资源简介

5.1认识二元一次方程组
1.教学内容
本节课选自北师大版 2024 年八年级上册第五章第一节，是在学生已掌握一元一次方程概念、解法及应用的基础上展开的。教材通过 “雉兔同笼” 历史问题、绿植栽种、公园门票购买三个情境，引导学生从实际问题中抽象出含两个未知数的方程，进而归纳二元一次方程、二元一次方程组及其解的定义，为后续学习二元一次方程组的解法和实际应用奠定基础。
2.内容解析
从知识逻辑来看，本节课是 “一元一次方程” 到 “多元方程” 的过渡，核心是让学生理解 “引入第二个未知数” 解决实际问题的必要性，初步建立 “多元问题转化” 的数学思想，同时培养从实际情境中提取等量关系的能力。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念；根据实际情境列二元一次方程组。
教学目标
理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义，能准确判断一个方程是否为二元一次方程、一组数是否为方程组的解。
能根据实际情境中的等量关系，列出二元一次方程组，提升数学建模能力。
经历从实际问题抽象出数学概念的过程，感受数学与生活的联系，培养抽象思维和逻辑推理能力。
目标解析
理解层面：能说出二元一次方程 “含两个未知数、未知数项次数为 1” 的核心特征，明确方程组中 “同一字母代表同一量” 的要求，以及方程组的解 “需同时满足所有方程” 的本质。
应用层面：面对类似 “购票”“分配” 的实际问题，能先找出关键量（如人数、单价、数量），再梳理出 2 个及以上等量关系，最终列出规范的二元一次方程组。
素养层面：通过对比 “一元一次方程” 与 “二元一次方程组” 解决问题的思路，初步体会 “引入新未知数” 简化问题的优势，为后续 “消元法” 的学习埋下思维伏笔。
学情分析
（一）学生已有知识及掌握情况
学生在七年级已系统学习一元一次方程，能熟练从实际问题中找等量关系、列一元一次方程，具备一定的数学建模基础；同时，学生已掌握 “方程的解” 的概念，知道 “使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解”，这为理解 “二元一次方程（组）的解” 提供了迁移基础。
但学生此前接触的均为 “一元” 问题，习惯用一个未知数表示未知量，对于 “为何需要两个未知数”“如何同时处理两个方程” 等问题可能存在困惑，且在抽象概括二元一次方程和方程组的特征时，可能会忽略 “整式方程” 这一关键条件，或对 “未知数的次数为 1” 理解不透彻（例如误将 “xy = 5” 视为二元一次方程，因未意识到 “xy” 的次数为 2）。
（二）预估教学中遇到的困难以及解决困难的办法
1. 困难 1：难以理解 “为何需要两个未知数”，习惯用一元一次方程解决问题（如设一个未知数，用含该未知数的式子表示另一个量）。
解决办法：通过 “绿植栽种” 情境对比教学 —— 先让学生用一元一次方程求解（设小颖种 y 株，小明种 y+2 株），再引导尝试设两个未知数（x 株、y 株）列方程，让学生直观感受 “两个未知数更直接表达等量关系”，降低思维复杂度。
2. 困难 2：混淆 “二元一次方程的解” 与 “二元一次方程组的解”，误以为满足其中一个方程的解就是方程组的解。
解决办法：结合 “公园门票” 例题，先让学生找出方程 x+y=8 的多个解（如 (6,2)、(5,3)、(4,4)），再代入方程 5x+3y=34 检验，发现只有 (5,3) 同时满足两个方程，通过 “筛选” 过程强化 “公共解” 的概念。
3. 困难 3：从实际问题中提取两个独立的等量关系时，容易遗漏或重复。
解决办法：教学中提供 “量的梳理表”，让学生先列出情境中的所有关键量（如 “邮票问题” 中的 “总枚数”“总金额”“50 分邮票枚数”“80 分邮票枚数”），再对应找出 “枚数关系”“金额关系”，用 “找关键词”（如 “共”“比…… 多”“花费”）的方式辅助提炼等量关系。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解二元一次方程组的解 “需同时满足所有方程” 的本质；从复杂实际情境中准确提取两个独立的等量关系。
教学过程
1.情景引入
1.回顾旧知：提问 “什么是方程？什么是一元一次方程？”，引导学生回忆 “方程是含有未知数的等式”“一元一次方程是含有一个未知数，且未知数次数为 1 的整式方程”，并举例（如 “2x + 3 = 7”），为后续对比 “二元” 做铺垫。
2.展示《孙子算经》中 “雉兔同笼” 问题：“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”
3.引导学生思考：若用一元一次方程求解，如何设未知数？（设鸡 x 只，兔 35-x 只，列方程 2x+4 (35-x)=94）；若想直接表示 “鸡的数量” 和 “兔的数量”，能否用两个未知数？
(设计意图：通过历史名题激发兴趣，同时对比 “一元” 与 “二元” 的思考方式，自然引出本节课主题 —— 需要用两个未知数解决此类问题。)
