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4　二元一次方程与一次函数
第1课时　用图象法求二元一次方程组的解
课题 第1课时　用图象法求二元一次方程组的解 授课人
教 学 目 标 1.使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系. 2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解. 3.在经历同一数学问题可用不同的数学方法解决的过程中,培养学生的创新意识和变式能力. 4.通过学生的思考和操作,提示出方程与函数之间的关系,引入二元一次方程组的图象解法,同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力. 5.通过学生的自主探索,引出方程和函数之间的对应关系,加强了新旧知识之间的联系,培养了学生的创新意识,激发了学生学习数学的兴趣.
教学 重点 　　掌握二元一次方程(组)和一次函数的关系.
教学 难点 　　1.探索二元一次方程与一次函数的关系的过程. 　　2.数形结合和转化的思想意识.
授课 类型 新授课 课时
教具 课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 x+y=5是什么 图5-4-7 先让学生进行讨论:为什么会出现争议 再提问学生口答原因,比如:方程x+y=5可以转化为y=-x+5,所以它既是二元一次方程又是一次函数. 任意一个二元一次方程都可以转化成y=kx+b的形式,所以每个二元一次方程都对应一个一次函数. 　　通过设置问题情境,让学生感受二元一次方程x+y=5和一次函数y=-x+5可以相互转化,启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系,顺理成章地引出本节内容.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 二元一次方程与一次函数图象的关系 (1)方程x+y=5的解有多少个 写出其中的几个. (2)在平面直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点,它们在一次函数y=5-x的图象上吗 (3)在一次函数y=5-x的图象上任取一点,它的坐标满足方程x+y=5吗 (4)以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗 处理方式:展示问题,然后让学生思考,并依次指名回答,有问题时其他同学纠正. 解:(1)方程x+y=5的解有无数个.如或 (2)描点略,它们在一次函数y=5-x的图象上. (3)满足. (4)以方程x+y=5的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同,是同一条直线. 展示: 图5-4-8 【概括新知】 二元一次方程与一次函数图象的关系: 以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同,是同一条直线.一个二元一次方程对应着平面上的一条直线. 　　1.通过设置问题情境,让学生感受二元一次方程和一次函数的相互转化,启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系.以“问题串”的形式,启发引导学生探索知识的形成过程,培养了学生转化的思想意识. 2.通过自主探索,使学生初步体会“数”(二元一次方程组)与“形”(两条直线)之间的对应关系,为求两条直线的交点坐标打下基础;由学生自主学习,十分自然地建立了数形结合的模型,学生初步感受到了“数”的问题可以转化为“形”来处理,反之,“形”的问题可以转化成“数”来处理,培养了学生的创新意识和变式能力.
活动 二: 探究 与 应用 【探究2】 二元一次方程组的解与对应的两个一次函数图象之间的关系 【操作·思考】 如图5-4-9,在同一平面直角坐标系中分别画出一次函数y=5-x和y=2x-1的图象,这两个图象有交点吗 交点的坐标与方程组的解有什么关系 　图5-4-9 处理方式:让学生观察图象,得到两个图象交点坐标为(2,3),然后让学生在小组内讨论交流第2个问题,教师指名回答,进行讲评. 解:一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为A(2,3),而就是方程组的解. 说明:每个二元一次方程组都对应两个一次函数,于是也对应两条直线. 【概括新知】 一般地,从图形的角度看,确定两条直线的交点坐标,相当于求相应的二元一次方程组的解;解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点坐标. 【思考·交流】 如图5-4-10,在同一平面直角坐标系中,一次函数y=x+1与y=x-2的图象有怎样的位置关系 方程组解的情况如何 你发现了什么 与同伴进行交流. 　图5-4-10 处理方式:让学生观察图象,并在小组内交流自己的想法,并形成共识.教师指名回答,并让学生说一说分析的理由. 学情预设:学生很容易发现,两直线平行,方程组无解. 【概括新知】 方程组的解的个数与对应的一次函数图象的交点个数之间的关系: 二元一次方程组无解 对应的两个一次函数图象平行(无交点); 二元一次方程组有一组解 对应的两个一次函数图象相交(有一个交点); 二元一次方程组有无数组解 对应的两个一次函数图象重合(有无数个交点). 【应用】 例1　若二元一次方程3x-2y=1所对应的直线是l,则下列各点不在直线l上的是 (　　) A.(1,1)　　B.(-1,1)　　C.(-3,-5)　　D.(0.4,0.1) 例2　一次函数y=5-x与y=2x-1的图象的交点坐标为(2,3),则方程组的解为　　　　. 例3　一次函数y=2-2x与y=5-2x的图象的位置关系是　　　　,因此,方程组的解为　　　　. 　　3.让学生体会一次函数和对应方程之间的关系.发现:一次函数的图象平行,对应的二元一次方程组无解;一次函数的图象相交,对应的二元一次方程组有一组解;一次函数的图象重合,对应的二元一次方程组有无数组解. 4.灵活解题,提高学生分析问题、解决问题的能力.
