资源简介

4.2.1 《认识一次函数》教学设计
※教学定位※
【教材分析】
本节课是北师大版《义务教育教科书 数学》八年级上册（以下统称“教材”）第四章“一次函数”4.2.1认识一次函数，内容包括：认识一次函数变化的现象：均匀递增的现象和均匀递减的现象.
函数是刻画变量间对应关系的核心工具，一次函数是函数家族中基础且典型的代表.本节课依托滴漏水龙头漏水量、驱蚊线香燃烧等生活实验，让学生直观感知“均匀变化”的变量关系，为后续抽象出一次函数概念、探究图象性质及应用筑牢根基，是从生活实际走向函数模型的关键衔接.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：识别生活中的“均匀变化”现象.
【学习目标】
1.教学目标
（1）. 经历滴漏水龙头、线香燃烧实验，精准识别变量“均匀变化”现象，能结合实验数据推导函数关系式，初步构建一次函数的直观认知.
（2）. 通过实验探究、数据分析、合作交流，提升抽象概括、逻辑推理能力，深度体会数学建模思想.
（3）. 感受数学与生活的紧密关联，增强用数学眼光观察、分析生活问题的意识，激发学习兴趣与探究热情.
2.目标解析
（1）. 对于“识别‘均匀变化’，推导关系式”：学生能在实验中清晰察觉漏水量随时间、线香长度随燃烧时间的“均匀变化”（如漏水量每分钟增5.5mL、线香长度每分钟减0.5cm ），并依据数据，通过设表达式、代入求解，得出V = 5.5t、l = - 0.5t + 22.9等关系式，理解“均匀变化”对应函数关系式的线性特征，为认知一次函数打基础.
（2）. 关于“提升能力，体会思想”：学生全程参与实验，从操作中收集数据，分析时归纳“均匀变化”规律，推导时将实际问题转化为函数模型，完整经历数学建模流程，切实掌握建模方法，锻炼抽象、推理能力，深刻领会建模思想的价值.
（3）. 就“感受关联，激发兴趣”：学生借助生活实验探究，直观看到数学规律在生活中的体现，明白数学能解决实际问题，从而主动关注生活里的数学现象，积极探索数学应用，提升学习内驱力.
【学情分析】
学生此前学过变量、常量及变量间关系的三种表示（表格、图象、关系式 ），具备初步数据分析和简单代数运算能力.但面对真实生活实验（如控制水龙头滴漏、准确测量线香长度 ），操作规范性、数据精准性把控不足；从复杂实验数据中抽象数学规律（如“均匀变化” ）、建立函数模型，仍需系统引导，知识应用的深度和广度有待拓展.但学生学习时可以会出现一些困难：1.实验操作困境：调节水龙头实现稳定滴漏难度大，量杯读数易有误差，线香燃烧长度测量不精准，导致数据偏差，干扰“均匀变化”规律的发现.2. 规律抽象障碍：从“漏水量每分钟增5.5mL”“线香长度每分钟减0.5cm”的具体现象，抽象出“y随x均匀变化的一般规律，学生难以突破“具体—抽象”的思维跨度.
实验应对：教师课前调试实验器材（确保水龙头可稳定滴漏 ），课堂上详细示范操作（如量杯平视读数、线香长度测量方法 ）；分组时，强弱搭配，互助协作，若数据偏差大，参考教材示例数据或重新实验，保障规律探究的科学性.
抽象突破：通过“问题串”引导，如“漏水量从第1分钟到第2分钟增了多少？第2到第3分钟呢？变化量一样吗？”“线香长度减少量有何规律？”，让学生聚焦“均匀变化”本质；对比“均匀变化”与“非均匀变化”（如手机电量随机消耗 ），强化认知.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：抽象“均匀变化”的数学本质.
※教学过程※
【导入新课】
1.情景引入
我国人均生活用水量：1.城镇（含公共用水）207L/d；2.农村100 L/d.
