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第3课时　离差平方和、方差与标准差
课题 第3课时　离差平方和、方差与标准差 授课人
教 学 目 标 1.体会刻画数据离散程度的意义,会计算一组简单数据的离差平方和、方差,知道离差平方和、方差都能刻画这组数据的波动(离散)程度. 2.让学生感悟数据分析的必要性,形成和发展数据观念和模型观念. 3.通过解决生活中的数学问题,逐步培养同学们认真细致的学习态度和用数据说话的求实精神,培养与数据打交道的情感,并体验数学与生活的联系.
教学 重点 　　会用公式计算方差,并在具体问题情境中加以应用.
教学 难点 　　理解方差、标准差的含义及方差和标准差的计算公式,并准确运用解决实际问题.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 我们知道接受检阅的仪仗队必须精挑细选,整齐划一,特别注重队员的身高情况,下面有两支仪仗队,准备抽取其中一支参与检阅.已知这两支仪仗队队员的身高(单位:cm)如下: 甲队178177179178178177178178178179乙队178177179176178180180178176178
你认为哪支仪仗队更为整齐 你是怎么判断的 　　通过生活中的一个实例提出问题,吸引学生的注意力,更容易激发学生的兴趣,引起学生的思考.这个问题学生很自然地想到利用平均数做出选择,结果却发现两个队队员的平均身高一样,这样学生原有的知识与遇到的问题情境产生知识碰撞,从而引发进一步学习新知识的欲望.
活动 二: 探究 与 应用 【探究】 方差与标准差 在本节一开始的射击问题中,甲与丁每次的射击成绩如图6-1-10所示,他们的平均成绩都是8环,两个人的射击表现一样吗 你对甲、丁的射击表现有什么评价 (1)你觉得谁发挥得更稳定 你的理由是什么 图6-1-10 处理方式:展示问题,让学生通过观察进行判断,并说明判断的理由. 学情预设:学生通过观察,会比较容易得到甲的成绩偏离平均值较小,成绩比较稳定. (2)你能设法通过计算说明两人成绩的稳定程度吗 与同伴进行交流. 学情预设:对于问题(2)学生会有一定的困难,教师可先介绍离差平方和、方差的概念,然后让学生根据公式完成计算,并进行说明. 教师说明:在实际生活中,除了关心数据的集中趋势外,人们往往还关注数据的离散程度,即它们相对于集中趋势的偏离情况.在统计学里,数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画. 【概括新知】 离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和,即S2=(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2. 方差是各个数据与它们平均数之差的平方的平均数,即 s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]. 其中,是x1,x2,…,xn的平均数.而标准差则是方差的算术平方根. 处理方式:对于概念的处理要让学生明确公式中各字母表示的意义,并让学生说一说求方差的步骤. 归纳:方差计算的步骤:“先平均,再求值,然后平方,最后再平均”,一般而言,一组数据的方差或标准差越小,这组数据就越稳定. 追问:现在请你分别计算甲、丁的方差,来说明两人成绩谁更稳定一些 学生在练习本上独立完成后,教师展示结果,并进行讲评. =(6+7×3+8×5+9×3+10)=8(环), =[(6-8)2+(7-8)2×3+(8-8)2×5+(9-8)2×3+(10-8)2]=, =(6×4+7×2+9×2+10×4)=8(环), =[(6-8)2×4+(7-8)2×2+(9-8)2×2+(10-8)2×4]=3. 因为<3, 所以甲成绩较稳定. 　　1.通过直观感受让学生发现实际问题中当平均数相同时,确定稳定性的重要性,培养学生识图的能力. 2.理解和掌握离差平方和、方差和标准差的概念,理解它们是衡量数据离散程度的统计量,并通过计算让学生掌握离差平方和、方差和标准差的计算方法和步骤,提高学生的计算能力.