活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 1.已知直线5x+by=1,2x+y=5,ax+5y=4,2x-3y=1相交于一点,则a=　　　,b=　　　. 2.函数y=x+1与y=x-2的图象交点为P,它们与x轴的交点分别为A,B,求△APB的面积. 　　知识的综合与拓展,提高应考能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.二元一次方程2x+y=4有　　　　个解,以它的解为坐标的点都在　　　　的图象上. 2.方程组的解为　　　　,所以一次函数y=7-4x和y=1-x的图象的交点坐标为　　　　. 3.若直线y=ax+7经过一次函数y=4-3x和y=2x-1的图象的交点,求a的值. 4.求两条直线y=3x-2与y=-2x+4和x轴所围成的三角形面积. 　　针对本节课的学习内容,设计此练习,检测学生本堂课内容的掌握情况.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课通过一个简单的二元一次方程转化成一次函数,使学生体会二者之间的关系,明确它们之间可以互化,为探究二元一次方程(组)与一次函数的关系做好铺垫. ②[讲授效果反思] 本节课在学生已有了解方程(组)的基本能力和一次函数及其图象的基本知识的基础上,通过教师启发引导和学生自主学习探索相结合的方法,进一步揭示了二元一次方程和一次函数之间的对应关系,从而引出了二元一次方程组的图象解法,以及应用代数方法解决有关图象问题,培养了学生数形结合的意识和能力,充分展示了方程与函数的相互转化. ③[师生互动反思] 在教学活动中,通过学生小组探究、归纳,得出结论,较好地体现了新的课程理念与要求,充分让学生自主探究,合作交流,时刻注重学生学习过程的体验与评价. ④[习题反思] 好题题号　　 错题题号　　 　　反思,更进一步提升.
第2课时　用待定系数法求解二元一次方程组
课题 第2课时　用待定系数法求解二元一次方程组 授课人
教 学 目 标 1.掌握利用二元一次方程组确定一次函数表达式的方法. 2.进一步理解二元一次方程与一次函数之间的联系,体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化. 3.了解待定系数法,会用二元一次方程组确定一次函数的表达式. 4.在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力.
教学 重点 　　利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.
教学 难点 　　数形结合和数学转化的思想意识.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件、三角尺
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 A,B两地相距100 km,甲、乙两人骑车同时分别从A,B两地相向而行.假设他们都匀速骑行,则他们各自与A地之间的距离s(单位:km)都是骑行时间t(单位:h)的一次函数.骑行1 h乙距离A地80 km,骑行2 h甲距离A地30 km.经过多长时间两人相遇.你是怎样做的 与同伴进行交流. 　　提出引例,激发学习热情,让同学分组探究,各组找代表发表见解,别的组可以给出评价.
活动 二: 探究 与 应用 【探究】 用待定系数法求解二元一次方程组 教师引导学生分析,并提出以下问题: 直线型图表示: 图5-4-15 问题1:甲、乙两人的速度分别是多少 (乙的速度是20 km/h,甲的速度是15 km/h) 问题2:能否求出甲、乙两人各自到A地的距离s与骑车时间t的函数表达式 (s甲=15t,s乙=-20t+100) 问题3:能否画出两人s与t之间关系的图象 问题4:经过多长时间两人将相遇 h) (多媒体展示) 小亮:如图5-4-16,可以分别画出两人s与t之间关系的图象,找出两个图象交点的横坐标就行了! 图5-4-16 小明:对于乙,s是t的一次函数,可以设s=kt+b.当t=0时,s=100;当t=1时,s=80.将它们分别代入s=kt+b中,可以求出k,b的值,从而确定乙的s与t之间的关系式.同样可以求出甲的s与t之间的关系式,再联立这两个关系式,求解方程组就行了! 小颖:骑行1 h乙距离A地80 km,即乙的速度是20 km/h;骑行2 h甲距离A地30 km,即甲的速度是15 km/h.由此可以求出甲、乙两人的速度和…… (1)你明白他们的想法吗 用他们的方法做一做,看看和你的结果是否一致. (2)小亮的方法求出的结果准确吗 　　1.通过引例的分组探索,深刻理解图象方法可以更直观、形象,但缺乏准确,用代数方法虽然准确,但不够形象和直观. 2.进一步加强函数与方程的联系,让学生在多种方法解决问题的思考和比较中体会作图象方法与代数方法各自的特点,为讲解待定系数法确定一次函数的表达式做好铺垫.
