资源简介

1.4 解直角三角形
知识梳理
一、核心定义
解直角三角形：在直角三角形中，已知至少一个边和其他元素（边或角），求出所有未知边和角的过程。直角三角形元素包括3条边（斜边、两条直角边）和3个角（1个直角、2个锐角）。
二、核心依据
（一）三角函数定义（Rt△ABC中，∠C=90°）
正弦：sinA = ∠A对边/斜边，sinB = ∠B对边/斜边；
余弦：cosA = ∠A邻边/斜边，cosB = ∠B邻边/斜边；
正切：tanA = ∠A对边/∠A邻边，tanB = ∠B对边/∠B邻边；
余切：cotA = ∠A邻边/∠A对边，cotB = ∠B邻边/∠B对边。
（二）边角关系
同角关系：sin A + cos A = 1，tanA = sinA/cosA，tanA·cotA = 1；
互余角关系：∠A + ∠B = 90°，则sinA = cosB，cosA = sinB，tanA = cotB。
（三）基本定理
勾股定理：直角边 + 直角边 = 斜边 ；
内角和：直角三角形两锐角互余。
三、常见题型与方法
已知1条直角边+1个锐角：先求另一个锐角（互余），再用三角函数求斜边和另一条直角边；
已知2条边：用勾股定理求第三边，再用三角函数求锐角；
非直角三角形转化：作高构造直角三角形（如等腰三角形作底边高、一般三角形作顶点到底边的高），再按直角三角形求解；
实际应用：将问题转化为直角三角形，利用三角函数求距离、高度等；
综合题：结合相似三角形、中线等，通过构造直角三角形分步计算。
四、易错点
混淆三角函数中对边、邻边（需明确基准角）；
非直角三角形直接用三角函数（需先构造直角三角形）；
记错特殊角三角函数值（如30°、45°、60°的sin、cos、tan值）；
实际问题中角度对应错误；
计算时单位不统一或根式未化简。
同步训练
一、单选题
1．在中，，，且的周长为36，则此三角形的面积为（ ）
A．12 B．24 C．48 D．96
2．在中，，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，栏杆的旋转角，则旋转后点到点的水平距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．如图，的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则下列三角函数值错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，中，，，垂足为点D，，，则的长为（ ）．
A．7 B．8 C．9 D．12
6．如图，在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，延长斜边到点D，使，连接．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．如图，在中，，点D在边上，连接．若，，，则线段的长为 ．

9．如图是一块四边形空地，该空地面积为 ．
10．如图，已知中，，，，，那么的长为 ．
11．已知：如图，在中，，，，则的长为 ．
三、解答题
12．如图，在中，，，．
(1)求斜边的长．
(2)求边的长．
(3)求的值．
13．在中，已知，，，求的面积．
14．如图，在中，，，当时，求的长．（说明：解题中需要作辅助线，请用尺规作图法作出这条辅助线，保留作图痕迹，不用写作法）
15．如图，是的中线，，，．求：
(1)的长；
(2)的余弦值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《1.4 解直角三角形 同步训练 2025-2026学年北师大版数学九年级下册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C D B D C C B
1．C
【分析】过A作于D，设，则，
由勾股定理可得，再由的周长为36，可得，然后根据三角形的面积公式求出即可．
本题考查了解直角三角形、三角形的面积、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，关键是得出关于a的方程和构造直角三角形．
【详解】解：过A作于D，
∵，
∴可设，则，
由勾股定理得：，
∵，
，
∵的周长为36，
∴，
解得：，
∴，
∴的面积是 ，
故选：C．
2．D
【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握其相关知识点是解题的关键．根据正切的定义先表示出，，再根据勾股定理求出，然后根据正弦的定义解答即可．
【详解】解：如图，在中，，，
设，，根据勾股定理得：
，
故选：D．
3．B
【分析】本题主要考查解直角三角形，旋转的性质 ；根据旋转的性质得到，，得到，即可求出．
【详解】解：根据题意得，，
∵，
∴，
∴ 米；
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义及其增减性，计算时要将锐角置于直角三角形中并要充分利用格点．
根据锐角三角函数的定义，将放在直角三角形中，分别计算，可判断A、B、C，再根据锐角正切函数的增减性可判断D．
【详解】解：如图，过点A作于．
在中，，
，
，故A正确，不符合题意；
，故B正确，不符合题意；
，故C正确，不符合题意；
，
，故D错误，符合题意；
故选：D．
5．C
【分析】本题考查解直角三角形，根据同角的余角相等，得到，进而得到，进而得到，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴；
故选C．
6．C
【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义和勾股定理是解题的关键．过点作于点，先利用三角函数的定义和勾股定理求出和的长度，进而得到的长度，最后在中求出的度数．
【详解】如图所示，过点作于点，
，，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
，
故选：C．
7．B
【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握三角函数的定义．
如图，过点作交于点．设，则，求出可得结论．
【详解】解：如图，过点作交于点．
设，则，
，，
，
，
，
∴，
，
，
故选：B．
8．/
【分析】本题主要考查勾股定理，解直角三角形；设，根据勾股定理求出，得到，结合题意求出，解得，代入计算即可．
【详解】解：在中，，，
∴设，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
解得：，
∴；
故答案为：．
9．
【分析】本题主要考查了三角形面积公式、含角的直角三角形的边角关系（三角函数的简单应用），熟练掌握“将四边形分割为三角形，利用特殊角求三角形的高”是解题的关键．
通过连接对角线将四边形分成两个三角形，分别求出两个三角形的高（利用含角的直角三角形的边角关系），再根据三角形面积公式计算两个三角形的面积，最后求和得到四边形的面积．
【详解】解：如图，连接AC，作于点E，作于点F，
在中，∵，，
∴，
在中，∵，，
∴．
则该空地的面积
，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查了余切定义，勾股定理，灵活的使用余切定义是解题的关键，易错点在于搞混正切定义与余切定义，余切定义：邻边比对边；正切定义：对边比邻边；先在中根据余切的定义求出AC的长，在中找到与的比例关系，再利用勾股定理建立等式，据此求出CD的长即可．
【详解】解：在中，
，
，．
在中，
，．
，
，
故答案为．
11．22
【分析】本题考查了三角函数的定义，正弦，正切，构造辅助线是解题的关键．过点作于点，根据正弦，正切的定义及勾股定理求出即可求解．
【详解】解：过点作于点，
在中，，，，
，即，
，
在中，，，
，
，
．
故答案为：22．
12．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了解直角三角形．
（1）根据，，即可求出，利用三角形的性质即可求解；
（2）根据余弦函数的定义列式计算即可求解；
（2）根据正切函数的定义，即可解答．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴；
（3））解：∵，
∴．
13．
【分析】本题考查了锐角三角函数，三角形的面积，过点作于，由正弦的定义可得，即得，再根据三角形的面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，则，
∵，
∴，
即，
∴，
∴．
14．，图见解析
【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是：作辅助线构造直角三角形．
作，在和中，根据特殊角三角函数，依次求出、、的值，即可求解；
【详解】解：过点作，交的延长线于点，

∵，
∴，
在中，，
∵，
∴在中，，
∴．
15．(1)
(2)
【分析】本题考查的是接直角三角形的应用．
（1）如图，作于H，结合，先求解，，进一步求解可得答案．
（2）先求解，，进一步可得答案．
【详解】（1）解：如图，作于H．
在中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，∵，
∴．
∴．
（2）解：∵是的中线
∴，
∴，
∴．
在中，．
∴的余弦值为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