(教学建议：给学生 1-2 分钟独立思考，鼓励学生分享一元一次方程的解法，再提出 “两个未知数” 的思路，避免直接灌输，让学生产生认知需求。)
探究点1　二元一次方程的概念
1.呈现 “绿植栽种” 情境：小明栽种的绿植比小颖多 2 株；小颖减 1 株、小明加 1 株后，小明的数量是小颖的 2 倍。
2.引导学生梳理量与等量关系：关键量为 “小明的株数（x）”“小颖的株数（y）”，等量关系①x-y=2；②x+1=2 (y-1)。
3.让学生观察两个方程的共同特征，小组讨论后归纳：含两个未知数，且未知数项的次数都是 1，进而得出 “二元一次方程” 的定义。
（设计意图：从具体情境抽象方程，再通过观察归纳概念，符合学生 “从具体到抽象” 的认知规律，同时强化 “等量关系→方程” 的建模思路。）
（教学建议：用 “反例” 辅助理解，如给出 x +y=3（次数不符）、x+2=5（未知数个数不符），让学生判断是否为二元一次方程，巩固概念核心特征。）
探究点2　 二元一次方程组的概念
1.呈现 “公园门票” 情境：8 人买票花 34 元，成人票 5 元 / 张，学生票 3 元 / 张。
2.学生独立列方程：设成人 x 人、学生 y 人，得 x+y=8，5x+3y=34。
3.提问：两个方程中的 x、y 含义是否相同？（均代表 “成人数量”“学生数量”），进而说明 “需将两个方程联立，组成方程组”，得出 “二元一次方程组” 的定义。
（设计意图：通过 “同一字母代表同一量” 的关键提问，让学生理解方程组的 “联立必要性”，避免将方程组简单视为 “两个方程的堆砌”。）
（教学建议：强调方程组的书写规范（大括号连接），并让学生举例生活中 “需要两个方程描述的问题”，如 “买笔和本子，总数量和总花费”，加深对概念的理解。）
探究点3　 二元一次方程（组）的解
1.探究二元一次方程的解：以 “x + y = 8” 为例，提问 “x=6，y=2 满足方程吗？x=5，y=3 呢？x=4，y=4 呢？”，让学生代入验证，得出 “这些都是方程的解”，再追问 “还能找到其他解吗？”，引导学生发现二元一次方程有无数个解，总结 “二元一次方程的解是使方程左右两边相等的一组未知数的值”。2.探究二元一次方程组的解：提问 “在‘公园门票’情境中，哪组 x、y 的值能同时满足 x + y = 8 和 5x + 3y = 34？”，让学生将 “x + y = 8” 的几组解（如 x=6,y=2；x=5,y=3；x=4,y=4）代入 “5x + 3y = 34” 验证，发现只有 “x=5，y=3” 同时满足两个方程，总结 “二元一次方程组的解是方程组中各个方程的公共解”。
3.检验方法总结：“代入验证法”—— 将未知数的值代入方程（组），若左右两边相等，则为解。
（设计意图：通过 “找解→检验→筛选” 的过程，让学生自主发现 “方程组的解” 与 “方程的解” 的区别，突破教学难点。）
（教学建议：在探究 “无数解” 时，可引导学生用含一个未知数的代数式表示另一个未知数（如由 x + y = 8 得 y = 8 - x），说明 “x 取任意值，y 都有对应值”，从而理解 “无数解” 的原因；探究 “公共解” 时，可结合数轴或表格，直观呈现两个方程解的交集，帮助学生理解 “公共” 的含义。）
巩固练习
1.下列方程中，是二元一次方程的是 ( B )
2.下面四组数值中，哪些是二元一次方程2x+y=10的解？ (（2） （4） )
3.二元一次方程组 的解是 C 。
4.下列五组值中，是二元一次方程 的解是 B C D 。
5.小明从邮局买了面值50分和80分的邮票共9枚，花了6.3元。两种邮票小明各买了多少枚？
解：设小明买了面值50分的邮票x枚，面值80分的邮票y枚，
可列方程组：
6.
解析：把x＝3，y＝4分别代入方程①②可得：
方程①左边的值是3×3+2×4=17，方程①右边的值也是17；
方程②左边的值为3×3-2×4=1，方程②右边的值也是1。
因此， 是这个二元一次方程组的解。
课堂小结
设计意图：通过回顾和提问，帮助学生梳理本节课知识，形成清晰的知识框架；对比 “一元” 与 “二元”，深化对知识的理解，为后续学习做好衔接。
布置作业
必做题：教材课后习题 1、2、3 题（巩固概念、检验解、列方程组）。
2.探究性作业：尝试用二元一次方程组解决 “雉兔同笼” 问题，并与一元一次方程解法对比，说说两种方法的优缺点。
板书设计
5.1 认识二元一次方程（组） 1.二元一次方程（组）的概念： (1) 二元一次方程：①两个未知数；②未知数次数为 1；③整式方程一次函数； (2) 二元一次方程组：共含两个未知数的两个一次方程组成的一组方程。 2.二元一次方程（组）的解： (1) 二元一次方程：①使方程左右两边相等的一组未知数的值；②无数个解； (2) 二元一次方程组：①方程组中所有方程的公共解；②通常一个解。 (3) 检验方法：代入验证法。 3.列方程组步骤： （1）找关键量（2）提等量关系（3）设未知数，列方程（联立成方程组） 4．核心思想：归纳总结、方程思想等。 5. 例题区：（学生板演区域）
教学反思

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