资源简介

28.1　锐角三角函数
第1课时　正弦
1．理解并掌握锐角三角函数中正弦的 定义．
2．在直角三角形中求锐角的正弦值．
3．通过探究正弦概念的形成，体会由特殊到一般的数学思想，培养学生的归纳推理能力．
重点：理解正弦函数的意义，会求锐角的正弦值．
难点：理解当直角三角形的锐角确定时，这个锐角的对边与斜边的比是固定值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
操场上有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆的高度．
小明在离旗杆底部10 m远处目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34°，并且已知目高为1.5 m，然后他很快就算出了旗杆的高度．你想知道小明是怎样算出来的吗？
探究点一　正弦　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例1】如图，sinA等于(　　)
A.2 B.
C. D.
【解析】根据正弦的定义可得sinA＝.
【答案】C
【方法总结】我们把直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝.
探究点二　正弦的应用
类型一　已知直角三角形的边长，求正弦值
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC＝8，AC＝10.求sinA和sinB的值．
【解析】求sinA和sinB的值，实质就是求∠A与∠B的对边与斜边的比．先利用勾股定理求未知的斜边，再求正弦值．
【解】在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB＝＝＝2，
∴sinA＝＝＝，
sinB＝＝＝.
类型二　已知正弦值，求直角三角形的边长
【例3】在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，sinA＝.求AB，AC的长．
【解析】已知sinA及∠A的对边BC的长度，可以求出斜边AB的长，然后再利用勾股定理，求出AC的长．
【解】∵sinA＝，∴＝.
∵BC＝6 cm，∴AB＝10 cm，
∴AC＝＝＝8(cm)．
【方法总结】已知一边及其对角的正弦值时，一般需结合勾股定理解决问题．
如图所示，△ABC的顶点都是网格图(每个小正方形的边长均为1)中的格点，则 sin∠ABC等于 (　　)
A. B. C. D.
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，且sinB＝，试求AC，AB的长．
第1课时　正弦
1．在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都不变，是一个固定值．
正弦的定义：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝＝.
3．利用正弦解决问题．
本节课探究了在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值，从而得出正弦的定义，并能利用定义解决问题．
本节课的重点是探究直角三角形中锐角确定时，它的对边和斜边的比是否是固定值，由此归纳总结正弦的定义．在教学设计中，注重知识间的联系，由之前所学知识自然推导结论，由结论自然推导出正弦的概念．在此基础上，引导学生学会运用正弦的定义解决问题，加深学生对正弦概念的理解和掌握．　
答案
课堂训练
1．C
2．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴sinB＝＝.
设AC＝3x，则AB＝5x.
∵AB2＝AC2＋BC2，
∴(5x)2＝(3x)2＋62＝9x2＋36，
即25x2＝9x2＋36，
解得x＝(负值已舍去)，
∴AC＝3x＝，AB＝5x＝.
第2课时　余弦和正切
1．认识并理解余弦、正切的概念，进而得到锐角三角函数的概念．
2．能灵活运用锐角三角函数进行相关运算．
3．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生观察、比较、分析和概括等逻辑思维能力．
重点：理解余弦、正切的概念．
难点：熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
观察两块大小不同的三角板，当角是30°，45°，60°时，它们的邻边与斜边、对边与邻边的比有什么规律？谈谈你的看法．
探究点一　余弦和正切的定义
类型一　利用余弦的定义求锐角三角函数值　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°,AB＝13，AC＝12，则cosA的值为 (　　)
A. B. C. D.
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°,AB＝13，AC＝12，∴cosA＝＝.
【答案】C
【方法总结】在直角三角形中，锐角的余弦值等于它的邻边与斜边的比值．
类型二　利用正切的定义求锐角三角函数值
【例2】如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，则 tan∠BAC的值是 (　　)
A. B. C. D.
【解析】如图，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，则tan∠BAC＝＝.
【答案】C
【方法总结】在直角三角形中，锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值．
探究点二　利用三角形的边角关系求锐角三角函数值
【例3】如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D.若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求cosC的值．
【解析】根据tan∠BAD＝，求得BD的长，再求出CD的长，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AC的长，然后利用余弦的定义求解．
【解】∵在Rt△ABD中，tan∠BAD＝＝，
∴BD＝AD·tan∠BAD＝12×＝9，
∴CD＝BC－BD＝14－9＝5，
∴AC＝＝＝13，
∴cosC＝＝.
