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第2课时　一次函数与正比例函数
课题 第2课时　一次函数与正比例函数 授课人
教 学 目 标 1.理解一次函数和正比例函数的概念;能根据所给条件写出简单的一次函数关系式. 2.经历一般规律的探索过程,发展学生的抽象思维能力. 3.经历从实际问题中得到函数关系式这一过程,发展学生的数学应用能力. 4.让学生体验生活中数学的应用价值,感受数学与人类生活的密切联系,激发学生学数学、用数学的兴趣.在探索过程中体验成功的喜悦,树立学习的自信心.
教学 重点 　　理解一次函数和正比例函数的概念.
教学 难点 　　能根据所给条件写出简单的一次函数关系式,发展学生的抽象思维能力.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 在弹性限度内,某弹簧的长度y(单位:cm)与所挂物体的质量x(单位:kg)的关系如下表所示: x/kg012345y/cm3.03.54.04.55.05.5
(1)随着所挂物体质量x的增加,弹簧长度y的变化是“均匀”的吗 (2)写出y与x之间的关系式,并说明理由. 处理方式:展示问题,在学生独立思考完成后,教师指名回答,并进行讲评指导. 引导学生观察得出随着所挂物体质量x的增加,弹簧长度y的增长是“均匀”的,y与x之间的关系式为y=3+0.5x. 　　为了激发学生的求知欲望,吸引同学们的注意力,这里采用了学生熟悉的情境,既能让学生感受生活中的数学,又能引出新知识.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 一次函数的定义 【尝试·思考】 某辆汽车油箱中原有汽油40 L,汽车每行驶50 km耗油4 L. (1)请完成下表. 行驶路程x/km050100150200250300耗油量y/L
(2)写出耗油量y与汽车行驶路程x之间的关系式. (3)写出油箱剩余油量z(单位:L)与汽车行驶路程x之间的关系式. 说明:让学生独立完成表格,并思考各变量之间的关系,写出相对应的函数关系,在小组内进行交流. 学情预设:(1) 行驶路程x/km050100150200250300耗油量y/L04812162024
(2)y=0.08x.(3)z=40-0.08x. 【观察·思考】 (1)在上面情境中,我们得到y=3+0.5x,y=0.08x,z=40-0.08x,它们有什么共同的特征 (2)请你写出一个具有这种特点的关系式. 处理方式:让学生在小组内互相交流三个关系式的共同特征,并用自己的语言进行表述,然后再根据特点写出一个关系式,最后师生共同总结一次函数的定义. 【概括新知】 如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的一次函数.特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数. 说明:对一次函数而言,自变量每增加1,函数值就增加k,函数值的变化是“均匀”的. 　　1.从生动有趣的问题情境(弹簧的长度、汽车油箱中的剩余油量)出发,经历对一般规律的探索过程,从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念. 2.让学生自己总结出一次函数和正比例函数的定义,掌握判断的方法以及它们之间的区别.
活动 二: 探究 与 应用 归纳:一次函数y=kx+b的结构特征:比例系数k是常数,k≠0;自变量的次数为1;常数项b可以为任意实数.正比例函数y=kx中,比例系数k是常数,k≠0,自变量的次数为1.正比例函数是特殊的一次函数. 【应用】 例1　写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断:y是不是x的一次函数 是不是正比例函数 (1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶,行驶路程y(单位: km)与行驶时间x(单位:h)之间的关系; (2)圆的面积y(单位:cm2)与它的半径x(单位:cm)之间的关系; (3)某水池有水15 m3,现打开进水管进水,进水速度为5 m3/h,经过x h这个水池内有水y m3. 说明:让学生根据数量关系列出关系式,并根据一次函数和正比例函数的定义去判断,强调正比例函数也是一次函数. 解:(1)由路程=速度×时间,得y=60x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数. (2)由圆的面积公式,得y=πx2,y不是x的正比例函数,也不是x的一次函数. (3)这个水池每小时增加水5 m3,x h增加水5x m3,因而y=15+5x,y是x的一次函数,但不是x的正比例函数. 变式 1.