一个滴漏的水龙头一年的漏水量大约有多少？够一个人一年使用吗 先猜一猜，再设计一个方案具体估算一下，并与同伴进行交流.
(设计意图：以熟悉的生活场景为切入点，激活学生生活经验，激发探究欲，让学生明确本节课要从生活现象中找数学规律.)
【新知探究】
探究点1　认识一次函数的现象(一)
将水龙头拧到适当位置，造成滴漏现象，在水龙头下方放一个量杯.每隔 1 min,记录一下量杯中的水量，并将数据填入下表.
请你估计：这个水龙头一天的漏水量是多少
(2)下表是小明通过实验得到的数据.
做一做：请根据小明的得到的数据，在坐标纸上描出（t,V）对应的点
.
算一算：小明实验用的这个水龙头一天的漏水量有多少？一年呢？够一个人一年使用吗
解：一天漏水量：一天有 24×60 =1440 分钟. 由数据可知每分钟漏水量为 5.5 mL，
则一天漏水量为 5.5×1440=7920mL=7.92L.一年漏水量：一年按 365 天算，
一年漏水量为 7.92×365＝2890.8 L. 即不够一个人一年使用.
(3)分析小明的数据，你能写出漏水量 V 与时间 t 之间的关系吗？
解：根据小明得到的数据，在平面直角坐标系中描出(v, t)对应的点；
故据图和数据得出结论：V = 5.5t
思考·交流 分享各组的实验结果，并交流下列问题：
（1）比较各组的实验数据与结果，有什么共同之处，又有什么不同之处？
共同之处：体现了随着时间的增加，漏水量也呈现增加的趋势.
不同之处：由于实验条件、操作手法等差异，
导致测量出的具体数据有差别.
（2）引起各组数据不一致的因素有哪些？这些因素的差别对表格、图象和表达式的影响分别体现在哪些方面？
因素：有仪器精度、环境条件、操作规范性等.
影响：表格中相同时间漏水量数值不同；
图象倾斜程度和与坐标轴交点有别；
表达式一次项系数和常数项可能会改变.
(3)假如漏水严重一些，表格、图象和表达式可能会发生什么变化 为什么
表格：相同时间漏水量数值“均匀”地增大.
图象：更陡,斜率增大.
表达式：一次项系数绝对值增大（初始状态无变化时）.
（设计意图：让学生亲历“操作—分析—建模—应用”全流程，在真实实验中感知“均匀变化”，学会从数据中找规律、建模型，掌握一次函数建模的基本方法，体会数学的实用性.）
（教学建议：实验前，教师现场示范“调节水龙头滴漏速度（用手轻捏水龙头，控制滴水频率 ）”“量杯读数（视线与液面凹底平齐 ）”，确保操作规范；分组时，指定“操作手”“记录员”等角色，分工明确.）
探究点2　认识一次函数的现象(二)
为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔 1 min 测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下：
(1)根据小颖得到的数据，在平面直角坐标系中描出( t,l )对应的点.
(2)估计燃烧 10 min 后这根香可燃烧部分的长度，并说明理由.
燃烧 10 min后这根香可燃烧部分的长度为:22.4－0.5×(10－1)＝17.9(cm).
(3)估计这根香可燃烧的时间，并说明理由.
香初始长 22.9 cm，燃尽需 45.8 min.
(4)试写出这根香可燃烧部分的长度 l 与燃烧时间 t 的关系式.
l 与 t 的关系式为 l = 22.9 - 0.5t
思考：在小颖的实验中，燃烧时间每增加 1 min,香可燃烧部分的长度就减少 0.5 cm.也就是说，随着时间的增加，香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少.为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢
解析：因为香的原材料分布均匀，结构较为一致，在燃烧过程中，其与氧气接触的条件相对稳定，外界环境因素在实验设定范围内相对固定时，就会出现这种随着时间等量变化的情况.
所谓“均匀”变化是指：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的.
生活中还有哪些“均匀”变化的现象？试举两例.