【方法总结】当图形中没有直角三角形时，求锐角三角函数值可以用恰当的方法构造直角三角形．在不同的直角三角形中，要根据锐角三角函数的定义，分清它们的边角关系．结合勾股定理是解答此类问题的关键．
1．如图所示，A，B，C三点在网格图的格点处，小正方形网格的边长均为1.若将△ACB绕点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为________．
2．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，AC＝2，CD＝1，设∠CAD＝α.
(1)求sinα，cosα，tanα的值；
(2)若∠B＝∠CAD，求BD的长．
第2课时　余弦和正切
1．余弦的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则cosA＝＝.
2．正切的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则tanA＝＝.
3．利用锐角三角函数解决问题．
本节课了解了正切、余弦的概念，并学会了利用三角形的边角关系求锐角三角函数的值．
本节课的主要内容是通过复习上节课所学的探究正弦的方法和技巧，使学生理解余弦、正切的概念，并掌握有关锐角三角函数的计算.在探究活动中，教师引导学生仿照研究锐角的正弦的思路和方法，自己完成锐角的余弦、正切的探索过程，从而得到余弦和正切的概念．例题的分析和解答在教学过程要以学生为主体，通过小组合作交流完成，教师要及时给予点拨，加深学生对概念的理解和掌握，培养学生的解题能力．
答案
课堂训练
1．
2．解：(1)在Rt△ACD中，
∵AC＝2，DC＝1，∴AD＝＝，
∴sinα＝＝＝，cosα＝＝＝，
tanα＝＝.
(2)在Rt△ABC中，∵tanB＝，∠B＝∠CAD＝α，
∴tanα＝tan B＝＝ ，∴BC＝4 ，
∴BD＝BC－CD＝4－1＝3.
第3课时　特殊角的三角函数值
1．熟记30°，45°，60°角的锐角三角函数值．
2．能应用特殊角的锐角三角函数值，并根据这些值说出对应的锐角度数．
3．初步掌握用计算器求锐角三角函数值的方法．
4．逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力，提高学生对几何图形的认识，感受锐角三角函数的实际应用价值．
重点：特殊角的锐角三角函数值．
难点：特殊角的锐角三角函数值的记忆及应用．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦值、余弦值、正切值是怎么定义的？
问题2：两块三角板中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角板较短的边长为1，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
探究点一　特殊角的锐角三角函数值
类型一　　运用特殊角的锐角三角函数值进行计算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例1】求下列各式的值：
(1)－tan45°；
(2)2sin30°＋3tan30°－tan45°；
(3)＋.
【解析】代入特殊角的锐角三角函数值直接计算即可．
【解】(1)－tan45°＝－1＝0.
(2)2sin30°＋3tan30°－tan45°
＝2×＋3×－1＝.
(3)＋＝＋＝1＋.
类型二　由特殊角的锐角三角函数值求角的度数
【例2】若tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是 (　　)
A．20° B．30°
C．40° D．50°
【解析】∵tan(α＋10°)＝1，∴tan(α＋10°)＝.∵tan30°＝，∴α＋10°＝30°，∴α＝20°.
【答案】A
类型三　特殊角的锐角三角函数值的应用
【例3】已知在△ABC中，∠A与∠B满足(1－tanA)2＋＝0，试判断△ABC的形状．
【解析】根据非负性的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的锐角三角函数值求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．
【解】∵(1－tanA)2＋＝0，
∴tanA＝1，sinB＝，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°－45°－60°＝75°，
∴△ABC是锐角三角形．
【方法总结】一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，其中的每一项都必须等于0.
探究点二　用计算器求锐角三角函数值及锐角的度数
类型一　用计算器求锐角三角函数值
【例4】用计算器求下列各式的值(精确到0.000 1)：
(1)sin47°；(2)sin12°30′；
(3)cos25°18′；(4)sin18°＋cos55°－tan59°.
【解析】(1)利用计算器中的、、
键求三角函数值；(2)锐角的度数为度、分、秒形式时注意利用键．
【解】(1)sin47°≈0.731 4.
(2)sin12°30′≈0.216 4.
(3)cos25°18′≈0.904 1.
(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.781 7.
