，
∴＝，即＝，∴CD＝.

展开更多......

收起↑