下列关系式中,哪些是一次函数,哪些是正比例函数 (1)y=-x-4;(2)y=5x2-6;(3)y=2πx; (4)y=-;(5)y=;(6)y=8x2+x(1-8x). 2.已知函数y=(m-2)x|m|+(m-3)(m+1). (1)若它是一次函数,求m的值; (2)若它是正比例函数,求m的值. 【探究2】 一次函数y=kx+b中k,b的实际意义 【思考·交流】 (1)例1中,两个一次函数的一次项系数k和常数项b分别是多少 它们的实际意义是什么 (2)一般地,k,b对一次函数y=kx+b有怎样的影响 与同伴进行交流. 处理方式:教师让学生回顾例1中的一次函数y=60x和y=15+5x,说出一次项系数k和常数项b,并讨论交流问题(2),然后师生共同总结. 说明:y=60x中的k=60表示每小时路程的变化量,即汽车的时速,而b=0表示没行驶时路程为0;而y=15+5x中的k=5表示每小时的进水量,而b=15表示原有水量.对于问题(2)教师要适当地引导. 【应用】 例2　(教材例2)在一次测试中,某汽车紧急刹车后,每过1 s其速度减少35 km/h. (1)假设该汽车以120 km/h的速度行驶,试写出该汽车刹车后的速度y(单位: km/h)与刹车后所经过的时间t(单位:s)之间的关系式y=kt+b,并说明k和b的实际意义; (2)求出(1)中汽车从刹车到停止所需的时间(结果精确到0.01 s). 处理方式:阅读例题,明确已知条件,然后学生独立完成后教师讲评指导,重点强调k,b的值的实际意义. 解:(1)刹车开始时汽车的速度为120 km/h,每过1 s汽车的速度减少35 km/h,于是经过t s汽车的速度减少了35t km/h,所以y与t的关系式是y=-35t+120.其中,k=-35表示每秒汽车速度的变化量,b=120表示刹车开始时汽车的速度. 　　3.能利用实际问题中的数量关系列出函数关系式,并进行识别,使学生能借助一次函数和正比例函数的定义解决问题,提高学生解决问题的能力. 4.通过讨论交流,认识一次函数y=kx+b中k,b的值在实际问题中的意义,感受k,b的值对一次函数y=kx+b的影响,进一步体会一次函数的均匀变化. 5.通过例2的练习,巩固学生对一次函数中一次项系数k和常数项b的认知,体会数学与实际生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣.
活动 二: 探究 与 应用 (2)汽车停止时速度y=0,解方程0=-35t+120,得t=≈3.43. 因此,该汽车从刹车到停止所需的时间大约为3.43 s.
【拓展提升】 1.当m=　　　　时,y=(m-1)是正比例函数. 2.如图4-2-6,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点P.设∠A=x,∠BPC=y,当∠A变化时,求y与x之间的关系式,并判断y是不是x的一次函数. 图4-2-6 　　拓展提升,提高学生应用知识的能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.有下列函数:(1)y=;(2)y=x-5;(3)y=-4x;(4)y=2x2-3x;(5)y=100-0.18x.其中是正比例函数的有　　　　,是一次函数的有　　　　.(填序号) 2.已知函数y=(m+1)x+m-1,当m　　　　时,它是一次函数;当m= 　　　　时,它是正比例函数. 3.已知等腰三角形的周长为12 cm,若底边长为y cm,一腰长为x cm.写出y与x之间的函数关系式. 　　及时巩固新知,加深学生对所学知识的理解运用.激发学生的学习热情.
【板书设计】 第2课时　一次函数与正比例函数 定义:如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的一次函数.特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数. 例 　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 通过以现实为背景的例题,激发学生的求知欲望,吸引同学们的注意力,既是前一节的延伸,又很自然地引出新概念,从而使学生思维很快进入课堂. ②[讲授效果反思] 探究新知从生动有趣的问题情境(弹簧的长度、汽车油箱中的剩余油量)出发,再通过对一般规律的探索、总结、归纳的过程,最后从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.教师在教学上恰当地设疑立障,引导学生大胆猜想,勇于探索,鼓励学生积极思考,总结出一次函数的定义,能很好地提高学生分析问题、解决问题、总结归纳的能力. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号　　 错题题号　　 　　反思,更进一步提升.

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