类型二　已知锐角三角函数值，用计算器求锐角的度数
【例5】已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角A，B的度数(结果精确到0.1°)：
(1)sinA＝0.7，sinB＝0.01；
(2)cosA＝0.15，cosB＝0.8；
(3)tanA＝2.4，tanB＝0.5.
【解析】由锐角三角函数值求角的度数时，可用、、键的第二功能键，要注意按键的顺序．
【解】(1)由sinA＝0.7，得∠A≈44.4°；由sinB＝0.01得∠B≈0.6°.
(2)由cosA＝0.15，得∠A≈81.4°；由cosB＝0.8，得∠B≈36.9°.
(3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4°；由tanB＝0.5，得∠B≈26.6°.
探究点三　用计算器求锐角三角函数值解决实际问题
【例6】为了减少交通事故，高速公路某路段限速为60 km/h(约16.7 m/s)．周末小明决定用自己所学的知识检测该路段行驶车辆的车速．如图，观测点设在A处，与高速公路的距离(AC)为20 m，这时一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为7 s，∠BAC为80°.通过计算说明，此车是否超过了该路段的限速？
【解析】由于观测点A处与高速公路的距离(AC)为20 m，且∠ACB＝90°，根据80°角的正切值先求出BC的长，再根据速度＝路程÷时间，得到汽车的速度，与60 km/h进行比较即可．
【解】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝80°，AC＝20，
∴BC＝AC·tan∠BAC＝20×tan80°≈113.4.
∵此车速度＝113.4÷7＝16.2(m/s)＜16.7(m/s)≈60(km/h)，
∴此车没有超过该路段的限速．
1．计算·sin45°的结果为 (　　)
A. B.1
C. D.
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝6.求∠A的度数．
第3课时　特殊角的三角函数值
1．特殊角的锐角三角函数值
锐角　　　　三角函数　　锐角A的度数 30° 45° 60°
sinA
cosA
tanA 1
2.规律：当0°< α <90°时，
α的正弦值随着角度的增大而增大；
α的余弦值随着角度的增大而减小；
α的正切值随着角度的增大而增大．
03．已知角度，用计算器求锐角三角函数值．
步骤：
第一步：按计算器sin(cos或tan)键；
第二步：输入角度值；
屏幕显示答案．
已知锐角三角函数值，用计算器求锐角的度数．
步骤：
第一步：依次按计算器2ndF sin(cos或tan)键；
第二步：输入函数值；
屏幕显示答案．
本节课学生学习了特殊角的锐角三角函数值，会求含有特殊角的锐角三角函数的代数式，并能根据已知的特殊角的锐角三角函数值求角的度数．还学会了用计算器求任意锐角的三角函数值和已知锐角的三角函数值用计算器求角度．
本节课通过特殊角所在的直角三角形边之间的关系及勾股定理和锐角三角函数的定义，推导出特殊角的锐角三角函数值．通过教师引导填写表格，加深学生对特殊角的锐角三角函数值的记忆，学生动手、动脑，提高了分析问题的能力．把求特殊角的锐角三角函数值和已知特殊角的锐角三角函数值求角的度数这两个互逆的问题安排在一起，在学习中体现锐角三角函数中角与函数值两者的对应关系．　
答案
课堂训练
1．B
2．解：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，b=6，
∴tanA＝＝＝，
∴∠A＝30°.28.2.1　解直角三角形
1．理解直角三角形中五个元素之间的关系及什么是解直角三角形．
2．会利用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
3．熟练掌握计算器的按键顺序．
重点：理解解直角三角形的概念，掌握解直角三角形的方法．
难点：理解并掌握解直角三角形的方法．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
在本章引言中，我们描述过比萨斜塔倾斜程度的问题，把1972年的情形抽象为数学问题：设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为C(如图所示)．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2 m，AB＝54.5 m，求∠A的度数．
在Rt△ABC中，你还能求出其他的边和角吗？
探究点一　已知两边解直角三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝0.832 8，b＝0.295 4，解这个直角三角形．
【解析】已知两边解直角三角形，可以直接求出其中一个锐角和第三条边，再利用两锐角互余求出另一个锐角．
【解】∵sinB＝＝≈0.354 7，
∴∠B≈20°47′，
∴∠A＝90°－∠B＝90°－20°47′＝69°13′.
a＝＝≈0.778 6.
