资源简介

《函数的单调性》教学设计
一、教材分析
(一)本节内容的地位与作用
中学生对函数单调性的学习分为三个阶段，分别为初中通过简单函数的感性认识、高一的严格定义及高二利用导数解决函数的单调性.因此，高一函数单调性概念的学习，起到了承前启后的作用.函数的单调性是学生学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言刻画的概念.因此，单调性的研究方法非常重要，它为以后函数奇偶性、周期性等其它性质的学习提供了方法依据.它是解决函数定义域、值域、数列、不等式、三角函数等问题的有力工具，是高考重点考查的内容之一，同时也是培养学生逻辑推理能力的绝佳素材.
(二)教学目标
1、通过观察函数图像，实现随函数单调性的感性认识，再抽象成符号形式，进而对单调性的认知上升到理性表达，体会数学的符号语音和逻辑语言的清晰和严谨，对定义的抽象概括也凸显对数学抽象这一核心素养的渗透。
2、会借助函数图像直观地判断函数的单调性，并会对简单的函数的单调性给以证明，通过推理论证的过程形成严谨的思维，契合数学抽象的核心素养。
3、通过定义法证明单调性的运算过程，提升学生的运算求解能力，也体现
了关注学生数学运算的核心素养。
(三)教学重难点
重点： 函数单调性的概念.
难点：（1）函数单调性概念的生成中，如何从图象的直观认识过渡到用符号语言表述；
　　　 （2）运用定义证明函数的单调性．
二、学情分析
（一）认知水平
1、知识　学生通过初中的学习对函数的升、降有了初步的感知；函数的概念及表示的学习为本节内容做好了知识铺垫．
　　2、技能　他们初步具备了分析概括能力，但科学的思维方法尚未形成．
（二）心理特征
他们好奇心强，追求成功的愿望强烈．他们渴望老师给他们提供自主探索的时间及展示自我的空间．但他们抽象思维能力相对薄弱．
三、教法分析
本着新课改下以学生为主体，教师为主导的教学理念，结合本节课的知识特点及学情分析，决定采用问题式、启发式、探究式相结合的教学法．主要体现在新课引入时的层层设问，概念生成时的启发引导，总结证明步骤时的探究发现等．因幻灯片直观形象且教学容量大，故决定采用多媒体辅助教学．
四、学法分析
新课标要求学生不仅仅要“学会”，还应当让学生“会学”、“乐学”.在这种理念的指引下，我在教学设计上强调了让学生主动参与，积极探究，同时让学生相互交流与合作．让学生在与老师、同学之间的交流、讨论中完成知识的构建及难点的突破.
五、教学过程
（一）、创设情境，引入课题（大约需要6分钟）
课前布置任务：
(1) 由于某种原因，2008年奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.
(2) 通过查阅历史资料研究奥运会开幕式当天气温变化情况.
课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.
下图是市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.


引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．
问题：观察图形，能得到什么信息？
预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；
(2)在某时刻的温度；
(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.
在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．
问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？
预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．
归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．
〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣。
（二）、归纳探索，形成概念（大约需要15分钟）
对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.
1．借助图象，直观感知
问题1：分别作出函数的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？


预案：(1)函数在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数在整个定义域内 y随x的增大而减小．
(2)函数在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小．
(3)函数在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小．

引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．
问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数
预案：如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数；如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数在该区间上为减函数．
教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识．
〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．
2．探究规律，理性认识
问题1：下图是函数的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？


学生的困难是难以确定分界点的确切位置．
通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．
〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性．
问题2：如何从解析式的角度说明在为增函数？
预案：(1) 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12<22,所以在为增函数．
(2) 仿(1)，取很多组验证均满足，所以在为增函数．
(3) 任取,因为,即，所以在为增函数．
对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量．
〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.
3．抽象思维，形成概念
问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗
师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．
(1)板书定义
(2)巩固概念
判断题：
①．

②若函数．

③若函数在区间和(2,3)上均为增函数，则函数在区间(1,3)上为增函数．
④因为函数在区间上都是减函数，所以在上是减函数.

