资源简介

5.2 二次函数的图象和性质
知识梳理
一、核心定义与表达式
定义：形如（，、、为常数）的函数叫二次函数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项。
三种常见表达式：
一般式：（）；
顶点式：（），其中是顶点坐标；
交点式：（），、是抛物线与轴交点的横坐标。
二、核心图象与性质
（一）图象特征
二次函数的图象是抛物线，其形状由决定，越大，抛物线开口越窄；越小，开口越宽。
（二）关键性质（围绕展开）
开口方向：时开口向上，时开口向下；
对称轴：直线（顶点式中直接为）；
顶点坐标：一般式推导为，顶点式中为；
最值：时，顶点为最低点，最小；时，顶点为最高点，最大；
增减性：
开口向上：对称轴左侧（）随增大而减小，右侧（）随增大而增大；
开口向下：对称轴左侧（）随增大而增大，右侧（）随增大而减小。
三、核心技能
表达式转化：用配方法将一般式化为顶点式（如化为）；
图象平移：遵循“上加下减、左加右减”，针对顶点式操作更简便（向上平移个单位加，向右平移个单位将改为）；
性质应用：根据、、的符号判断抛物线位置（如时，抛物线与轴交于正半轴）；
最值求解：结合自变量取值范围，若对称轴在范围内，最值为顶点纵坐标；若不在，最值在区间端点处。
四、常见题型与方法
图象判断：根据、、的符号判断抛物线开口、对称轴、与坐标轴交点，匹配对应图象；
函数值比较：根据抛物线对称性，将不同点转化到对称轴同侧，再利用增减性比较；
解析式求解：利用待定系数法，结合顶点、图象上的点等条件，选择合适表达式代入求解；
范围与最值问题：给定自变量取值范围，求函数值范围；或根据最值求参数（如已知最小值为求的值）；
综合应用：结合新定义（如“友好抛物线”）、直线与抛物线的距离等，整合性质与方程求解。
五、易错点
配方法转化表达式时，漏乘二次项系数或常数项计算错误；
平移规律混淆“左加右减”的对象，误对常数项进行加减（应针对自变量）；
忽略自变量取值范围，直接用顶点纵坐标作为最值（需判断对称轴是否在范围内）；
判断的符号时，忘记结合的符号（由对称轴推导）；
解决综合题时，未结合抛物线对称性，导致漏解或计算复杂。
同步训练
一、单选题
1．若点，，都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知二次函数的图象上有，，三点，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下，对称轴为直线，顶点坐标是
B．开口向上，对称轴为直线，顶点坐标是
C．开口向上，对称轴为直线，顶点坐标是
D．开口向下，对称轴为直线，顶点坐标是
5．用配方法将二次函数化为的形式为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：：：若为任意实数，则有：点在抛物线上时，方程的两根为，则，其中正确的结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．将函数的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的二次函数解析式 ．
8．二次函数的图像如图所示，给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ．（填写序号即可）
9．已知二次函数的图象，当时，有最小值为 ．
10．定义两个不相交的函数图象上两个动点之间的最短距离为这两个函数的“和谐值”，抛物线与直线的“和谐值”为 ．
三、解答题
11．已知二次函数．
(1)求二次函数图象的顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
(3)当时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围．
12．如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、．
(1) _______； _______；
(2)求直线的函数表达式；
(3)当 时， 的取值范围为_____．
13．新定义：我们把抛物线与称为“友好抛物线”，例如：抛物线的“友好抛物线”为．
(1)抛物线的友好抛物线的表达式为______；“友好抛物线”的顶点坐标为______．
(2)若抛物线和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，且抛物线上有且只有三个点到轴的距离为2，求抛物线的解析式．
(3)已知抛物线（其中）经过其“友好抛物线”的顶点；求抛物线的对称轴．
14．已知二次函数（常数）．
(1)求该函数图象的对称轴；
(2)若．
①当时，该函数的最小值为，求的值；
②当分别取时，两个函数的最小值相等，求的数量关系．
参考答案
1．A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
直接计算各点的函数值，再比较值大小即可．
【详解】解：∵点，，都在二次函数的图象上，
∴ , , ，
故 ，
故选：A．
2．B
【分析】本题考查的是二次函数的图象，根据二次函数特征判断图象即可．
【详解】解：∵二次函数中，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，与y轴交于负半轴，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了二次函数的性质，先理解题意，再直接计算出各点的函数值，最后比较大小，即可作答．
【详解】解：∵二次函数的图象上有，，三点，
∴对于点：；
∴对于点：；
∴对于点：；
∵，
∴，
故选：C．
4．A
【分析】本题主要考查二次函数的顶点式及性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．直接根据可以判断开口方向，根据抛物线的顶点式即可得出顶点坐标及对称轴．
【详解】解： 抛物线方程为，，
开口向下，对称轴为直线，顶点坐标是，
故选：A．
5．A
【分析】本题考查的是利用配方法化抛物线为顶点式，熟练掌握“配方法”是解本题的关键．
先提取二次项系数，然后配成完全平方公式即可求解．
【详解】
．
故选：A．
6．D
【分析】本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数的图象性质，二次函数图象与各项系数符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据对称轴为直线，得， 结合函数图象，得当时，，且，得，当时，取得最小值，即，得二次函数与直线的一个交点为，即，，则，即可作答．