探究点二　已知一边一角解直角三角形
【例2】如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a＝6，解这个直角三角形．
【解析】已知一边一角解直角三角形，往往先求出另一个锐角，再灵活选择已知的边与角的三角函数或勾股定理求另外两边．如在求c时，可以选用cosA＝，sinB＝或c＝来求解．
【解】∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠B＝90°－∠A＝30°.
∵tanA＝，∴b＝＝＝2.
∵sinA＝，∴c＝＝＝4.
【方法总结】解直角三角形时，常用到下列变形：①锐角之间的关系：∠A＝90°－∠B，∠B＝90°－∠A；②三边之间的常用变形：a＝，b＝，c＝；③边角之间的常用变形：a＝c·sinA，b＝c·cosA，a＝b·tanA，a＝c·cosB，b＝c·sinB，b＝a·tanB.
探究点三　作三角形的高构造直角三角形解决问题
【例3】如图所示，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2.求AB的长．
【解析】作三角形的高是构造直角三角形的常用方法．
【解】如图，过点C作CD⊥AB于点D，
则∠ADC＝∠BDC＝90°.
∵∠A＝30°，AC＝2，
∴CD＝AC sinA＝AC＝，
∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，
∴BD＝CD＝.
故AB＝AD＋BD＝3＋.
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为 (　　)
A．7sin35° B.
C．7cos35° D．7tan35°
2．根据下列条件解直角三角形．
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝5；
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝.
28.2.1　解直角三角形
1．解直角三角形的概念
定义：由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2．直角三角形中五个元素之间的关系
(1)三边之间关系：a2＋b2＝c2(勾股定理)；
(2)两锐角之间关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间关系：sinA＝，cosA＝，tanA＝.
3．解直角三角形的基本类型及解法步骤
已知类型 已知条件 解法步骤
两边 斜边，一直角边(如c，a) (1)b＝(2)由sinA＝求得∠A(3)∠B＝90°－∠A
两直角边(a，b) (1)c＝(2)由tanA＝求得∠A(3)∠B＝90°－∠A
一边一角 斜边，一锐角(如c，∠A) (1)∠B＝90°－∠A(2)由sinA＝，得a＝c·sinA(3)由cosA＝，得b＝c·cosA
一直角边，一锐角(如a，∠A) (1)∠B＝90°－∠A(2)由tanA＝，得b＝(3)由sinA＝，得c＝
本节课学习了解直角三角形的概念，掌握了直角三角形中五个元素之间的关系，并会解直角三角形．
复习直角三角形三边之间的关系、角之间的关系及边角之间的关系，为本节课的学习打下基础，同时以生活实际问题导入新课，激发学生学习兴趣，调动学生学习的积极性．通过探究已知直角三角形的两个元素求其他元素的过程，很自然地引出解直角三角形的概念，学生经历概念的形成过程，更利于理解与掌握．例题的分析讲解，有助于学生体会解直角三角形的方法，培养学生良好的思维习惯．　
答案
课堂训练
1．C
2．解：(1)根据勾股定理，得AC＝＝5.
∵sinA＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝60°.
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝30°.
∵sinA＝＝，BC＝，∴AB＝2，由勾股定理，得AC＝＝1.九年级·RJ版
28.2.2　应用举例
第1课时　利用俯角、仰角解直角三角形
1．了解俯角、仰角的有关概念，通过对实际问题的探究，学会利用解直角三角形的知识解决实际问题．
2．在具体情景中，从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识解决实际问题．
3．能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解．
重点：能根据题意画出示意图，并将实际问题中的数量关系转化为直角三角形元素之间的关系．
难点：正确理解题意，将实际问题转化为数学模型．
在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题．
探究点　利用俯角和仰角求高度
类型一　利用俯角求高度
【例1】如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为80 m，从甲建筑物的顶部A处测得乙建筑物的顶部D处的俯角为50°，测得底部C处的俯角为62°.求甲、乙两座建筑物的高度AB和DC(结果保留整数，参考数据：tan50°≈1.19，tan62°≈1.88)．
【解析】作DE⊥AB于点E，根据正切的定义分别求出AB，AE，得到答案．
【解】过点D作DE⊥AB于点E.
易知四边形EBCD为矩形，
∴DE＝BC＝80，BE＝CD.
由题意，得∠ADE＝50°，∠ACB＝62°，
在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，
∴AE＝DE·tan∠ADE≈80×1.19＝95.2≈95.