(续表)
活动 二: 探究 与 应用 处理方式:教师展示小亮、小明、小颖的思路,并提出问题,让学生讨论交流,然后师生共同得出结论. 教师说明:用画图象的方法可以直观地获得结果,但往往难以获得准确的结果.为了获得准确的结果,我们一般用代数方法. 【应用】 例1　在某汽车客运站,乘坐长途车的乘客可以免费携带一定质量的行李,超过该质量需购买行李票,且行李费y(单位:元)是行李质量x(单位:kg)的一次函数.已知李明带了60 kg的行李,交了行李费5元;张华带了90 kg的行李,交了行李费10元. (1)写出y与x之间的关系式; (2)每名乘客最多可免费携带多少千克的行李 处理方式:引导学生设出一次函数的关系式,然后再列成方程组求解.要让学生明确要求每名乘客最多可免费携带行李的质量,就是求当y=0时,自变量x的值. 板书过程: 解:(1)设y=kx+b,根据题意,得 解这个方程组,得所以y=x-5. (2)令y=0,即x-5=0,解得x=30;当x>30时,y>0. 所以,每名乘客最多可免费携带30 kg的行李. 【概括新知】 先设出函数表达式,再根据所给条件确定表达式中未知的系数,从而得到函数表达式的方法,叫作待定系数法. 说明:一次函数的表达式有两个参数k,b,因此要确定一次函数的表达式,需要两个条件! 方法总结:用待定系数法求一次函数的表达式的一般步骤:“一设,二列,三解,四还原”. 具体的说明如下: 一设:设出一次函数表达式的一般形式y=kx+b(k≠0); 二列:根据已知两对对应值或已知图象上两个点的坐标列出关于k,b的二元一次方程组; 三解:解这个方程组,求出k,b的值; 四还原:将已求得的k,b的值再代入y=kx+b(k≠0)中,从而得到所要求的一次函数的表达式. 【尝试·思考】 已知一次函数y=2x+b的图象经过点(a,7)和(-2,a),求这个函数的表达式. 处理方式:指派一名同学板演过程,其他同学独立完成后,教师针对板演过程进行讲评,并规范格式,有问题的同学进行修改. 【应用】 例2　为保护学生视力,课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的,假设课桌的高度y(cm)是椅子的高度x(cm)的一次函数,下表列出两套符合条件的课桌椅的高度: 　　3.在设计本例题时,是利用文字提供的信息,让学生掌握利用二元一次方程组确定一次函数表达式的具体做法,让学生深刻理解解决这种问题的一般步骤与方法,使学生有知识迁移的基础.在此基础上,培养学生的应用意识,阅读理解能力与建立模型解决问题的能力,让学生体会数学的广泛应用,充分加强数学与现实的联系.
活动 二: 探究 与 应用 第一套第二套椅子的高度x(cm)40.037.0课桌的高度y(cm)75.070.2
(1)请确定y与x的函数表达式; (2)现有一把高为39 cm的椅子和一张高为78.2 cm的课桌,它们是否配套 为什么 　　4.提高学生审题能力,利用二元一次方程组的模型,灵活掌握一次函数表达式的求法.
【拓展提升】 1.已知y-1与x+1成正比例,且x=2时,y=7,求y与x的表达式. 2.如图5-4-17表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象(分别为正比例函数和一次函数).两地之间的距离是80 km.请你根据图象解决下面的问题: 图5-4-17 (1)谁出发得较早 早多长时间 谁到达乙地较早 早到多长时间 (2)两人在途中行驶的速度分别是多少 (3)请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围); (4)指出在什么时间段内两车均行驶在途中(不包括端点);在这一时间段内,请你分别按下列条件列出关于时间x的式子(不要化简,也不要求解):①自行车行驶在摩托车前面;②自行车与摩托车相遇;③自行车行驶在摩托车后面. 　　进一步掌握一次函数表达式的求法,题目难度较大,适当选用.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 某学校一电热淋水器水箱的水量y(升)与供水时间x(分)为一次函数关系,供水前水箱中有水50升,开始供水50分钟后有水150升. (1)写出y与x的函数关系式; (2)在(1)的条件下,供水30分钟时水箱有水多少升 (3)若水箱体积为300升,需要多长时间才能供满 　　检验学生对本节课的掌握情况,同时也是对本节课知识的又一次巩固和提高,也有利于下节课知识的讲解.
【板书设计】 第2课时　用待定系数法求解二元一次方程组 1.待定系数法:先设出函数表达式,再根据所给条件确定表达式中未知的系数,从而得到函数表达式的方法. 2.用待定系数法求一次函数的表达式的一般步骤: “一设,二列,三解,四还原”. 　　提纲挈领,重点突出.
(续表)
活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课通过一个例题引入,让学生充分展开讨论,寻求不同的方法,深刻领会建立二元一次方程组模型求一次函数表达式的思想. ②[讲授效果反思] 本节课重点在让学生体会利用二元一次方程组求一次函数表达式的方法,难点在数形结合并灵活应用,学生在这方面理解不太好,今后还要加强训练. ③[师生互动反思] 本节课采用了以引导学生自主学习,通过活动进行分组合作,探究学习的形式进行教学,在教学中放手让学生在探究活动中去经历、体验、观察、类比、讨论、合作、归纳,通过充分的探究,最后归纳出结论. ④[习题反思] 好题题号　 　 错题题号　 　 　　反思,更进一步提升.

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