【详解】解：观察函数图象，得抛物线开口向上，
，
二次函数图象的对称轴为直线，即，
，故符合题意；
观察函数图象，当时，，
，
而，
，
，
，故符合题意；
时，取得最小值，
（为任意实数），
，
即，故符合题意；
点在抛物线上时，方程的两根为，
二次函数与直线的一个交点为，
二次函数图象的对称轴为直线，
二次函数与直线的一个交点为，
即，，
，故符合题意；
故选：D．
7．
【分析】本题考查了二次函数的图象平移变换规律，解题的关键在于熟记并正确应用平移口诀：“上加下减”：针对整个函数值（在解析式末尾加减常数，影响纵坐标）；“左加右减”：针对自变量 （在本身上加减常数，影响横坐标，注意方向与平移方向相反）；根据二次函数图象平移的规律，向上平移改变常数项，向右平移替换为 ．
【详解】将函数 向上平移个单位，得；
再向右平移3个单位，将替换为 ，得
故答案为 ．
8．②③④
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数与轴的交点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据抛物线的开口方向和与轴的交点依次判断即可．
【详解】解：由题意可知：
①二次函数图象的开口向下，对称轴，则，错误；
②二次函数图象与y轴的交点位于x轴上方，则，正确；
③当时，，正确；
④当时，，正确；
故答案为：②③④．
9．
【分析】本题考查二次函数的性质，包括二次函数的对称轴、顶点坐标以及函数在给定区间内的最值问题．关键在于准确确定对称轴，结合函数的开口方向和给定取值范围判断函数的最值情况．
【详解】该二次函数为正数，开口向上，由二次函数顶点公式，得顶点横坐标 ，
在取值范围内，故当时，函数取最小值．所以代入函数得 ．
故答案为 ．
10．
【分析】本题考查了新定义，二次函数的图象与性质，设与的直线为，联立方程组，当直线与有唯一交点时，求出，则抛物线与直线的“和谐值”即为直线与直线的的距离，然后根据等面积法求解即可．
【详解】解：设与平行的直线为，
联立方程组，
化简得，
∴，
当直线与有唯一交点时，，
∴，
∴，，
解得，∴，
∴交点为，
∴抛物线与直线的“和谐值”即为直线与直线的的距离，
对于，当，；
当时，，解得，
∴直线与y轴，x轴的交点为，，
如图，连接，设到的距离为h，则，
∴，
∴，
∴
∴抛物线与直线的“和谐值”为．
故答案为：．
11．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
（1）根据配方法将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标；
（2）根据函数解析式，可以写出该函数的顶点坐标和图象上的几个点的坐标，从而可以画出相应的函数图象；
（3）根据函数图象中的数据，可以写出y的取值范围．
【详解】（1）解：∵，
∴二次函数图象的顶点坐标为；
（2）解：列表，
如图：
（3）解：根据图象可知：在时，
当时，有最小值；当时，有最大值，
∴当时，的取值范围为．
12．(1)；
(2)；
(3)
【分析】此题主要考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，熟练求解直线的解析式是解题的关键．
（1）将点代入求出的值，再将点代入求解即可；
（2）运用待定系数法求出直线的解析式即可；
（3）观察图象，利用数形结合法求解即可；
【详解】（1）解：∵点在的图象上，
∴，
解得，
∴，
当时，；
故答案为：；；
（2）解：∵，，
设直线的解析式为，
把，点坐标代入得，
解得，，
∴直线的解析式为：；
（3）解：对于抛物线，
∵，
∴当时，有最小值为0，
∵，，
∴当时，y的取值范围为．
13．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的解析式、顶点坐标及对称轴，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）由题意得，抛物线的友好抛物线为，将其化为顶点式，即可求出顶点坐标；
（2）若抛物线和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，可得，再由抛物线上有且只有三个点到轴的距离为2，可知抛物线的顶点纵坐标是2，易得，据此即可求出解析式；
（3）先求“友好抛物线”的顶点，再将其代入原抛物线解析式中，即可求出，据此可求出原抛物线的对称轴．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线的友好抛物线为，
，
“友好抛物线”的顶点坐标为，
故答案为：，；
（2）由题意得，抛物线的“友好抛物线”解析式为，
抛物线和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，
①，
抛物线上有且只有三个点到轴的距离为2，
抛物线的顶点纵坐标是2，
，
即②，
由①②可得，
抛物线的解析式为；
（3）由题意得，抛物线的“友好抛物线”解析式为，
“友好抛物线”的顶点为，
抛物线（其中）经过其“友好抛物线”的顶点，
，
整理化简得：，解得或，
，
，
，
对称轴为直线．
14．(1)直线
(2)①；②
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
（1）根据二次函数的性质求解即可；
（2）①根据当时，该函数最小值为求解即可；②由称轴在直线与之间可知当或时，则两条抛物线的顶点相同，即（不合题意），则，分别求出最小值即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴对称轴为直线，
（2）解：①，
∴抛物选开口向上，
，
∴当时，该函数最小值为
∵该函数的最小值为，
，
∴，
②∵抛物线对称轴在直线与之间，且两个函数的最小值相等
当或时，则两条抛物线的顶点相同，即（不合题意）
当时，
当时，
∵两个函数的最小值相等，
，即
【点睛】本题考查二次函数的对称轴与最值，涉及的知识点是二次函数的对称轴公式、顶点式变形、函数的单调性．解题中用到的方法是 “顶点式分析法”，通过将函数化为顶点式，快速确定对称轴与最值；解题关键是根据的符号判断函数的开口方向，进而确定最值的位置．易错点是忽略的符号对函数开口方向的影响，误判最值的位置．

展开更多......

收起↑