在Rt△ACB中，tan∠ACB＝，
∴AB＝BC·tan∠ACB≈80×1.88＝150.4≈150，
∴CD＝BE＝AB－AE≈150－95＝55.
故甲建筑物的高度AB约为150 m，乙建筑物的高度CD约为55 m.
【方法总结】本题考查了利用俯角求高度，解答本题的关键是构造直角三角形，利用锐角三角函数的知识求解相关线段的长度．
类型二　利用仰角求高度
【例2】某小区举行放风筝比赛，一选手的风筝C距离地面的垂直高度CD为226 m，小明在火车站广场A处观测风筝C的仰角为21.8°，同时小花在某楼楼顶B处观测风筝C的仰角为30°，其中小花观测处距水平地面的垂直高度BE为100 m，点A，E，D在一条直线上．试求小明与楼BE间的水平距离AE(结果保留整数，参考数据：≈1.73，sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40，tan30°≈0.58)．
【解析】过点B作BG⊥CD于点G，解直角三角形求出BG和AD的长，则可求出答案．
【解】过点B作BG⊥CD于点G.
易知四边形BEDG是矩形，
∴BG＝ED，BE＝DG.
在Rt△CBG中，CG＝CD－DG＝226－100＝126，
∴BG＝＝≈217.
在Rt△CAD中，∵tan∠CAD＝，
∴AD＝＝≈565，
∴AE＝AD－DE＝AD－BG≈565－217＝348.
故小明与楼BE间的水平距离AE约为348 m.
【方法总结】解决此类问题，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
类型三　俯角和仰角的综合
【例3】某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB的高度，他们来到与建筑物AB在同一平地且相距12 m的建筑物CD上的C处观察，测得此建筑物顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°.求建筑物AB的高度(结果保留整数，参考数据：≈1.4，≈1.7)．
【解析】过点C作AB的垂线CE，垂足为E，根据题意可得出四边形CDBE是正方形，由BD＝12 m可知BE＝CE＝12 m，再由AE＝CE·tan30°得出AE的长，进而可得出结论．
【解】过点C作AB的垂线，垂足为E.
∵CD⊥BD，AB⊥BD，∠ECB＝45°，
∴四边形CDBE是正方形．
∵BD＝12，∴BE＝CE＝12，
∴AE＝CE·tan30°＝12×≈7，
∴AB≈7＋12＝19.
故建筑物AB的高度约为19 m.
1．从高出海平面50 m的灯塔处收到一艘帆船的求助信号，从灯塔看帆船的俯角为30°，此时帆船距灯塔________m(结果保留整数，参考数据：≈1.73)．
2．某校为检测师生的体温，在校门口安装了某型号测温门，如图为该测温门的截面示意图．已知测温门AD的顶部A处距地面的高为2.2 m，为了解自己的有效测温区间，身高1.6 m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为28°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°.求小聪在地面的有效测温区间MN的长度(额头到地面的距离以身高计，计算精确到0.1 m，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，tan60°≈1.73)．
第1课时　利用俯角、仰角解直角三角形
1.仰角、俯角的概念
2.利用俯角和仰角求高度
3.仰角和俯角的综合
方法：解决有关俯角、仰角的实际问题，常通过解视线与水平线构成的双直角三角形，得到实际问题的结果．
本节课学习了用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的问题，将实际问题转化为数学模型．
本节课的内容是解直角三角形的应用，难点是建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．在课堂上，学生在教师提出的问题的引导下，通过独立思考、自主学习、合作探究等数学活动，画出示意图，构建出数学模型，然后独立完成解答，最后归纳解题思路和步骤，达到培养学生分析问题、解决问题的能力以及提高学生数学思维的目的．
答案
课堂训练
1．87
2．解：延长BC交AD于点E，易知BE⊥AD，且AE＝AD－DE＝0.6.
∵BE＝≈1.13，CE＝≈0.35，
∴BC＝BE－CE≈1.13－0.35＝0.78，
∴MN＝BC≈0.8.