通过判断题，强调三点：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．
思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数
〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识。
（三）、掌握证法，适当延展（大约需要12分钟）
例 证明函数在上是增函数．

1．分析解决问题 针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．

证明：任取, 　　　　　　　设元

　　　　　　　　　　　求差

　　　　　　　　　　变形　　



,

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　断号

∴

∴即

∴函数在上是增函数．　　　　　定论

2．归纳解题步骤

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．

练习：证明函数在上是增函数．

问题：要证明函数在区间上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任意的，且有可以吗

引导学生分析这种叙述与定义的等价性．让学生尝试用这种等价形式证明函数在上是增函数．

〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．

（四）、归纳小结，提高认识（大约需要7分钟）

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
1．小结
(1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．自然语言到数学符号语言；
(2) 证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论；
(3) 数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等；
(4) 数学核心素养：数学抽象，数学运算，直观想象。
2．作业
书面作业：课本第60页 习题2.3 第4，5，6题．
课后探究：
研究函数的单调性，并结合描点法画出函数的草图．
六、教学评价
在增函数定义的生成上，小梯度问题系列的设置使难点得到了有效突破.定义得出之后,5个判断题的设置避免了传统教学中直板的传授，能够加深学生对概念的理解.多媒体的使用，使抽象的概念直观化，采取以上措施，学生接受效果良好.
在利用定义证明函数单调性时，根据课堂反映，学生在作差后的变形技巧的掌握上还有待提高，需要在接下来练习中进一步强化.
七、教学反思
本次教学围绕“函数的单调性”这一核心概念展开，作为学生进入高中后首次接触的函数性质，其教学不仅承载着知识传递的任务，更肩负着培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的重要使命。回顾整节课的实施过程，既有值得肯定的亮点，也有需要改进的不足之处。
一、教学设计的亮点与实施效果
1.情境导入贴合实际，激发学习兴趣
以“2008年奥运会开幕式推迟”这一真实事件为切入点，引导学生关注气温随时间变化的规律，自然过渡到函数单调性的直观感知。学生通过识图、交流，体会到数学与生活的紧密联系，课堂参与度高，为后续的概念建构奠定了良好的情感与认知基础。
2.概念建构层层递进，符合认知规律
教学设计遵循“直观感知→理性认识→抽象定义”的认知路径，逐步引导学生从图像语言过渡到自然语言，再升华至符号语言。通过“问题链”推动学生思考，特别是在“如何用解析式证明单调性”环节，引导学生从“取特殊值”到“任意取值”的思维跨越，有效突破了用符号语言精确刻画单调性这一难点。
3.例题与练习设计注重方法提炼与迁移
在证明函数单调性的环节，通过例题示范，引导学生归纳出“设元、作差、变形、断号、定论”的证明步骤，并适时提出等价形式（如商式判断），为后续导数法的学习埋下伏笔。练习设计由浅入深，既巩固了定义，又锻炼了学生的逻辑表达与运算能力。
4.注重数学思想与核心素养的渗透
在整个教学过程中，注重数形结合、从特殊到一般、等价转化等数学思想的渗透，引导学生体会数学语言的严谨性与抽象性。通过定义生成、判断辨析、证明训练等环节，逐步提升学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。
二、教学中发现的问题与改进思考
1.部分学生在“作差变形”环节存在困难
在证明函数单调性时，部分学生对作差后的代数变形技巧掌握不够熟练，尤其在处理分式、根式等复杂表达式时容易出错。这说明在后续教学中，需要加强代数运算的基本训练，并设计更多阶梯式的变形例题，帮助学生突破运算障碍。
2.符号语言的理解与运用仍显生硬
尽管在概念生成阶段已强调“任意性”，但在实际证明中，仍有学生未能真正理解“任取”的含义，或在书写规范上存在漏洞。今后可在定义辨析环节增加更多正反例对比，强化对符号语言逻辑结构的理解。
3.课堂互动中“生成性资源”利用不足
在教学过程中，学生提出的一些个性化理解或错误思路，未能充分展开讨论，错失了深化理解的契机。未来应更加关注课堂中的即时反馈，鼓励学生质疑、辩论，在思维碰撞中深化对概念本质的认识。
4.信息技术与数学抽象的融合可进一步深化
本节课虽使用了函数图像辅助教学，但动态演示函数值随自变量变化的过程还不够充分。若能借助Geogebra等工具实时展示图像变化与解析式的关系，将更有助于学生建立“形”与“数”的联系，提升直观想象素养。
三、总结与展望
　　总体来看，本节课较好地完成了教学目标，学生在概念理解、方法掌握和思维训练上均有收获。教学反思的价值在于不断优化教学行为，提升教学实效。在未来的教学中，我将进一步：
１.强化运算训练与符号表达规范；
２.增强课堂互动与生成性教学资源的捕捉与利用；
３.深化信息技术与数学教学的融合；
４.注重不同层次学生的差异化指导。
函数的单调性作为函数性质研究的起点，其教学不应止步于“定义+证明”，更应引导学生体会数学研究的一般方法，培养严谨、抽象、逻辑的数学思维品质，为其后续学习奠定坚实的思维基础。

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