活动 二: 探究 与 应用 教师说明:使用科学计算器可以很方便地计算一组数据的标准差,如利用计算器可以求出甲的标准差为=≈1.04(环). 【思考·交流】 (1)计算图6-1-11中丙射击成绩的方差,并对甲、丙的射击成绩进行比较. (2)丁又进行了几次射击,这时他所有射击成绩的平均数没变,但方差变小了.你认为丁后面几次射击的成绩有什么特点 与同伴进行交流. 图6-1-11 处理方式:问题(1)要让学生先求出丙的平均数,再利用方差公式进行计算;问题(2)让学生小组讨论交流,说明判断的理由,然后进行讲评,最后得出结论. 说明:方差越小,说明各数据偏离平均值越小,越接近于平均值. 总结:在我们的实际生活中,会出现上面的情况,平均值一样,这里我们也应该关心数据与平均值的离散程度.也就是说,这种情况下,人们除了关注数据的“平均值”即“平均水平”外,还应该关注数据的离散程度,即相对于“平均水平”的偏离情况. 【应用】 例　已知两组数据: 甲:42,41,40,39,38; 乙:40.5,40.1,40,39.9,39.5. 计算这两组数据的方差. 解:=×(42+41+40+39+38)=40, =×[(42-40)2+(41-40)2+(40-40)2+(39-40)2+(38-40)2]=2; =×(40.5+40.1+40+39.9+39.5)=40, =×[(40.5-40)2+(40.1-40)2+(40-40)2+(39.9-40)2+(39.5-40)2]=0.104. 变式 某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩(单位:分)中随机抽取8次,记录如下: 甲:95,82,88,81,93,79,84,78; 乙:83,92,80,95,90,80,85,75. (1)请你计算这两组数据的平均数; (2)现要从甲、乙两人中选派一人参加操作技能比赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪名工人参加合适 请说明理由. 　　3.体会数据的变化对方差的影响,提高学生分析问题、理解问题的能力. 4.进一步掌握方差的计算方法,并能利用方差解决实际问题.
活动 二: 探究 与 应用 解:(1)甲的平均数=(95+82+88+81+93+79+84+78)÷8=85, 乙的平均数=(83+92+80+95+90+80+85+75)÷8=85, 故这两组数据的平均数都是85. (2)派甲参赛合适,理由如下: 甲的方差=[(95-85)2+(82-85)2+(88-85)2+(81-85)2+(93-85)2+(79-85)2+(84-85)2+(78-85)2]÷8=35.5, 乙的方差=[(83-85)2+(92-85)2+(80-85)2+(95-85)2+(90-85)2+(80-85)2+(85-85)2+(75-85)2]÷8=41. 甲、乙的平均数相同,但甲的方差小,比较稳定,所以派甲参赛合适.(合理即可)
【拓展提升】 一次期中考试中,A,B,C,D,E五位同学的数学、英语成绩等信息如下表所示(单位:分): ABCDE平均分标准差数学7172696870英语888294857685
(1)求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分与英语成绩的标准差; (2)为了比较不同学科考试成绩的好与差,采用标准分是一个合理的选择,标准分的计算公式是:标准分=(个人成绩-平均成绩)÷成绩标准差. 从标准分看,标准分大的考试成绩更好.请问A同学在本次考试中,数学与英语哪个学科考得更好. 　　拓展学生的思维,提升解题能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.在一次定点投篮训练中,五位同学投中的个数分别为3,4,4,6,8,则关于这组数据的说法不正确的是 ( ) A.平均数是5　　　　　 B.标准差是1.6 C.众数是4 D.方差是3.2 2.四名运动员参加了射击预选赛,他们的成绩数据的平均数及方差如下表所示: 甲乙丙丁平均数8.39.29.28.5方差111.11.7
如果选出一个成绩较好且状态稳定的人去参赛,那么应选 ( ) A.甲　　　　　B.乙　　　　　C.丙　　　　　D.丁 3.要从甲、乙两名同学中选出一名代表班级参加射击比赛,如图6-1-12是两人最近10次射击训练成绩的折线统计图. 图6-1-12 (1)已求得甲的平均成绩为8环,求乙的平均成绩; (2)观察图形,直接写出甲、乙这10次射击成绩的方差与哪个大; (3)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右,本班应该选谁参赛更合适 如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右,本班应该选谁参赛更合适 　　当堂检测,及时反馈学习效果.
(续表)
活动 三: 课堂 总结 反思 【板书设计】 第3课时　离差平方和、方差与标准差 离差平方和:S2=(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2. 方差:s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]. 其中是x1,x2,…,xn的平均数. 标准差:方差的算术平方根.即: . 　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 使用具体事例引入课题,让学生在具体情境中主动学习,灵活地引入概念,即唤起学生的态度体验又化难为易,增强了学生的思维能力和知识的迁移能力,使学生全面且顺利地认识现象和规律. ②[讲授效果反思] 构建有效问题串,以问题为核心,使学生现有知识与现实矛盾产生认知冲突,引导学生的探究活动,这样有利于学生积极地把新知识、新概念与认知结构中原有的概念相联系,最终达到融会贯通.不仅重视结果的获得,更重视学生探究的过程,重视方法的指导. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号　　 错题题号　　 　　反思,更进一步提升.

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