故小聪在地面的有效测温区间MN的长度约为0.8 m．
第2课时　利用方向角、坡度解直角三角形
1．了解坡度、坡角的有关概念，知道坡度与坡角之间的关系．
2．能够应用解直角三角形的知识解决与方向角、坡度、坡角有关的问题．
重点：用锐角三角函数的有关知识解决方向角、坡度、坡角的有关问题．
难点：准确分析问题并将实际问题转化成数学模型．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一艘轮船在大海上航行，当航行到A处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B处观测到轮船在什么方向？若轮船在A处继续往正西方向航行到C处，此时，C处位于小岛B的南偏西40°方向，你能确定C处的位置吗？请大家通过画图说明 一下．
探究点一　利用方向角解直角三角形
【例1】如图，在A港口的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A港口沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿南偏东45°方向以20 n mile/h的速度行驶2 h到达港口B.求A，B两个港口之间的距离(结果保留根号)．
【解析】过点C作CD⊥AB于点D，根据题意，得∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，BC＝20×2＝40，然后根据锐角三角函数即可求出A，B间的距离．
【解】如图，过点C作CD⊥AB于 点D.
根据题意可知，∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，BC＝20×2＝40，
∴在Rt△BCD中，CD＝BD＝BC＝20，
在Rt△ACD中，AD＝CD·tan60°＝20，
∴AB＝AD＋BD＝20＋20.
故A，B间的距离为(20＋20)n mile.
【方法总结】在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
探究点二　利用坡角、坡度解直角三角形
【例2】如图，某地下车库的入口处有斜坡AB，它的坡度为i＝1∶2，即AH∶BH＝1∶2，斜坡AB的长为6 m，斜坡的高度为AH(AH⊥BC)，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14°(∠ACB＝14°)．求：
(1)车库斜坡的高度AH；
(2)点B与点C之间的距离(结果精确到1 m，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25)．
【解析】(1)利用坡度为i＝1∶2，得出AH∶BH＝1∶2，进而利用勾股定理求出AH的长；(2)利用tan14°＝，求出BC的长即可．
【解】(1)由题意，得AH∶BH＝1∶2.
设AH＝x，则BH＝2x，
∴x2＋(2x)2＝(6)2，解得x＝6.
故车库的高度AH为6 m.
(2)∵AH＝6，∴BH＝2AH＝12，
∴CH＝BC＋BH＝BC＋12.
在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，
∴tan∠ACB＝.
又∵∠ACB＝14°，
∴tan14°＝，即0.25≈，
解得BC≈12.
故点B与点C之间的距离约是12 m.
如图，大坝横截面的迎水坡AB的坡度为1∶2，即BC∶AC＝1∶2.若坡面AB的水平宽度AC为12 m，则斜坡AB的长为
(　　)
A．4 m B．6 m
C．6 m D．24 m
2．如图，A，B两市相距150 km，国家级风景区中心C位于A市北偏东60°方向上，位于B市北偏西45°方向上．已知风景区是以点C为圆心、50 km为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A，B两市的高速公路，高速公路AB是否穿过风景区？通过计算加以说明(参考数据：≈1.73)．
第2课时　利用方向角、坡角解直角三角形
1．方向角的意义
解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形求解．
2．坡度、坡比的意义
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或叫做坡比)，一般用i表示，即i＝＝tanα，常写成i＝1∶m的形式．
坡角：把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
3．应用方向角、坡度、坡角解决实际问题
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；
(2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)结合实际情况，得到实际问题的答案．
4．举例
本节课学生学习了坡度、坡角的有关概念，知道了坡度与坡角之间的关系，并会利用解直角三角形的知识解决有关方向角、坡度、坡角的实际问题．
本节课以复习上节课的知识——建立数学模型，应用解直角三角形的知识解决实际问题导入新课．本节课是上节课的延续，再以和坡度、坡角以及方向角有关的实际问题导入新课，激发学生的学习兴趣．
答案
课堂训练
1．C　【解析】∵大坝横截面的迎水坡AB的坡度为1∶2，AC＝12，∴＝＝，∴BC＝6，∴AB＝＝＝6(m)．
2．解：高速公路AB不穿过风景区．理由如下：
过点C作CH⊥AB于点H，如图所示．
根据题意，得∠CAB＝30°，∠CBA＝45°.
在Rt△CHB中，∵tan∠CBH＝＝1，
∴CH＝BH.
设BH＝t km，则CH＝t km.
在Rt△CAH中，∵tan∠CAH＝＝，
∴AH＝t.
又∵AB＝150，
∴t＋t＝150，
解得t＝≈54.95.
∵54.95 km＞50 km，
∴高速公路AB不穿过风景区．

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