如：烧水升温，恒定功率加热时，水在沸腾前，水温随时间均匀上升.汽车匀速行驶中汽车以固定速度在公路上行驶，行驶路程随时间均匀增加.
（设计意图：延续“均匀变化”探究，对比漏水量的“增加型均匀变化”与线香长度的“减少型均匀变化”，完善学生对“均匀变化”的认知；深化对函数关系式中系数意义的理解，为一次函数概念的全面构建积累素材.）
（教学建议：实验时，提醒学生“线香燃烧远离易燃物，测量长度时，直尺紧贴线香未燃烧端”，保障安全与数据准确；若线香燃烧速度不均，及时更换或参考教材数据.）
典例分析
例 “人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，是说因为气温随地势的上升而降这一特点，才造成了山上、山下的桃花花期早迟不一这种地理现象.下面是小明对某地某一时刻距离地面的高度 h 与温度 t 测量得到的表格.
请回答下列问题：
上表反映了哪两个变量之间的关系 哪个是自变量 哪个是因变量
t 与 h 之间的关系式是 .
(3)你能估计温度为－19℃时，距离地面的高度是多少吗
解：（1）上表反映了温度和距离地面高度之间的关系， 距离地面高度是自变量，温度是因变量.
（2）根据表格数据知当高度每上升 1 km 时，温度下降 6 ℃，
∴ t＝－6h＋20；
（3）将t＝－19代入t＝－6h＋20，可得：－6h＋20＝－19，解得 h＝6.5，
答：温度为－19℃时，距离地面的高度是6.5 km.
（设计意图：巩固变量关系概念, 强化一次函数模型构建,培养数学应用与计算能力, 渗透跨学科知识融合.）
（教学建议：引导自主观察与思考：在呈现题目后，先让学生自主观察表格数据，思考并尝试回答问题（1），然后请学生分享自己的判断依据，教师给予肯定或引导修正，强化学生对变量、自变量和因变量概念的理解, 组织小组合作探究, 强调数学方法与步骤：在解决问题（3）时，教师要强调根据函数关系式求解未知量的方法和步骤.先引导学生明确已知条件和所求问题，然后将温度值代入关系式得到方程，详细讲解解方程的过程，包括每一步的依据和目的，培养学生严谨的数学思维和规范的解题习惯.）
【巩固练习】
1．如图，是一款上下细中间粗的水杯，水杯中装有一定量的水，然后往水杯中放入大小相同的骰子．随着放入骰子数量的增加,水杯中的水面会升高，这样的升高 不是 （填“是”或“不是”）“均匀”变化的．
2．变量， 的一些对应值如下表，根据表格中的数据规律推测，当时， 的值是( A )
A. B. C. 41 D. 75
3.水龙头关闭不严会造成滴水，从而造成资源浪费.为了调查漏水量与漏水时间的关系，小明进行以下试验与研究：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每 5 min 记录一次容器中的水量，并填写了下表.
(1)建立平面直角坐标系，以横轴表示时间 x ，纵轴表示水量 y ，画出函数图象；
(2)试写出漏水量 y 与漏水时间 x 的关系式，并由它估算这种漏水状态下一天的漏水量.
解：(1)利用描点法画出函数图象,如图所示.
(2)由题意，得关系式 y ＝6x,一天:24×60 min＝1440 min，即 x＝1440 min，
则 y＝6×1440＝8640 mL＝8.64 (L),
故这种漏水状态下一天的漏水量为 8.64 L.
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.
【课堂小结】
设计意图：运用思维导图将本节课主要知识点清晰呈现，同时强调“‘均匀变化’是一次函数现象的直观体现，其背后对应y = kt + b的数学模型，下节课将深入研究一次函数的严格定义与性质”，承上启下.
【作业布置】
1.必做题：习题4.2 第2题.
2.探究性作业：习题4.2 第4题，第6题.
【板书设计】
4.2.1认识一次函数认识一次函数变化的现象1. 均匀递增的现象2. 均匀递减的现象3. 核心思想：函数模型、抽象思想、数形结合 4. 例题区：（学生板演区域）

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